Kako da svirate na Rubikovoj kocki?
Ne da se igrate njom, već da svirate na njoj kao na klaviru?
To pitanje na priv pogled nema mnogo smisla,
ali apstraktna matematička oblast, zvana teorija skupova, ima odgovor,
ako ostanete sa mnom.
Skup je u matematici određeni zbir članova.
to može da bude niz celih brojeva,
naličje Rubikove kocke
ili bilo šta,
dokle god su ispoštovana četiri naročita pravila iliti aksioma.
Prvi aksiom:
sve operacije moraju biti zatvorene iliti ograničene samo na članove skupa.
Dakle, kod našeg kvadrata, koju god operaciju da izvršite,
bilo da ga okrenete na jednu ili na drugu stranu,
na kraju ćete ipak dobiti član skupa.
Drugi aksiom:
Bez obzira na to gde stavili zagradu, dok radimo operaciju u skupu,
dobićemo isti rezultat.
Drugim rečima, ako okrenemo naš kvadrat dva puta na desno, onda jednom na desno,
to je isto kao jednom, pa onda dva puta na desno,
ili u slučaju dva broja, jedan plus dva je isto kao dva plus jedan.
Treći aksiom:
za svaku operaciju, postoji član skupa koji se zove identitet.
Kada ga primenimo na bilo koji drugi član skupa,
opet dobijamo taj član.
Pa je i za okretanje kvadrata i dodavanje celih brojeva
naš identitet ovde nula.
Nije naročito uzbudljivo.
Četvrti aksiom:
svaki član skupa ima takođe svoj takozvani inverzni član skupa.
Kada se ova dva člana spoje, koristeći operaciju sabiranja u skupu,
njihov rezultat je identitetski član - nula,
te se mogu posmatrati kao da jedan drugog poništavaju.
Dakle, sve ovo zvuči bajno, ali koja je svrha svega ovoga?
Pa, kada prevaziđemo ova osnovna pravila,
neka zanimljiva svojstva se pojavljuju.
Na primer, proširimo naš kvadrat na kompletnu Rubikovu kocku.
To je i dalje skup koji zadovoljava naša sva četiri aksioma,
iako sada ima značajno više članova
i više operacija.
Možemo da okrećemo svaki red i svaki stubac svake strane.
Svaka pozicija se naziva permutacijom
i što više skup ima članova, postoji više mogućih permutacija.
Rubikova kocka ima preko 43 kvintiliona permutacija,
pa ako pokušate da je rešite nasumično nećete daleko odmaći.
Međutim, koristeći teoriju skupova, možemo da analiziramo kocku
i da utvrdimo redosled permutacija koje će da rezultiraju tačnim rešenjem.
I zapravo to većina uspešnih igrača i radi,
čak koriste oznake iz teorije skupova kako bi ukazali na okretanja.
Ovo nije samo korisno u rešavanju slagalica.
Teorija skupova je i duboko ugrađena u muziku.
Jedan od načina da zamislite akord jeste da zapišete svih 12 nota
i da nacrtate kvadrat unutar njih.
Možemo početi bilo kojom notom, ali uzećemo C jer je na vrhu.
Novonastali akord se zove sniženi sedmi akord.
Dakle, ovaj akord je skup čiji su članovi ove četiri note.
Operacija koju možemo da izvedemo je da pomerimo poslednju notu na vrh.
U muzici se to zove inverzijom
i ekvivalent je prethodno pomenutom sabiranju.
Svaka inverzija menja zvuk akorda,
ali on nikada ne prestaje da bude sniženi sedmi C akord.
Drugim rečima, zadovoljava prvi aksiom.
Kompozitori koriste inverziju da bi udešavali redosled akorda
i da bi izbegli zaglušujuću progresiju koja ne zvuči tečno.
Na notnim linijama, inverzija izgleda ovako.
Ali takođe je možemo preslikati na naš kvadrat i dobiti sledeće.
Pa, ako biste prekrili čitavu Rubikovu kocku notama,
tako da je svaka strana rešene kocke harmonijski akord,
mogli biste da izrazite rešenje u vidu akordske progresije
koja se postepeno pomera od disonance do harmonije
i možete da zasvirate na Rubikovoj kocki, ako ste u tom fazonu.