கூட்டல், பெருக்கல் கணக்குகளைப் பார்த்து வந்த நாம் இந்தக் காணொளியில் வகுத்தலைப் பார்க்க உள்ளோம்.
பெருக்கலுக்கு மட்டுமல்லாமல் வகுத்தல் கணக்கிற்கும் நாம்
பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டை மனப்பாடமாக வைத்திருக்க வேண்டும்.
வாய்ப்பாட்டை மனதில் வைத்திருப்பதைப் பொறுத்தே கணக்குப் பயிற்சியில் தேர்ந்தவர்களாக விளங்க முடியும்.
ஒன்றாம் வாய்ப்பாடு தொடங்கி
அனைத்து வாய்ப்பாடுகளையும் நாம் முழுமையாகத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.
பத்து பெருக்கல் பத்து என்ற நொடியிலேயே நூறு என்று நாம் சொல்கிற அளவு தேர்ச்சி பெற வேண்டும்.
பழைய மாணவர்கள் 12 x 12 வரை மனப்பாடமாக கற்று வைத்திருந்தார்கள்.
உங்களுக்கு 10 x 10வரையாவது தெரிந்திருக்க வேண்டும்.
அப்படி மனப்பாடம் செய்து வைத்திருந்தால் அது, அனைத்து கணக்குகளுக்கும் உதவிகரமாக இருக்கும்.
பெருக்கல் வாய்ப்பாடு மனப்பாடமாக இருந்தால்
அது பெருக்கல், வகுத்தல் இரண்டிற்குமே உதவும்.
உதாரணமாக, 25ஐ 5ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்.
அப்போது நீங்கள் இருபத்தைந்து பொருள்களை எடுத்துக் கொண்டு
அவற்றை ஐந்து பொருட்கள் கொண்ட குழுக்களாகப் பிரித்து
அந்தக் குழுக்கள் எத்தனை கிடைக்கின்றன என்று பார்த்துக் கொண்டிருக்க வேண்டியதில்லை.
நமக்குப் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு தெரிந்திருந்தால் நம்மால் உடனே விடை காண முடியும்..... எப்படி...?
ஐந்துடன் எந்த எண்ணைப் பெருக்கினால் 25 கிடைக்கும்.
5 பெருக்கல் கேள்விக்குறி இருப்பத்தைந்திற்குச் சமம்.
இப்போது நீங்கள் பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டைத் தெரிந்து வைத்திருந்தால் இந்தக் கேள்விக் குறியின் மதிப்பு
ஐந்து என்று சட்டென்று சொல்லி விட முடியும்.
ஐந்து பெருக்கல் ஐந்து தானே இருப்பந்தைந்து. இப்போது கேள்விக் குறியின் மதிப்பு ஐந்து தானே.
இதுபோன்ற விடைகளை உங்களால் உடனுக்கு உடனே கூறி விட முடியும்.
ஏனென்றால் பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் உங்கள் கணித ஞானம் பெருமளவு பெருகி விடும்.
ஐந்து பெருக்கல் ஐந்து, இருப்பதைந்து என்றால்
இருப்பதைந்தை 5 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் விடை ஐந்து தானே.
அது நிச்சயமாக இரண்டு இலக்கங்களுக்கு மேல் இருக்காது.
நாம் விடையை எங்கே எழுதப் போகிறோம் என்பதில் கவனமாக இருக்க வேண்டும்.
ஐந்தை ஒன்றுகளின் இடத்தில் எழுத வேண்டும்.
இருபத்தைந்தில் ஐந்து மிகச் சரியாக ஐந்து முறை
அதாவது ஐந்து ஒன்றுகள் முறை, ஒட்டு மொத்தமாக ஐந்து முறை வகுபடுகிறது
நாற்பத்தொன்பதில் ஏழு எத்தனை முறை வகுபடும்?
பெருக்கல் வாய்ப்பாடு தெரிந்தால் மிக எளிதாகச் சொல்லி விடுவீர்கள்.
ஏழுடன் எதைப் பெருக்கினால் நாற்பத்து ஒன்பது கிடைக்கும்.
இப்போது நம் நினைவுற்கு வர வேண்டியது ஏழாம் வாய்ப்பாடு.
சரி, ஏழு பெருக்கல் கேள்விக் குறி நாற்பத்து ஒன்பதிற்குச் சமம் இல்லையா....
பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டை நினைவிற்குக் கொண்டு வாருங்கள்.
ஏழு பெருக்கல் ஏழு தானே நாற்பத்து ஒன்பது...?
ஒரு எண்ணினை அதே எண்ணைக் கொண்டு பெருக்குவதைத் தான் இதுவரைப் பார்த்தோம்.
அடுத்து சற்றுக் கடினமான உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். அதுதான் புரிந்து கொள்ள உதவியாக இருக்கும்.
54ல் 9 எத்தனைமுறை வகுபடும்?
இதற்கு உங்களுக்குப் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு தெரியவேண்டும்
9 x ? = 54
நமக்கு ஒன்பதாம் வாய்ப்பாடு தெரியாவிட்டாலும்
ஐந்தாம் வாய்ப்பாடு தெரிந்திருந்தால் போதும் 9 x 5 = 45 என்று சொல்ல முடியும்.
அடுத்து 9 ஐக் கூட்டினால் நமது விடையான 54 கிடைத்து விடும்.
ஆக, 54ல் 9 என்ற எண் 6 முறை வகுபடும்.
ஆகவே தொடத்திலேயே
ஒன்றாம் வாய்ப்பாட்டில் இருந்து
பத்து பெருக்கல் பத்து வரை மனப்பாடம் செய்து விடுவது தான் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
மனப்பாடம் செய்து கொண்டால் தான். அடிப்படைக் கணக்குகள் நமக்கு எளிதாக இருக்கும்.
பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டிற்குள் அடங்காத
சில வகுத்தல் கணக்குகளைச் செய்து பார்ப்போம்.
உதாரணமாக
43ஐ 3ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
இந்த 43 என்பது 3 x 10 ஐ காட்டிலும்,
மூன்று பெருக்கல் 12 ஐக் காட்டிலும் பெரியதாகத் தோன்றுகிறது.
எனவே வேறொரு கணக்கை எடுத்துக் கொள்வோம்.
இருபத்தி மூன்றை மூன்றால் வகுத்துப் பார்ப்போம்.
உங்களுக்கு மூன்றாம் வாய்ப்பாடு தெரிந்திருந்தால்
மூன்றுடன் எந்த எண்ணைப் பெருக்கினாலும் 23 கிடைக்காது என்று சொல்லிவிடலாம்.
எனவே, இதை எப்படிக் கணக்கிடுவது?
எனவே ஒவ்வொன்றாகப் போட்டுக் கொண்டே போவோம். 3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
எல்லாவற்றையும் எழுதுவோம்
3 x 3 = 9, 12, 15, 18, 21, 3 x 8 சமம் 24.
இங்கே எந்த எண்ணுடன் பெருக்கும் போதும் 23 வரவில்லை.
அப்படியானால் இதனை வகுப்பது எப்படி?
இருபத்து மூன்றை விடச் சற்றுக் குறைவான மூன்றின் மடங்கு எது?
இருபத்து ஒன்று.
இருபத்து ஒன்றில் மூன்று எத்தனை முறை செல்லும்?
3 x 7 = 21
ஆக, இருபத்து மூன்றில் மூன்று ஏழு முறை செல்லும்
ஆனால் அது முழுமையல்ல
காரணம், 7 x 3 = 21
23 இல் 21 போக மீதம் ஒரு தொகை உள்ளது.
23 கழித்தல் 21 = 2
எனவே 23கீழ் 7 என்பதன் விடை 7, மீதி 2
வகுபட்ட எண்ணையும், மீதமுள்ள தொகையையும் எழுத வேண்டும்.
முழுமையாக வகுபடும் வேண்டும் என்பதில்லை.
பிற காணொளிகளில் நாம் தசமம், பின்னம் போன்றவைத் தெரிந்து கொள்வோம்.
இப்போதைக்கு, 3 இன் ஏழு முழுமையான மடங்கு எது என்று பார்த்தால்
அது இருபத்து ஒன்றாகத் தான் இருக்கிறது.
ஆனால் மீதமாக இரண்டு உள்ளது.
நாம் புரிந்து கொள்ள வேண்டியது
ஒரு எண்ணின் முழு மடங்காக இல்லாத
பெரிய எண்களையும் நாம் வகுக்கலாம்.
ஒரு பயிற்சிக்காக மேலும் சில பெரிய எண்களைக் கொண்டு கணக்கிட்டுப் பார்ப்போம்.
பெரிய எண்களை எப்படிக் கணக்கிடுவது என்ற முறையை
இப்போது நாம் அறிந்து கொண்டு விட்டோம்.
எனவே மிகப்பெரிய எண் முன்னூற்றி நாற்பத்து நான்கை கணக்கிட்டுப் பார்க்கலாம்.
இதைப் பார்த்தவுடன்
நமக்கு நான்காம் வாய்ப்பாட்டில் நான்கு பன்னிரண்டு நாற்பத்து எட்டு வரைதானே தெரியும்
இத்தனை பெரிய எண்ணை எப்படி கணக்கிடுவது என்று தோன்றலாம்.
இது நம் நான்காம் வாய்ப்பாட்டைக் கொண்டு
கணக்கிடுவது கடினம் தான்.
ஆனால் நமக்குத் தெரிந்த அதே நான்காம் வாய்ப்பாட்டை
வேறு விதமாகப் பயன்படுத்திக் கணக்கிடுவோம்.
இந்த எண்ணின் முதல் எண்ணான மூன்றின் தொடர் எண்ணில்
நான்கு எத்தனைமுறை செல்லும்?
அதாவது,
இங்குள்ள மூன்று என்பது வெறும் நூறு அல்ல.
இது முன்னூறு ஆகும். எனவே முன்னூற்றில் நான்கு எத்தனை முறை அடங்கும்.
இது முன்னூற்று இருபத்து நான்கு..... எனவே
3ல் நான்கானது நூறுமுறைகளாகச் செல்லாது.
3ல் 4 பூஜ்ஜியம் முறை செல்லும்.
அடுத்து
34ல் 4 எத்தனை முறை செல்லும்?
முதலில் 34ஐ எடுத்துக் கொள்வோம்.
34ல் 4 எத்தனை முறை செல்லும்?
இப்போது நான்காம் வாய்ப்பாடு பயன்படும்.
4 x 8 = 32
4 x 8 = 36
ஆக, 34ல் 4 ஒன்பது முறை வகுபடாது.
34ஐவிடப் பெரியது 36 .
ஆகவே, 34ல் 4 எட்டு முறை வகுபடும்
மீதி என்ன?
34ல் 4 எட்டு முறை செல்லும்
மீதி என்ன?
உண்மையில் நாம் கணக்கிடுவது
340ல் 4 எத்தனை 10 முறை செல்லும்?
340ல் 4 எண்பது முறை செல்லும்
காரணம், இந்த 8 பத்தின் இடத்தில் உள்ளது
ஆனால், இந்தக் கணக்கை விரைவாகப் போட
34ல் 4 எட்டு முறை வகுபடும் என்று சொல்லலாம்
எட்டைப் பத்தின் இடத்தில் இங்கே எழுதாமல் இருந்து விடக் கூடாது.
8 x 4
இது என்ன என்பது நமக்குத் தெரியும்.
8 x 4 = 32
மீதி என்ன?
34 கழித்தல் 32
நான்கில் இரண்டைக் கழித்தால் இரண்டு.
மூன்றும் மூன்றும் அடிபட்டுவிடும்.
ஆகவே, மீதி 2
ஆனால், இது பத்தின் இடம், இல்லையா?
இந்தப் பத்தி முழுவதும் பத்தின் இடம்
ஆக, 340ல் 4 எண்பது முறை வகுபடும்
80 x 4 = 320
மூன்றானது நூறின் இடத்தில் உள்ளது.
ஆனால் முப்பத்து நான்கில் முப்பத்து இரண்டு போக மீதி இரண்டு உள்ளது.
இரண்டு பத்தின் இடத்தில் உள்ளது என்பதால்
மொத்த எண்ணில் மீதம் இருப்பது, இருபது.
இந்த 4ஐக் கீழே கொண்டு வருவோம்.
ஏனென்றால் நாம் வகுக்கப் போவது 340 ஐ மட்டுமல்ல
344 ஐதான் 3ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
ஆகவே, நான்கைக் கீழே கொண்டு வருகிறோம்.
340 ல் மூன்று எண்பது முறை வகுபடும் என்பதைப் பார்த்து விட்டோம்.
ஆகவே 8ஐ பத்தின் இடத்தில் எழுதினோம்.
8 x 4 = 320
மீதி 24
24ல் 4 எத்தனை முறை வகுபடும்?
4 x 6 = 24
ஆக, 24ல் 4 ஆறு முறை வகுபடும்.
அதை ஒன்றின் இடத்தில் எழுதுவோம்.
6 x 4 = 24
அடுத்து, நாம் கழிக்கிறோம்.
24 கழித்தல் 24
இரண்டு பக்கமும் ஒரே எண் இருப்பதால்
நமக்குக் கிடைக்கும் விடை பூஜ்ஜியம்.
மீதி இல்லை.
எனவே 344ல் நான்கானது எண்பத்து ஆறுமுறை செல்லும்.
ஆக, நாம் 344 பொருள்களை எடுத்து அவற்றை 4 கொண்ட குழுக்களாகப் பிரித்தால்
நமக்குக் கிடைப்பது 86 குழுக்கள்.
அல்லது, 344 ஐ 86 கொண்ட குழுக்களாகப் பிரித்தால்
அங்கே இருப்பது 4 குழுக்கள்.
வகுத்தல் கணக்கு நமக்கு இப்போது புரிந்து விட்டது இல்லையா...
எனவே இது போன்ற மேலும் சில கணக்குகளைப் பார்க்கலாம்.
91ல் 7 எத்தனை முறை செல்லும்?
இது 7 x 12 என்பதைக் காட்டிலும் அதிகம்.
நமக்குத் தெரிந்த ஏழாம் வாய்ப்பாட்டின்படி பார்த்தால் ஏழு பெருக்கல் பன்னிரண்டு 84.
சென்ற முறை கணக்கிட்ட அதே முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.
9ல் 7 எத்தனை முறை செல்லும்.
9ல் 7 ஒரு முறை செல்லும்
1 x 7 = 7
9 கழித்தல் 7 போக மீதம் 2
இந்த ஒன்றைக் கீழே கொண்டு வரவேண்டும்.
அதாவது, பத்தாம் இடத்தில் உள்ள இரண்டு, ஒன்றாம் இடத்தில் உள்ள ஒன்று
ஞாபகமிருக்கட்டும். இரண்டும் சேர்ந்து இருபத்து ஒன்று.
நாம் வகுக்க எடுத்துக் கொண்டது பத்தாம் இடத்தின் ஒன்பது.
எனவே 91ல் 7 பத்து முறை செல்லும்.
10 x 7 = 70
வேண்டுமானால் நீங்கள் இங்கே 0 போடலாம்.
91 கழித்தல் 70 போக மீதம் 21.
ஆக, 91ல் 7 பத்து முறை செல்லும். மீதமாக 21 இருக்கிறது.
21ல் 7 எத்தனை முறை செல்லும்?
7 x 3 = 21.
ஆக, 21ல் 7 மூன்று முறை செல்லும்
3 x 7 = 21
மீதியைக் கழிப்பது என்றால் இரண்டு பக்கமும் இருபத்து ஒன்று என்பதால்
நம்மிடம் மீதமாக இருப்பது பூஜ்ஜியமே.
ஆக, 91ஐ 7ஆல் வகுத்தால் நமக்குக் கிடைப்பது மிகச் சரியாக13.
அடுத்து ஒரு கணக்கையும் பார்க்கலாம்.
பெரிய எண்களை வகுக்கும் முறை
நன்றாகப் புரிந்து விட்டது இல்லையா...?
நாம் ஏழு என்ற எண்ணை அதிகமாகப் பயன்படுத்தி விட்டோம்.
ஆகவே இப்பொழுது ஏழினை எடுத்துக் கொள்வோம்.
608ல் 8 எத்தனை முறை வகுபடும்.
6ல் 8 எத்தனை முறை செல்லும்?
ஆறில் எட்டு வகுபடாது.
எனவே பூஜ்ஜியம் முறை என்று வைத்துக் கொள்வோம்.
60ல் 8 எத்தனை முறை செல்லும்?
8 x 7 என்பது 56 என்று நமக்கு தெரியும். ஐம்பத்து ஆறு சிறியது.
அடுத்து 8 x 8 = 64
இது 60ஐவிட 64 பெரியது.
ஆகவே,
60ல் 8 ஏழு முறை செல்லும்
ஆனால் சிறிது மீதம் இருக்கும்.
60ல் 8 ஏழு முறை முழுமையாக அடங்குவதால்
7ஐ 60ல் ஒன்றின் இடத்திற்கு மேல் எழுதவேண்டும்.
ஆனால் அது இங்கே பத்திற்குரிய இடம் ஆகும்.
7 x 8 = 56
60 - 56
விடை, 4
இதை நாம் மனக்கணக்காகவே போடலாம்
அல்லது, கடன் வாங்கிக் கழிக்கலாம்
இது 10
இது 5
10 - 6 = 4
அடுத்து, இந்த 8ஐக் கொண்டுவருவோம்
48ல் 8 எத்தனை முறை செல்லும்?
6 x 8 = 48
ஆக, 48ல் 8 ஆறு முறை செல்லும்
6 x 8 = 48
அடுத்து, கழிக்கவேண்டும்
இங்கேயும் கழித்தோம்
48 - 48 = 0
மீண்டும், மீதி பூஜ்ஜியம்
பெரிய எண்களை வகுப்பதுபற்றி உங்களுக்குப் புரிந்திருக்குமென நம்புகிறேன்
இதற்குப் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு தெரிந்தால் போதும்
10 x 10 அல்லது 12 x 12வரை