WEBVTT 00:00:01.060 --> 00:00:03.366 Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση 00:00:03.366 --> 00:00:05.066 για την πρόσθεση και την αφαίρεση αρνητικών αριθμών. 00:00:05.066 --> 00:00:06.380 Ας ξεκινήσουμε λοιπόν! 00:00:06.380 --> 00:00:08.510 Πρώτα απ' όλα, τι είναι ένας αρνητικός αριθμός; 00:00:08.520 --> 00:00:12.080 Ας σχεδιάσω μια γραμμή των αριθμών. 00:00:12.080 --> 00:00:13.295 Δεν είναι πολύ ωραία γραμμή, 00:00:13.295 --> 00:00:15.190 αλλά νομίζω ότι μας κάνει. 00:00:15.190 --> 00:00:18.797 Λοιπόν, έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε θετικούς αριθμούς. Αν αυτό είναι το μηδέν... 00:00:18.797 --> 00:00:24.670 έχουμε το 1, το 2, το 3, το 4... 00:00:24.670 --> 00:00:25.686 και πάει λέγοντας. 00:00:25.686 --> 00:00:28.548 Και αν ήθελα να βρω πόσο κάνει το "2+2" 00:00:28.548 --> 00:00:30.780 θα ξεκινούσα από το 2, μετά θα πρόσθετα 2... 00:00:30.780 --> 00:00:31.460 και θα έφτανα στο 4. 00:00:31.460 --> 00:00:32.140 Για τους περισσότερους αυτό είναι πανεύκολο. 00:00:32.150 --> 00:00:33.930 Αλλά αν πας να το σχεδιάσεις στη γραμμή των αριθμών... 00:00:33.930 --> 00:00:36.130 θα έλεγες "2+2=4"/ 00:00:36.140 --> 00:00:38.490 Και αν σε ρωτούσα πόσο κάνει "2-1" 00:00:38.490 --> 00:00:39.840 ή, ας πούμε, πόσο κάνει "3-2" 00:00:39.840 --> 00:00:44.111 Θα ξεκινούσες από το 3 και θα αφαιρούσες 2... 00:00:44.111 --> 00:00:45.658 κι έτσι θα έφτανες στο 1. 00:00:45.658 --> 00:00:51.248 Έτσι έχουμε 2+2=4 και 3-2=1. 00:00:51.248 --> 00:00:52.980 Και αυτά φαντάζομαι είναι εύκολα για σας. 00:00:52.990 --> 00:00:56.990 Τώρα, τι θα γινόταν αν σας ρώταγα πόσο κάνει "1-3"; 00:00:56.990 --> 00:00:58.150 Ε; 00:00:58.150 --> 00:01:00.100 Λοιπόν, είναι το ίδιο πράγμα. 00:01:00.100 --> 00:01:03.847 Ξεκινάς από το 1 και πάμε 1... 00:01:03.847 --> 00:01:06.960 θα πάμε κάτω από το 0. 00:01:06.960 --> 00:01:07.730 Τι συμβαίνει κάτω από το μηδέν; 00:01:07.730 --> 00:01:08.500 Αν πας κάτω από το μηδέν αρχίζεις να είσαι στους αρνητικούς αριθμούς. 00:01:08.510 --> 00:01:14.930 -1,-2,-3 και ούτω καθεξής. 00:01:14.930 --> 00:01:20.909 Έτσι, ας ξεκινήσω από το 1 εδώ. Έχουμε λοιπόν 1-3... 00:01:20.909 --> 00:01:25.610 άρα θα πάω 1,2,3 και θα καταλήξω στο -2. 00:01:25.620 --> 00:01:30.680 Άρα, 1-3=-2. 00:01:30.680 --> 00:01:33.080 Αυτό είναι κάτι που μάλλον το έχετε ήδη δει να γίνεται... 00:01:33.090 --> 00:01:34.729 στην καθημερινή σας ζωή. 00:01:34.729 --> 00:01:37.137 Αν σας έλεγα ότι 00:01:37.137 --> 00:01:39.225 "πω πω, κάνει ψοφόκρυο σήμερα, έχει ένα βαθμό... 00:01:39.225 --> 00:01:40.728 αλλά αύριο η θερμοκρασία θα πέσει άλλους τρεις βαθμούς"... 00:01:40.728 --> 00:01:42.038 ήδη θα ξέρετε μάλλον από μόνοι σας 00:01:42.038 --> 00:01:44.502 ότι θα έχουμε... 00:01:44.502 --> 00:01:46.925 μια θερμοκρασία μείον δύο βαθμών. 00:01:46.925 --> 00:01:48.040 Αυτό σημαίνει λοιπόν ο αρνητικός αριθμός. 00:01:48.040 --> 00:01:51.132 Απλώς να θυμάστε ότι αν ένας αρνητικός αριθμός είναι μεγάλος... 00:01:51.132 --> 00:01:58.090 όπως ας πούμε το -50, αυτό είναι πιο κρύο από το -20, ε; 00:01:58.090 --> 00:02:01.710 Έτσι, το -50 είναι στην πραγματικότητα ακόμα μικρότερος αριθμός από το -20. 00:02:01.710 --> 00:02:04.926 Κι αυτό γιατί είναι πιο μακρυά στα αριστερά από το -20. 00:02:04.926 --> 00:02:07.160 Αυτό είναι κάτι που θα το συνηθίσετε γρήγορα. 00:02:07.170 --> 00:02:08.708 Μερικές φορές μπορεί να αρχίσετε να σκέφτεστε 00:02:08.708 --> 00:02:10.185 "α, το 50 είναι μεγαλύτερος αριθμός από το 20"... 00:02:10.185 --> 00:02:13.860 αλλά εδώ έχουμε το -50 και όχι το 50. 00:02:13.860 --> 00:02:15.306 Ας κάνουμε λοιπόν κάποια προβλήματα. 00:02:15.306 --> 00:02:19.270 Θα συνεχίσω να χρησιμοποιώ τη γραμμή των αριθμών 00:02:19.280 --> 00:02:22.415 γιατί νομίζω ότι μας είναι χρήσιμη. 00:02:22.415 --> 00:02:26.872 Ας λύσουμε το πρόβλημα "5-12". 00:02:26.872 --> 00:02:29.785 Νομίζω ότι ήδη μπορεί να σκέφτεστε... 00:02:29.785 --> 00:02:34.195 με τι ισούται αυτό. 00:02:34.195 --> 00:02:45.144 Αλλά, ας σχεδιάσω μια γραμμή. 00:02:45.144 --> 00:02:53.068 Ας ξεκινήσω με το -10, -9, -8... 00:02:53.068 --> 00:02:58.780 μου φαίνεται δεν θα μου φτάσει ο χώρος... -7,-6,-5... 00:02:58.780 --> 00:03:05.155 θα έπρεπε να το είχα σχεδιάσει από πριν... -4,-3,-2,-1... 00:03:05.155 --> 00:03:12.537 0,1,2,3,4 και θα βάλω εδώ το 5. 00:03:12.537 --> 00:03:14.494 Θα σπρώξω το βέλος προς τα έξω λιγάκι. Ωραία. 00:03:14.494 --> 00:03:15.548 Λοιπόν, 5-12. 00:03:15.560 --> 00:03:18.430 Αν ξεκινήσουμε από το 5 -- ας χρησιμοποιήσω κάποιο άλλο χρώμα -- 00:03:18.430 --> 00:03:20.945 θα ξεκινήσουμε λοιπόν από το 5 εδώ πέρα και θα πάμε 12 θέσεις στα αριστερά.... 00:03:20.945 --> 00:03:22.805 αφού αφαιρούμε 12. 00:03:22.805 --> 00:03:33.870 Πάμε λοιπόν, 1,2,3... 00:03:33.870 --> 00:03:38.262 -7. 00:03:38.262 --> 00:03:39.993 Ενδιαφέρον... 00:03:40.000 --> 00:03:42.789 Γιατί τυχαίνει 00:03:42.789 --> 00:03:45.580 το 12 - 5 να μας κάνει +7. 00:03:45.590 --> 00:03:48.900 Θέλω λοιπόν να σκεφτείτε για λίγο γιατί συμβαίνει αυτό. 00:03:48.900 --> 00:03:52.939 Γιατί η διαφορά μεταξύ του 12 και του 5 είναι 7, 00:03:52.939 --> 00:03:58.918 και η διαφορά μεταξύ... 00:03:58.918 --> 00:04:00.038 εν πάση περιπτώσει συμβαίνει και το ανάποδο. 00:04:00.038 --> 00:04:01.097 Σ' αυτή την κατάσταση λέμε επίσης 00:04:01.097 --> 00:04:03.812 ότι η διαφορά ανάμεσα στο 5 και το 12 είναι -7, 00:04:03.812 --> 00:04:05.162 αλλά οι αριθμοί απέχουν τόσο... 00:04:05.162 --> 00:04:07.496 αλλά τώρα ξεκινάμε με τον μικρότερο αριθμό. 00:04:07.496 --> 00:04:09.538 Νομίζω ότι αυτή η τελευταία πρόταση σας μπέρδεψε εντελώς 00:04:09.538 --> 00:04:11.789 αλλά θα προχωρήσουμε. 00:04:11.789 --> 00:04:18.060 Είπαμε πριν ότι 5-12= -7. 00:04:18.060 --> 00:04:19.434 Ας δούμε άλλο ένα πρόβλημα. 00:04:19.434 --> 00:04:25.843 Πόσο μας κάνει -3+5; 00:04:25.843 --> 00:04:28.050 Ας χρησιμοποιήσουμε την ίδια γραμμή των αριθμών. 00:04:28.060 --> 00:04:31.490 Ας πάμε στο -3 και θα προσθέσουμε πέντε 00:04:31.490 --> 00:04:33.580 Άρα, θα μετακινηθούμε 5 θέσεις προς τα δεξιά. 00:04:33.580 --> 00:04:38.425 Μία, δύο, τρεις, τέσσερις, πέντε. 00:04:38.425 --> 00:04:42.602 Φτάνουμε στο 2. 00:04:42.602 --> 00:04:44.363 Άρα το αποτέλεσμα είναι 2. 00:04:44.363 --> 00:04:48.790 Άρα, -3+5=2. 00:04:48.790 --> 00:04:53.843 Αυτό είναι ενδιαφέρον γιατί και το 5-3 μας κάνει κι αυτό 2. 00:04:53.843 --> 00:04:57.007 Αυτό που συμβαίνει είναι ότι το "5-3" είναι το ίδιο πράγμα, 00:04:57.007 --> 00:05:00.252 είναι απλώς ένας άλλος τρόπος για να γράφουμε το "5 συν -3". 00:05:00.252 --> 00:05:04.050 ή το -3 συν 5. 00:05:04.050 --> 00:05:07.052 Ένας γενικός και εύκολος τρόπος για να αντιμετωπίζετε τους αρνητικούς αριθμούς... 00:05:07.052 --> 00:05:11.640 είναι σαν να είχατε να κάνετε κανονικές προσθέσεις και αφαιρέσεις. 00:05:11.640 --> 00:05:15.456 Αλλά τώρα, όταν αφαιρούμε 00:05:15.456 --> 00:05:18.634 μπορούμε να πάμε και στα αριστερά, κάτω από το 0. 00:05:18.634 --> 00:05:19.826 Ας κάνουμε άλλο ένα πρόβλημα. 00:05:19.826 --> 00:05:21.587 Τι συμβαίνει όταν έχουμε... 00:05:21.587 --> 00:05:27.111 για παράδειγμα, 2 μείον -3; 2-(-3); 00:05:27.111 --> 00:05:30.747 Αν σκεφτείτε πώς θα το λύσουμε, 00:05:30.747 --> 00:05:32.079 νομίζω ότι θα βγάλετε άκρη. 00:05:32.079 --> 00:05:34.135 Αυτό που γίνεται εδώ είναι ότι ο αρνητικός αριθμός... 00:05:34.135 --> 00:05:36.140 τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο. 00:05:36.140 --> 00:05:40.425 Έτσι, αυτό είναι το ίδιο με το 2 συν +3. 00:05:40.425 --> 00:05:43.050 δηλαδή, 5. 00:05:43.060 --> 00:05:46.305 Ας κάνουμε άλλο ένα. 00:05:46.305 --> 00:05:52.866 Πόσο κάνει -7 μείον -2; 00:05:52.866 --> 00:05:58.010 Αυτό ισοδυναμεί με -7+2. 00:05:58.020 --> 00:06:00.144 Άρα, θυμηθείτε, θα ξεκινήσουμε από το -7... 00:06:00.144 --> 00:06:03.560 και θα μετακινηθούμε 2 θέσεις στα δεξιά. 00:06:03.560 --> 00:06:06.224 Έτσι, αν μετακινηθούμε 1 θέση στα δεξιά θα πάμε στο -6... 00:06:06.224 --> 00:06:11.392 και αν μετακινηθούμε και δεύτερη, θα πάμε στο -5. 00:06:11.392 --> 00:06:13.755 Αυτό βγάζει νόημα γιατί το -7+2... 00:06:13.755 --> 00:06:16.540 είναι το ίδιο με το 2-7. 00:06:16.550 --> 00:06:19.351 Αν έχουμε δύο βαθμούς Κελσίου, και... 00:06:19.351 --> 00:06:22.475 η θερμοκρασία πέσει επτά βαθμούς, θα φτάσει στο -5. 00:06:22.475 --> 00:06:23.230 Ας κάνουμε λίγα ακόμη προβλήματα. 00:06:23.240 --> 00:06:25.253 Όσα περισσότερα προβλήματα λύσετε, τόσο περισσότερο θα εξασκηθείτε... 00:06:25.253 --> 00:06:26.847 και τα σχήματα εδώ το εξηγούν καλά. 00:06:26.847 --> 00:06:29.056 Ίσως καλύτερα απ' ό,τι το εξηγώ εγώ. 00:06:29.056 --> 00:06:31.104 Ας κάνουμε λοιπόν πολλά προβλήματα. 00:06:31.104 --> 00:06:36.473 Αν σας ρώτα λοιπόν πόσο κάνει το -7-3... 00:06:36.473 --> 00:06:39.396 Αυτό που θα κάνουμε είναι να μετακινηθούμε 3 θέσεις στα αριστερά του -7 00:06:39.410 --> 00:06:41.386 Θα έχουμε 3 λιγότερα από -7. 00:06:41.386 --> 00:06:45.420 Άρα θα έχουμε -10, σωστά; 00:06:45.430 --> 00:06:49.055 Αυτό βγάζει νόημα γιατί αν είχαμε να βρούμε το 7+3 00:06:49.055 --> 00:06:50.762 Θα ήμασταν στο 7 στα δεξιά του 0... 00:06:50.762 --> 00:06:52.504 και θα πηγαίναμε 3 ακόμα θέσεις στα δεξιά του μηδέν... 00:06:52.504 --> 00:06:54.538 και θα φτάναμε στο +10. 00:06:54.538 --> 00:06:57.385 Άρα αν είμαστε στο 7 στα αριστερά του 0, και μετακινηθούμε άλλες 3 θέσεις στα αριστερά... 00:06:57.385 --> 00:06:58.680 θα φτάσουμε στο -10. 00:06:58.680 --> 00:06:59.460 Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα. 00:06:59.470 --> 00:07:01.048 Ξέρω ότι μάλλον σας μπερδεύω... 00:07:01.048 --> 00:07:04.218 αλλά η εξάσκηση θα μας βοηθήσει πολύ. 00:07:04.218 --> 00:07:09.118 Ας πούμε ότι έχουμε το 3 μείον -3. 00:07:09.118 --> 00:07:12.360 Τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο. 00:07:12.360 --> 00:07:14.570 Έτσι το αποτέλεσμα είναι 6. 00:07:14.570 --> 00:07:17.088 Πόσο μας κάνει 3-3; 00:07:17.088 --> 00:07:18.687 Αυτό είναι εύκολο. 00:07:18.687 --> 00:07:20.687 Μας κάνει 0. 00:07:20.687 --> 00:07:23.980 Πόσο μας κάνει -3-3; 00:07:23.990 --> 00:07:26.420 Θα έχουμε 3 λιγότερα από το -3... 00:07:26.420 --> 00:07:28.880 δηλαδή -6. 00:07:28.880 --> 00:07:34.030 Πόσο μας κάνει -3 μείον -3. 00:07:34.040 --> 00:07:35.500 Ενδιαφέρον... 00:07:35.500 --> 00:07:40.790 Τα δύο μείον ακυρώνονται, αλλά έχουμε -3+3. 00:07:40.800 --> 00:07:44.028 Αν ξεκινήσουμε λοιπόν στο 3 στα αριστερά του 0, και μετακινηθούμε 3 θέσεις στα δεξιά... 00:07:44.028 --> 00:07:46.060 θα φτάσουμε ξανά στο 0. 00:07:46.060 --> 00:07:48.240 Βγάζει νόημα έτσι; 00:07:48.250 --> 00:07:49.360 Ας το ξανακάνουμε αυτό το τελευταίο. 00:07:49.370 --> 00:07:53.290 -3 μείον -3. 00:07:53.290 --> 00:07:56.390 Κάθε αριθμός μείον τον εαυτό του μας κάνει μηδέν, έτσι; 00:07:56.390 --> 00:07:57.950 Γι' αυτό και εδώ το αποτέλεσμα είναι 0. 00:07:57.950 --> 00:08:00.868 Και γι' αυτό βγάζει νόημα το ότι 00:08:00.868 --> 00:08:03.183 τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο. 00:08:03.183 --> 00:08:05.498 Οι δύο αυτοί τρόποι είναι ουσιαστικά το ίδιο. 00:08:05.498 --> 00:08:07.429 Ας κάνουμε λοιπόν κι άλλα προβλήματα. 00:08:07.429 --> 00:08:12.140 Ας κάνουμε το 12 - 13. 00:08:12.140 --> 00:08:13.610 Αυτό είναι σχετικά εύκολο. 00:08:13.620 --> 00:08:17.940 12 - 12 = 0, άρα 12 - 13 = -1. 00:08:17.940 --> 00:08:20.920 Κι αυτό γιατί θα πάμε 1 θέση στα αριστερά του 0. 00:08:20.930 --> 00:08:24.670 Ας κάνουμε το 8 - 5. 00:08:24.670 --> 00:08:27.270 Αυτό είναι ένα απλό πρόβλημα, μας κάνει 3. 00:08:27.270 --> 00:08:29.640 Πόσο μας κάνει 5-8; 00:08:29.640 --> 00:08:31.988 Θα φτάσουμε μέχρι το 0... 00:08:31.988 --> 00:08:35.420 και μετά θα μετακινηθούμε 3 ακόμα θέσεις στα αριστερά του μηδέν. Άρα το αποτέλεσμα είναι -3. 00:08:35.420 --> 00:08:38.500 Θα μπορούσα να σχεδιάσω μια γραμμή των αριθμών εδώ. 00:08:38.500 --> 00:08:43.468 Αν αυτό είναι το 0, αυτό είναι το 5... 00:08:43.468 --> 00:08:47.233 και τώρα θα πάμε 8 θέσεις στα αριστερά... 00:08:47.233 --> 00:08:48.290 κι έτσι θα φτάσουμε στο -3. 00:08:48.300 --> 00:08:49.400 Θα μπορούσατε να το κάνετε αυτό για όλα αυτά τα προβλήματα. 00:08:49.400 --> 00:08:51.770 Θα ήταν μάλιστα μια ωραία άσκηση. 00:08:51.770 --> 00:08:54.113 Νομίζω ότι κάναμε μια ωραία εισαγωγή 00:08:54.113 --> 00:08:56.220 και σας συνιστώ να κάνετε τις πράξεις στο σάιτ... 00:08:56.220 --> 00:08:58.281 γιατί οι πράξεις 00:08:58.281 --> 00:08:58.977 ιδιαίτερα αν δείτε τα κόλπα 00:08:58.977 --> 00:08:59.673 έχουν και ωραία γραφικά. 00:08:59.673 --> 00:09:01.578 Τα γραφικά στο σάιτ είναι πολύ πιο ωραία 00:09:01.578 --> 00:09:03.990 από αυτά που σχεδιάζω σ' αυτόν τον πίνακα. 00:09:03.990 --> 00:09:05.463 Δοκιμάστε το λοιπόν... 00:09:05.463 --> 00:09:07.494 και θα ετοιμάσω και περισσότερες ασκήσεις στο σάιτ... 00:09:07.509 --> 00:09:09.140 που ελπίζω ότι δε θα σας μπερδέψουν πολύ. 00:09:09.140 --> 00:09:10.533 Θα μπορούσατε επίσης να παρακολουθήσετε το σεμινάριο 00:09:10.533 --> 00:09:12.700 με θέμα την πρόσθεση και την αφαίρεση των αρνητικών αριθμών. 00:09:12.700 --> 00:09:14.160 Ελπίζω να το διασκεδάσετε! 00:09:14.160 --> 00:09:15.460 Τα λέμε!