شما چطور مکعب روبیک را حل می کنید؟
نه اینکه با آن بازی کنید؛ بلکه آن را مثل پیانو بنوازید.
این سؤال در نگاه اول نطقی به نظر نمی رسد،
اما شاخهای از ریاضیات انتزاعی به نام نظریه گروهها جواب را می گوید،
البته اگر با من همراه باشید.
در ریاضی، گروه مجموعه ای از عناصر مشخص است.
که ممکن است یک سری اعداد صحیح باشند،
یک وجه از مکعب روبیک،
یا هر چیز دیگری،
به شرط اینکه همه از چهار قانون و اصل مشخص پیروی کنند.
اصل اول:
عملیات گروهی باید تنها به عناصر خود گروه محدود شود.
بنابراین در مربع ما، برای هر عملیاتی که انجام می دهید،
مثل چرخاندن یکی به سمت دیگری،
شما همچنان چرخاندن را با عناصر خود گروه انجام می دهید.
اصل دوم:
اهمیتی ندارد که هنگام عملیات گروهی، پرانتز را کجا قرار می دهیم،
در هرصوررت نتیجه یکسانی می گیریم.
به عبارت دیگر،اگر مربع را اول دوبار و بعد یکبار بچرخانیم،
مثل این است که اول بکبار وبعد دوبار بچرخانیم،
و در اعداد، یک به علاوه دو برابر دو به علاوه یک است.
اصل سوم:
در هر عملیاتی،عنصری در گروه وجود دارد به نام هویت.
وقتی آنرا با هر عنصر دیگر گروه به کار ببریم،
همان عنصر را دریافت می کنیم.
در هر دو مورد چرخاندن مربع و جمع اعداد،
عنصر هویت، صفر است،
خیلی جالب نیست.
اصل چهارم:
هر عضو گروه، یک عضو متقابل در خود گروه دارد.
وقتی آن دو را با عملیات جمع کنار هم قرار گیرند،
حاصل همان عنصر هویت یا صفر است،
یعنی به نحوی همدیگر را خنثی می کنند.
خوب اینها همه عالی هستند اما هدف از این کار چیست؟
خوب، وقتی فراتر از قواعد اولیه پیش برویم،
خواص جالبی هویدا می شود.
مثلا، بیایید مربع را به یک مکعب روبیک کامل برگردانیم.
این همچنان یک گروه است که هر چهار اصل را در بر دارد.
اگرچه با عناصر بیشتر
و با عملیات بیشتر.
ما می توانیم هر ردیف و ستون از هر وجه را بچرخانیم.
هر حالتی، یک جایگشت نام دارد،
و هرچه تعداد عناصر گروه بشتر باشد، جایگشت های ممکن نیز بیشتر است.
یک مکعب روبیک بیش از ۴۳ جایگشت دارد،
پس حل آن به صورت تصادفی کار جالبی نیست.
به هر حال با نظریه گروهها می توانیم مکعب را تحلیل کنیم
و جایگشت هایی را که به نتیجه می انجامد، تعیین کنیم.
در واقع این دقیقا کاری که بیشتر حل کننده های آن انجام می دهند،
حتی نماد گذاری با نظریه گروهها نشانگر چندین چرخش است.
و این برای حا معما خیلی خوب نیست.
نظریه گروهها در موسیقی نیز عمیقا قرار گرفته است.
یک راه برای تصویر سازی یک نوا، نوشتن هر ۱۲ نوت موسیقی
و رسم یک مربع بین آنها است.
ما از هر نوتی می توانیم شروع کنیم، بیایید از C شروع کنیم چون بالا قرار دارد.
نوای حاصل را آکورد هفتم ناقض مینامند.
حال این نوا یک گروه که حاوی این چهار نوت است میباشد.
عملیاتی که روی آن می توانیم انجام دهیم، انتقال نوت پایین به بالا است.
در موسیقی به آن وارونگی گفته می شود،
و این معادل جمع نوت های قبلی است.
هر وارونگی، نوا را تغییر می دهد،
اما هیچ وقت
به عبارت دیگر،این رعایت اصل اول است.
آهنگسازان از وارونگی ها برای تغییر نواها استفاده می کنند
و از یک سری صدای عجیب و بی سر وته اجتناب می کنند.
در موسیقی، وارونگی بدین شکل است،
اما میتوانیم از آن در مربع استفاده کنیم.
پس اگر می توانستید روی همه مکعب نوت های موسیقی را بنویسید
هر وجه مکعب حل شده یک نوای موزون داشت،
و می توانستید مکعب حل شده را با یک سری نوا ارائه دهید
که به تدریج از به سمت موزون پیش می رود
و مکعب روبیک را اگرعلاقه مند بودید، بنوازید.