Физици,
ръководители на полети
и създатели на видео игри -
всички те имат поне едно общо нещо:
вектори.
Какво представляват те и защо са от значение?
За да отговорим, първо трябва да разберем скаларите.
Скаларът е величина с големина.
Той ни казва какво количество от едно нещо съществува.
Разстоянието между теб и пейка,
както и обемът и температурата на напитката в чашата ти
се обясняват със скаларите.
Векторните количества също имат големина, заедно с допълнителна информация -
посока.
За да стигнеш до пейката,
трябва да знаеш колко далече е и в коя посока,
не просто разстоянието, а разположението.
Това, което прави векторите специални и полезни в различни сфери
е фактът, че не се променят при смяна на гледната точка,
а остават непроменени спрямо координатната система.
Какво означава това?
Да кажем, че ти и приятел премествате палатка.
Стоите от противоположни страни, с лица в противоположни посоки.
Твоят приятел се премества 2 крачки вдясно и 3 крачки напред,
а ти - 2 крачки вляво и 3 крачки назад.
Но дори да изглежда, че се придвижвате различно,
и двамата се оказва, че минавате същото разстояние в същата посока,
следвайки един и същ вектор.
Без значение накъде гледате
или коя координатна система мислено поставяте на къмпинга,
векторът не се променя.
Нека ползваме познатата Декартова координатна система
с нейните X- и Y-оси.
Наричаме тези 2 посоки нашата координатна база,
тъй като те обясняват всичко, което чертаем.
Да кажем, че палатката започва в началото и стига до тук в точка Б.
Правата стрелка, свързваща двете точки,
е векторът от началото до Б.
Когато твоят приятел обмисля накъде трябва да се придвижи,
това може да се напише математически като 2x + 3y,
или така, което се нарича масив.
Тъй като ти гледаш в другата посока,
твоята координатна база сочи в противоположните посоки,
които наричаме x' и y',
а твоето движение може да се напише така,
или с този масив.
Ако погледнем двата масива, те очевидно не са еднакви,
но един масив сам по себе си не описва напълно даден вектор.
Всеки се нуждае от база, за да придаде контекст,
така че когато правилно им зададем такава,
виждаме, че всъщност описват един и същ вектор.
Можем да мислим за елементите в масива като за отделни букви.
Точно както последователност от букви образува дума
само в контекста на конкретен език,
масивът придобива значение като вектор, когато му се придаде координатна база.
И както различни думи в два езика могат да носят еднаква идея,
различните представяния на 2 бази могат да описват един и същ вектор.
Векторът е същността на това, което се представя,
независимо от езика, използван за описване.
Оказва се, че скаларите също споделят това координатно инвариантно свойство.
Всъщност всички величини с това свойство са част от групата на тензорите.
Различните типове тензори съдържат различно количество информация.
Това означава ли, че има нещо, което може да носи повече информация от векторите?
Напълно.
Ако например създаваш видео игра
и искаш да пресъздадеш реалистично движението на водата -
дори да приложиш сили, действащи в еднаква посока
с еднаква величина,
в зависимост от ориентацията им, може да виждаш вълни или вихрушки.
Когато сила, вектор, е комбинирана с друг вектор, който дава ориентация,
получаваме физичната величина, наречена стрес,
което е пример за тензор от втори ранг.
Тези тензори се използват и извън видео игрите за всякакви цели,
включително научни симулации,
автомобилен дизайн
и невровизуализация на мозъка.
Скаларите, векторите и семейството на тензорите ни показват
сравнително лесен начин да разберем сложни идеи и взаимодействия,
и като такива, те са красноречив пример за елегантността, красотата
и фундаменталната полезност на математиката.