איך אתם יכולים לנגן בקוביה הונגרית?
לא לשחק איתה, אלא לנגן עליה כמו פסנתר?
השאלה לא הגיונית בהתחלה,
אבל שדה מתמטי מופשט שנקרא תורת החבורות מחזיק את התשובה,
אם תשארו איתי.
במתמטיקה, קבוצה היא אוסף מסויים של עצמים.
זה יכול להיות סט של מספרים,
הפנים של קוביה הונגרית,
או כל דבר.
כל עוד הן עוקבות אחרי ארבעה חוקים ספציפיים, או אקסיומות.
אקסיומה ראשונה:
כל הפעולות בחבורה חייבות להיות סגורות או מוגבלות רק לאברי הקבוצה.
אז בריבוע שלנו, לכל פעולה שאתם עושים,
כמו לסובב אותה לכיוון מסויים או אחר,
עדיין תגיעו לאלמנט בחבורה.
אקסיומה שניה:
לא משנה איפה שמים סוגריים כשאנחנו עושים פעולה מסויימת יחידה,
אנחנו עדיין מקבלים את אותה תוצאה.
במילים אחרות, אם נסובב את הריבוע שלנו ימינה שתי פעמים, אז ימינה פעם אחת,
זה אותו הדבר כמו פעם אחת, ואז שתיים,
או בשביל מספרים, אחד ועוד שתיים זה אותו הדבר כמו שתיים ועוד אחת.
אקסיומה שלישית:
עבור כל פעולה, יש אלמנט של הקבוצה שלנו שנקרא זהות.
כשאנחנו מפעילים אותו על כל איבר בקבוצה שלנו,
אנחנו עדיין מקבלים את אותו אלמנט.
אז גם עבור סיבוב הריבוע וגם הוספת מספרים,
הזהות שלנו פה היא אפס,
לא מאוד מרגש.
אקסיומה רביעית:
לכל אבר בחבורה יש אבר שנקרא ההופכי שלו שגם הוא בחבורה.
כשהשניים מחוברים בשימוש בפעולת החיבור של החבורה,
התוצאה היא אבר הזהות, אפס,
אז הם יכולים להחשב כמבטלים אחד את השני.
אז כל זה טוב ויפה, אבל מה הנקודה בכל זה?
ובכן, כשאנחנו עוברים מעבר לכללים הבסיסים,
כמה תכונות מעניינות עולות.
לדוגמה, בואו נרחיב את הריבוע שלנו חזרה לכל הקוביה ההונגרית.
זו עדיין חבורה שעונה על כל האקסיומות שלנו,
למרות שעכשיו עם הרבה יותר אברים
ויותר פעולות.
אנחנו יכולים לסובב כל שורה ועמודה של כל פן.
כל מיקום נקרא פרמוטציה,
וככל שיש יותר אברים בחבורה, יש יותר פרמוטציות אפשריות.
לקוביה הונגרית יש יותר מ 43 קווינטיליון פרמוטציות,
אז לנסות לפתור אותה באופן אקראי לא יעבוד כל כך טוב.
עם זאת, בשימוש בתורת החבורות אנחנו יכולים לנתח את הקוביה
ולקבוע סדר של פרמוטציות שתוצאתם תהיה פיתרון.
ולמעשה, זה בדיוק מה שרוב הפותרים עושים,
אפילו שימוש בציון תורת החבורות כדי לסמן סיבובים.
וזה לא רק טוב לפתירת פאזלים.
תורת החבורות מוטמעת עמוקות גם במוזיקה.
דרך אחת לדמיין אקורד היא לכתוב את כל שנים עשר התוים
ולצייר ריבוע בתוכם.
אנחנו יכולים להתחיל בכל תו, אבל בואו נתחיל ב"מי" מאחר והוא למעלה.
האקורד שנוצר כתוצאה נקרא אקורד שביעי נמוג.
עכשיו האקורד הזה הוא קבוצה שהאלמנטים שלה הם ארבעת התווים האלה.
הפעולה שאנחנו יכולים לבצע עליה היא להזיז את התו התחתון למעלה.
במוזיקה זה נקראה הפיכה,
וזה שווה ערך לחיבור מקודם לכן.
כל הפיכה משנה את הצליל של הצליל של האקורד,
אבל זה לעולם לא הפסיק להיות רה של שביעית נמוגה.
במילים אחרות, זה מספק את האקסיומה הראשונה.
קומפוזיטורים משתמשים במהפכים כדי לשחק עם רצף של אקורדים
ולהמנע התקדמות ריבועית שנשמעת מוזר.
על סולם מוזיקלי, הפיכה נראית כך.
אבל אנחנו יכולים לערום את זה על הריבוע שלנו ולקבל את זה.
אז, אם אי פעם תכסו את כל הקוביה ההונגרית שלכם עם תוים
כך שכל פן של הקוביה הפתורה הוא אקורד הרמוני,
אתם תוכלו להביע את הפיתרון כהתקדמות של אקורדים
שלאט לאט נע מאי התאמה להרמוניה
ולשחק בקוביה ההונגרית, אם זה הקטע שלכם.