1
00:00:06,960 --> 00:00:09,600
איך אתם יכולים לנגן בקוביה הונגרית?

2
00:00:09,600 --> 00:00:13,226
לא לשחק איתה, אלא לנגן עליה כמו פסנתר?

3
00:00:13,226 --> 00:00:15,911
השאלה לא הגיונית בהתחלה,

4
00:00:15,911 --> 00:00:20,640
אבל שדה מתמטי מופשט שנקרא
תורת החבורות מחזיק את התשובה,

5
00:00:20,640 --> 00:00:22,609
אם תשארו איתי.

6
00:00:22,609 --> 00:00:26,719
במתמטיקה, קבוצה היא אוסף מסויים של עצמים.

7
00:00:26,719 --> 00:00:28,545
זה יכול להיות סט של מספרים,

8
00:00:28,545 --> 00:00:30,473
הפנים של קוביה הונגרית,

9
00:00:30,473 --> 00:00:32,075
או כל דבר.

10
00:00:32,075 --> 00:00:36,571
כל עוד הן עוקבות אחרי
ארבעה חוקים ספציפיים, או אקסיומות.

11
00:00:36,571 --> 00:00:38,059
אקסיומה ראשונה:

12
00:00:38,059 --> 00:00:43,677
כל הפעולות בחבורה חייבות להיות סגורות
או מוגבלות רק לאברי הקבוצה.

13
00:00:43,677 --> 00:00:46,601
אז בריבוע שלנו,
לכל פעולה שאתם עושים,

14
00:00:46,601 --> 00:00:48,748
כמו לסובב אותה לכיוון מסויים או אחר,

15
00:00:48,748 --> 00:00:52,031
עדיין תגיעו לאלמנט בחבורה.

16
00:00:52,031 --> 00:00:53,666
אקסיומה שניה:

17
00:00:53,666 --> 00:00:57,996
לא משנה איפה שמים סוגריים
כשאנחנו עושים פעולה מסויימת יחידה,

18
00:00:57,996 --> 00:01:00,599
אנחנו עדיין מקבלים את אותה תוצאה.

19
00:01:00,599 --> 00:01:05,040
במילים אחרות, אם נסובב את הריבוע שלנו
ימינה שתי פעמים, אז ימינה פעם אחת,

20
00:01:05,040 --> 00:01:08,058
זה אותו הדבר כמו פעם אחת, ואז שתיים,

21
00:01:08,058 --> 00:01:12,586
או בשביל מספרים, אחד ועוד שתיים
זה אותו הדבר כמו שתיים ועוד אחת.

22
00:01:12,586 --> 00:01:14,254
אקסיומה שלישית:

23
00:01:14,254 --> 00:01:18,855
עבור כל פעולה, יש אלמנט
של הקבוצה שלנו שנקרא זהות.

24
00:01:18,855 --> 00:01:21,290
כשאנחנו מפעילים אותו
על כל איבר בקבוצה שלנו,

25
00:01:21,290 --> 00:01:23,449
אנחנו עדיין מקבלים את אותו אלמנט.

26
00:01:23,449 --> 00:01:26,857
אז גם עבור סיבוב הריבוע וגם הוספת מספרים,

27
00:01:26,857 --> 00:01:29,267
הזהות שלנו פה היא אפס,

28
00:01:29,267 --> 00:01:31,777
לא מאוד מרגש.

29
00:01:31,777 --> 00:01:33,225
אקסיומה רביעית:

30
00:01:33,225 --> 00:01:38,302
לכל אבר בחבורה יש אבר
שנקרא ההופכי שלו שגם הוא בחבורה.

31
00:01:38,302 --> 00:01:42,253
כשהשניים מחוברים בשימוש
בפעולת החיבור של החבורה,

32
00:01:42,253 --> 00:01:45,111
התוצאה היא אבר הזהות, אפס,

33
00:01:45,111 --> 00:01:48,843
אז הם יכולים להחשב כמבטלים אחד את השני.

34
00:01:48,843 --> 00:01:52,439
אז כל זה טוב ויפה, אבל מה הנקודה בכל זה?

35
00:01:52,439 --> 00:01:55,303
ובכן, כשאנחנו עוברים מעבר לכללים הבסיסים,

36
00:01:55,303 --> 00:01:57,842
כמה תכונות מעניינות עולות.

37
00:01:57,842 --> 00:02:03,041
לדוגמה, בואו נרחיב את הריבוע שלנו
חזרה לכל הקוביה ההונגרית.

38
00:02:03,041 --> 00:02:06,643
זו עדיין חבורה שעונה על כל האקסיומות שלנו,

39
00:02:06,643 --> 00:02:09,821
למרות שעכשיו עם הרבה יותר אברים

40
00:02:09,821 --> 00:02:12,073
ויותר פעולות.

41
00:02:12,073 --> 00:02:16,664
אנחנו יכולים לסובב
כל שורה ועמודה של כל פן.

42
00:02:16,664 --> 00:02:19,035
כל מיקום נקרא פרמוטציה,

43
00:02:19,035 --> 00:02:23,596
וככל שיש יותר אברים בחבורה,
יש יותר פרמוטציות אפשריות.

44
00:02:23,596 --> 00:02:28,222
לקוביה הונגרית יש
יותר מ 43 קווינטיליון פרמוטציות,

45
00:02:28,222 --> 00:02:32,450
אז לנסות לפתור אותה באופן אקראי
לא יעבוד כל כך טוב.

46
00:02:32,450 --> 00:02:35,864
עם זאת, בשימוש בתורת החבורות
אנחנו יכולים לנתח את הקוביה

47
00:02:35,864 --> 00:02:41,004
ולקבוע סדר של פרמוטציות
שתוצאתם תהיה פיתרון.

48
00:02:41,004 --> 00:02:44,474
ולמעשה, זה בדיוק מה שרוב הפותרים עושים,

49
00:02:44,474 --> 00:02:49,572
אפילו שימוש בציון תורת החבורות
כדי לסמן סיבובים.

50
00:02:49,572 --> 00:02:51,601
וזה לא רק טוב לפתירת פאזלים.

51
00:02:51,601 --> 00:02:56,575
תורת החבורות
מוטמעת עמוקות גם במוזיקה.

52
00:02:56,575 --> 00:03:00,977
דרך אחת לדמיין אקורד
היא לכתוב את כל שנים עשר התוים

53
00:03:00,977 --> 00:03:03,642
ולצייר ריבוע בתוכם.

54
00:03:03,642 --> 00:03:08,364
אנחנו יכולים להתחיל בכל תו,
אבל בואו נתחיל ב"מי" מאחר והוא למעלה.

55
00:03:08,364 --> 00:03:12,605
האקורד שנוצר כתוצאה נקרא אקורד שביעי נמוג.

56
00:03:12,605 --> 00:03:17,193
עכשיו האקורד הזה הוא קבוצה
שהאלמנטים שלה הם ארבעת התווים האלה.

57
00:03:17,193 --> 00:03:21,881
הפעולה שאנחנו יכולים לבצע עליה
היא להזיז את התו התחתון למעלה.

58
00:03:21,881 --> 00:03:24,357
במוזיקה זה נקראה הפיכה,

59
00:03:24,357 --> 00:03:27,247
וזה שווה ערך לחיבור מקודם לכן.

60
00:03:27,247 --> 00:03:30,169
כל הפיכה משנה את הצליל של הצליל של האקורד,

61
00:03:30,169 --> 00:03:33,899
אבל זה לעולם לא הפסיק
להיות רה של שביעית נמוגה.

62
00:03:33,899 --> 00:03:37,661
במילים אחרות, זה מספק את האקסיומה הראשונה.

63
00:03:37,661 --> 00:03:41,582
קומפוזיטורים משתמשים במהפכים
כדי לשחק עם רצף של אקורדים

64
00:03:41,582 --> 00:03:51,327
ולהמנע התקדמות ריבועית שנשמעת מוזר.

65
00:03:51,327 --> 00:03:54,768
על סולם מוזיקלי, הפיכה נראית כך.

66
00:03:54,768 --> 00:03:59,986
אבל אנחנו יכולים לערום את זה
על הריבוע שלנו ולקבל את זה.

67
00:03:59,986 --> 00:04:04,484
אז, אם אי פעם תכסו את כל
הקוביה ההונגרית שלכם עם תוים

68
00:04:04,484 --> 00:04:09,538
כך שכל פן של הקוביה הפתורה
הוא אקורד הרמוני,

69
00:04:09,538 --> 00:04:13,098
אתם תוכלו להביע את הפיתרון
כהתקדמות של אקורדים

70
00:04:13,098 --> 00:04:16,949
שלאט לאט נע מאי התאמה להרמוניה

71
00:04:16,949 --> 00:04:20,581
ולשחק בקוביה ההונגרית, אם זה הקטע שלכם.