1
00:00:01,060 --> 00:00:03,366
Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση

2
00:00:03,366 --> 00:00:05,066
για την πρόσθεση και την αφαίρεση αρνητικών αριθμών.

3
00:00:05,066 --> 00:00:06,380
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν!

4
00:00:06,380 --> 00:00:08,510
Πρώτα απ' όλα, τι είναι ένας αρνητικός αριθμός;

5
00:00:08,520 --> 00:00:12,080
Ας σχεδιάσω μια γραμμή των αριθμών.

6
00:00:12,080 --> 00:00:13,295
Δεν είναι πολύ ωραία γραμμή,

7
00:00:13,295 --> 00:00:15,190
αλλά νομίζω ότι μας κάνει.

8
00:00:15,190 --> 00:00:18,797
Λοιπόν, έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε θετικούς αριθμούς. Αν αυτό είναι το μηδέν...

9
00:00:18,797 --> 00:00:24,670
έχουμε το 1, το 2, το 3, το 4...

10
00:00:24,670 --> 00:00:25,686
και πάει λέγοντας.

11
00:00:25,686 --> 00:00:28,548
Και αν ήθελα να βρω πόσο κάνει το "2+2"

12
00:00:28,548 --> 00:00:30,780
θα ξεκινούσα από το 2, μετά θα πρόσθετα 2...

13
00:00:30,780 --> 00:00:31,460
και θα έφτανα στο 4.

14
00:00:31,460 --> 00:00:32,140
Για τους περισσότερους αυτό είναι πανεύκολο.

15
00:00:32,150 --> 00:00:33,930
Αλλά αν πας να το σχεδιάσεις στη γραμμή των αριθμών...

16
00:00:33,930 --> 00:00:36,130
θα έλεγες "2+2=4"/

17
00:00:36,140 --> 00:00:38,490
Και αν σε ρωτούσα πόσο κάνει "2-1"

18
00:00:38,490 --> 00:00:39,840
ή, ας πούμε, πόσο κάνει "3-2"

19
00:00:39,840 --> 00:00:44,111
Θα ξεκινούσες από το 3 και θα αφαιρούσες 2...

20
00:00:44,111 --> 00:00:45,658
κι έτσι θα έφτανες στο 1.

21
00:00:45,658 --> 00:00:51,248
Έτσι έχουμε 2+2=4 και 3-2=1.

22
00:00:51,248 --> 00:00:52,980
Και αυτά φαντάζομαι είναι εύκολα για σας.

23
00:00:52,990 --> 00:00:56,990
Τώρα, τι θα γινόταν αν σας ρώταγα πόσο κάνει "1-3";

24
00:00:56,990 --> 00:00:58,150
Ε;

25
00:00:58,150 --> 00:01:00,100
Λοιπόν, είναι το ίδιο πράγμα.

26
00:01:00,100 --> 00:01:03,847
Ξεκινάς από το 1 και πάμε 1...

27
00:01:03,847 --> 00:01:06,960
θα πάμε κάτω από το 0.

28
00:01:06,960 --> 00:01:07,730
Τι συμβαίνει κάτω από το μηδέν;

29
00:01:07,730 --> 00:01:08,500
Αν πας κάτω από το μηδέν αρχίζεις να είσαι στους αρνητικούς αριθμούς.

30
00:01:08,510 --> 00:01:14,930
-1,-2,-3 και ούτω καθεξής.

31
00:01:14,930 --> 00:01:20,909
Έτσι, ας ξεκινήσω από το 1 εδώ. Έχουμε λοιπόν 1-3...

32
00:01:20,909 --> 00:01:25,610
άρα θα πάω 1,2,3 και θα καταλήξω στο -2.

33
00:01:25,620 --> 00:01:30,680
Άρα, 1-3=-2.

34
00:01:30,680 --> 00:01:33,080
Αυτό είναι κάτι που μάλλον το έχετε ήδη δει να γίνεται...

35
00:01:33,090 --> 00:01:34,729
στην καθημερινή σας ζωή.

36
00:01:34,729 --> 00:01:37,137
Αν σας έλεγα ότι

37
00:01:37,137 --> 00:01:39,225
"πω πω, κάνει ψοφόκρυο σήμερα, έχει ένα βαθμό...

38
00:01:39,225 --> 00:01:40,728
αλλά αύριο η θερμοκρασία θα πέσει άλλους τρεις βαθμούς"...

39
00:01:40,728 --> 00:01:42,038
ήδη θα ξέρετε μάλλον από μόνοι σας

40
00:01:42,038 --> 00:01:44,502
ότι θα έχουμε...

41
00:01:44,502 --> 00:01:46,925
μια θερμοκρασία μείον δύο βαθμών.

42
00:01:46,925 --> 00:01:48,040
Αυτό σημαίνει λοιπόν ο αρνητικός αριθμός.

43
00:01:48,040 --> 00:01:51,132
Απλώς να θυμάστε ότι αν ένας αρνητικός αριθμός είναι μεγάλος...

44
00:01:51,132 --> 00:01:58,090
όπως ας πούμε το -50, αυτό είναι πιο κρύο από το -20, ε;

45
00:01:58,090 --> 00:02:01,710
Έτσι, το -50 είναι στην πραγματικότητα ακόμα μικρότερος αριθμός από το -20.

46
00:02:01,710 --> 00:02:04,926
Κι αυτό γιατί είναι πιο μακρυά στα αριστερά από το -20.

47
00:02:04,926 --> 00:02:07,160
Αυτό είναι κάτι που θα το συνηθίσετε γρήγορα.

48
00:02:07,170 --> 00:02:08,708
Μερικές φορές μπορεί να αρχίσετε να σκέφτεστε

49
00:02:08,708 --> 00:02:10,185
"α, το 50 είναι μεγαλύτερος αριθμός από το 20"...

50
00:02:10,185 --> 00:02:13,860
αλλά εδώ έχουμε το -50 και όχι το 50.

51
00:02:13,860 --> 00:02:15,306
Ας κάνουμε λοιπόν κάποια προβλήματα.

52
00:02:15,306 --> 00:02:19,270
Θα συνεχίσω να χρησιμοποιώ τη γραμμή των αριθμών

53
00:02:19,280 --> 00:02:22,415
γιατί νομίζω ότι μας είναι χρήσιμη.

54
00:02:22,415 --> 00:02:26,872
Ας λύσουμε το πρόβλημα "5-12".

55
00:02:26,872 --> 00:02:29,785
Νομίζω ότι ήδη μπορεί να σκέφτεστε...

56
00:02:29,785 --> 00:02:34,195
με τι ισούται αυτό.

57
00:02:34,195 --> 00:02:45,144
Αλλά, ας σχεδιάσω μια γραμμή.

58
00:02:45,144 --> 00:02:53,068
Ας ξεκινήσω με το -10, -9, -8...

59
00:02:53,068 --> 00:02:58,780
μου φαίνεται δεν θα μου φτάσει ο χώρος... -7,-6,-5...

60
00:02:58,780 --> 00:03:05,155
θα έπρεπε να το είχα σχεδιάσει από πριν... -4,-3,-2,-1...

61
00:03:05,155 --> 00:03:12,537
0,1,2,3,4 και θα βάλω εδώ το 5.

62
00:03:12,537 --> 00:03:14,494
Θα σπρώξω το βέλος προς τα έξω λιγάκι. Ωραία.

63
00:03:14,494 --> 00:03:15,548
Λοιπόν, 5-12.

64
00:03:15,560 --> 00:03:18,430
Αν ξεκινήσουμε από το 5 -- ας χρησιμοποιήσω κάποιο άλλο χρώμα --

65
00:03:18,430 --> 00:03:20,945
θα ξεκινήσουμε λοιπόν από το 5 εδώ πέρα και θα πάμε 12 θέσεις στα αριστερά....

66
00:03:20,945 --> 00:03:22,805
αφού αφαιρούμε 12.

67
00:03:22,805 --> 00:03:33,870
Πάμε λοιπόν, 1,2,3...

68
00:03:33,870 --> 00:03:38,262
-7.

69
00:03:38,262 --> 00:03:39,993
Ενδιαφέρον...

70
00:03:40,000 --> 00:03:42,789
Γιατί τυχαίνει

71
00:03:42,789 --> 00:03:45,580
το 12 - 5 να μας κάνει +7.

72
00:03:45,590 --> 00:03:48,900
Θέλω λοιπόν να σκεφτείτε για λίγο γιατί συμβαίνει αυτό.

73
00:03:48,900 --> 00:03:52,939
Γιατί η διαφορά μεταξύ του 12 και του 5 είναι 7,

74
00:03:52,939 --> 00:03:58,918
και η διαφορά μεταξύ...

75
00:03:58,918 --> 00:04:00,038
εν πάση περιπτώσει συμβαίνει και το ανάποδο.

76
00:04:00,038 --> 00:04:01,097
Σ' αυτή την κατάσταση λέμε επίσης

77
00:04:01,097 --> 00:04:03,812
ότι η διαφορά ανάμεσα στο 5 και το 12 είναι -7,

78
00:04:03,812 --> 00:04:05,162
αλλά οι αριθμοί απέχουν τόσο...

79
00:04:05,162 --> 00:04:07,496
αλλά τώρα ξεκινάμε με τον μικρότερο αριθμό.

80
00:04:07,496 --> 00:04:09,538
Νομίζω ότι αυτή η τελευταία πρόταση σας μπέρδεψε εντελώς

81
00:04:09,538 --> 00:04:11,789
αλλά θα προχωρήσουμε.

82
00:04:11,789 --> 00:04:18,060
Είπαμε πριν ότι 5-12= -7.

83
00:04:18,060 --> 00:04:19,434
Ας δούμε άλλο ένα πρόβλημα.

84
00:04:19,434 --> 00:04:25,843
Πόσο μας κάνει -3+5;

85
00:04:25,843 --> 00:04:28,050
Ας χρησιμοποιήσουμε την ίδια γραμμή των αριθμών.

86
00:04:28,060 --> 00:04:31,490
Ας πάμε στο -3 και θα προσθέσουμε πέντε

87
00:04:31,490 --> 00:04:33,580
Άρα, θα μετακινηθούμε 5 θέσεις προς τα δεξιά.

88
00:04:33,580 --> 00:04:38,425
Μία, δύο, τρεις, τέσσερις, πέντε.

89
00:04:38,425 --> 00:04:42,602
Φτάνουμε στο 2.

90
00:04:42,602 --> 00:04:44,363
Άρα το αποτέλεσμα είναι 2.

91
00:04:44,363 --> 00:04:48,790
Άρα, -3+5=2.

92
00:04:48,790 --> 00:04:53,843
Αυτό είναι ενδιαφέρον γιατί και το 5-3 μας κάνει κι αυτό 2.

93
00:04:53,843 --> 00:04:57,007
Αυτό που συμβαίνει είναι ότι το "5-3" είναι το ίδιο πράγμα,

94
00:04:57,007 --> 00:05:00,252
είναι απλώς ένας άλλος τρόπος για να γράφουμε το "5 συν -3".

95
00:05:00,252 --> 00:05:04,050
ή το -3 συν 5.

96
00:05:04,050 --> 00:05:07,052
Ένας γενικός και εύκολος τρόπος για να αντιμετωπίζετε τους αρνητικούς αριθμούς...

97
00:05:07,052 --> 00:05:11,640
είναι σαν να είχατε να κάνετε κανονικές προσθέσεις και αφαιρέσεις.

98
00:05:11,640 --> 00:05:15,456
Αλλά τώρα, όταν αφαιρούμε

99
00:05:15,456 --> 00:05:18,634
μπορούμε να πάμε και στα αριστερά, κάτω από το 0.

100
00:05:18,634 --> 00:05:19,826
Ας κάνουμε άλλο ένα πρόβλημα.

101
00:05:19,826 --> 00:05:21,587
Τι συμβαίνει όταν έχουμε...

102
00:05:21,587 --> 00:05:27,111
για παράδειγμα, 2 μείον -3; 2-(-3);

103
00:05:27,111 --> 00:05:30,747
Αν σκεφτείτε πώς θα το λύσουμε,

104
00:05:30,747 --> 00:05:32,079
νομίζω ότι θα βγάλετε άκρη.

105
00:05:32,079 --> 00:05:34,135
Αυτό που γίνεται εδώ είναι ότι ο αρνητικός αριθμός...

106
00:05:34,135 --> 00:05:36,140
τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο.

107
00:05:36,140 --> 00:05:40,425
Έτσι, αυτό είναι το ίδιο με το 2 συν +3.

108
00:05:40,425 --> 00:05:43,050
δηλαδή, 5.

109
00:05:43,060 --> 00:05:46,305
Ας κάνουμε άλλο ένα.

110
00:05:46,305 --> 00:05:52,866
Πόσο κάνει -7 μείον -2;

111
00:05:52,866 --> 00:05:58,010
Αυτό ισοδυναμεί με -7+2.

112
00:05:58,020 --> 00:06:00,144
Άρα, θυμηθείτε, θα ξεκινήσουμε από το -7...

113
00:06:00,144 --> 00:06:03,560
και θα μετακινηθούμε 2 θέσεις στα δεξιά.

114
00:06:03,560 --> 00:06:06,224
Έτσι, αν μετακινηθούμε 1 θέση στα δεξιά θα πάμε στο -6...

115
00:06:06,224 --> 00:06:11,392
και αν μετακινηθούμε και δεύτερη, θα πάμε στο -5.

116
00:06:11,392 --> 00:06:13,755
Αυτό βγάζει νόημα γιατί το -7+2...

117
00:06:13,755 --> 00:06:16,540
είναι το ίδιο με το 2-7.

118
00:06:16,550 --> 00:06:19,351
Αν έχουμε δύο βαθμούς Κελσίου, και...

119
00:06:19,351 --> 00:06:22,475
η θερμοκρασία πέσει επτά βαθμούς, θα φτάσει στο -5.

120
00:06:22,475 --> 00:06:23,230
Ας κάνουμε λίγα ακόμη προβλήματα.

121
00:06:23,240 --> 00:06:25,253
Όσα περισσότερα προβλήματα λύσετε, τόσο περισσότερο θα εξασκηθείτε...

122
00:06:25,253 --> 00:06:26,847
και τα σχήματα εδώ το εξηγούν καλά.

123
00:06:26,847 --> 00:06:29,056
Ίσως καλύτερα απ' ό,τι το εξηγώ εγώ.

124
00:06:29,056 --> 00:06:31,104
Ας κάνουμε λοιπόν πολλά προβλήματα.

125
00:06:31,104 --> 00:06:36,473
Αν σας ρώτα λοιπόν πόσο κάνει το -7-3...

126
00:06:36,473 --> 00:06:39,396
Αυτό που θα κάνουμε είναι να μετακινηθούμε 3 θέσεις στα αριστερά του -7

127
00:06:39,410 --> 00:06:41,386
Θα έχουμε 3 λιγότερα από -7.

128
00:06:41,386 --> 00:06:45,420
Άρα θα έχουμε -10, σωστά;

129
00:06:45,430 --> 00:06:49,055
Αυτό βγάζει νόημα γιατί αν είχαμε να βρούμε το 7+3

130
00:06:49,055 --> 00:06:50,762
Θα ήμασταν στο 7 στα δεξιά του 0...

131
00:06:50,762 --> 00:06:52,504
και θα πηγαίναμε 3 ακόμα θέσεις στα δεξιά του μηδέν...

132
00:06:52,504 --> 00:06:54,538
και θα φτάναμε στο +10.

133
00:06:54,538 --> 00:06:57,385
Άρα αν είμαστε στο 7 στα αριστερά του 0, και μετακινηθούμε άλλες 3 θέσεις στα αριστερά...

134
00:06:57,385 --> 00:06:58,680
θα φτάσουμε στο -10.

135
00:06:58,680 --> 00:06:59,460
Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα.

136
00:06:59,470 --> 00:07:01,048
Ξέρω ότι μάλλον σας μπερδεύω...

137
00:07:01,048 --> 00:07:04,218
αλλά η εξάσκηση θα μας βοηθήσει πολύ.

138
00:07:04,218 --> 00:07:09,118
Ας πούμε ότι έχουμε το 3 μείον -3.

139
00:07:09,118 --> 00:07:12,360
Τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο.

140
00:07:12,360 --> 00:07:14,570
Έτσι το αποτέλεσμα είναι 6.

141
00:07:14,570 --> 00:07:17,088
Πόσο μας κάνει 3-3;

142
00:07:17,088 --> 00:07:18,687
Αυτό είναι εύκολο.

143
00:07:18,687 --> 00:07:20,687
Μας κάνει 0.

144
00:07:20,687 --> 00:07:23,980
Πόσο μας κάνει -3-3;

145
00:07:23,990 --> 00:07:26,420
Θα έχουμε 3 λιγότερα από το -3...

146
00:07:26,420 --> 00:07:28,880
δηλαδή -6.

147
00:07:28,880 --> 00:07:34,030
Πόσο μας κάνει -3 μείον -3.

148
00:07:34,040 --> 00:07:35,500
Ενδιαφέρον...

149
00:07:35,500 --> 00:07:40,790
Τα δύο μείον ακυρώνονται, αλλά έχουμε -3+3.

150
00:07:40,800 --> 00:07:44,028
Αν ξεκινήσουμε λοιπόν στο 3 στα αριστερά του 0, και μετακινηθούμε 3 θέσεις στα δεξιά...

151
00:07:44,028 --> 00:07:46,060
θα φτάσουμε ξανά στο 0.

152
00:07:46,060 --> 00:07:48,240
Βγάζει νόημα έτσι;

153
00:07:48,250 --> 00:07:49,360
Ας το ξανακάνουμε αυτό το τελευταίο.

154
00:07:49,370 --> 00:07:53,290
-3 μείον -3.

155
00:07:53,290 --> 00:07:56,390
Κάθε αριθμός μείον τον εαυτό του μας κάνει μηδέν, έτσι;

156
00:07:56,390 --> 00:07:57,950
Γι' αυτό και εδώ το αποτέλεσμα είναι 0.

157
00:07:57,950 --> 00:08:00,868
Και γι' αυτό βγάζει νόημα το ότι

158
00:08:00,868 --> 00:08:03,183
τα δύο μείον ακυρώνουν το ένα το άλλο.

159
00:08:03,183 --> 00:08:05,498
Οι δύο αυτοί τρόποι είναι ουσιαστικά το ίδιο.

160
00:08:05,498 --> 00:08:07,429
Ας κάνουμε λοιπόν κι άλλα προβλήματα.

161
00:08:07,429 --> 00:08:12,140
Ας κάνουμε το 12 - 13.

162
00:08:12,140 --> 00:08:13,610
Αυτό είναι σχετικά εύκολο.

163
00:08:13,620 --> 00:08:17,940
12 - 12 = 0, άρα 12 - 13 = -1.

164
00:08:17,940 --> 00:08:20,920
Κι αυτό γιατί θα πάμε 1 θέση στα αριστερά του 0.

165
00:08:20,930 --> 00:08:24,670
Ας κάνουμε το 8 - 5.

166
00:08:24,670 --> 00:08:27,270
Αυτό είναι ένα απλό πρόβλημα, μας κάνει 3.

167
00:08:27,270 --> 00:08:29,640
Πόσο μας κάνει 5-8;

168
00:08:29,640 --> 00:08:31,988
Θα φτάσουμε μέχρι το 0...

169
00:08:31,988 --> 00:08:35,420
και μετά θα μετακινηθούμε 3 ακόμα θέσεις στα αριστερά του μηδέν. Άρα το αποτέλεσμα είναι -3.

170
00:08:35,420 --> 00:08:38,500
Θα μπορούσα να σχεδιάσω μια γραμμή των αριθμών εδώ.

171
00:08:38,500 --> 00:08:43,468
Αν αυτό είναι το 0, αυτό είναι το 5...

172
00:08:43,468 --> 00:08:47,233
και τώρα θα πάμε 8 θέσεις στα αριστερά...

173
00:08:47,233 --> 00:08:48,290
κι έτσι θα φτάσουμε στο -3.

174
00:08:48,300 --> 00:08:49,400
Θα μπορούσατε να το κάνετε αυτό για όλα αυτά τα προβλήματα.

175
00:08:49,400 --> 00:08:51,770
Θα ήταν μάλιστα μια ωραία άσκηση.

176
00:08:51,770 --> 00:08:54,113
Νομίζω ότι κάναμε μια ωραία εισαγωγή

177
00:08:54,113 --> 00:08:56,220
και σας συνιστώ να κάνετε τις πράξεις στο σάιτ...

178
00:08:56,220 --> 00:08:58,281
γιατί οι πράξεις

179
00:08:58,281 --> 00:08:58,977
ιδιαίτερα αν δείτε τα κόλπα

180
00:08:58,977 --> 00:08:59,673
έχουν και ωραία γραφικά.

181
00:08:59,673 --> 00:09:01,578
Τα γραφικά στο σάιτ είναι πολύ πιο ωραία

182
00:09:01,578 --> 00:09:03,990
από αυτά που σχεδιάζω σ' αυτόν τον πίνακα.

183
00:09:03,990 --> 00:09:05,463
Δοκιμάστε το λοιπόν...

184
00:09:05,463 --> 00:09:07,494
και θα ετοιμάσω και περισσότερες ασκήσεις στο σάιτ...

185
00:09:07,509 --> 00:09:09,140
που ελπίζω ότι δε θα σας μπερδέψουν πολύ.

186
00:09:09,140 --> 00:09:10,533
Θα μπορούσατε επίσης να παρακολουθήσετε το σεμινάριο

187
00:09:10,533 --> 00:09:12,700
με θέμα την πρόσθεση και την αφαίρεση των αρνητικών αριθμών.

188
00:09:12,700 --> 00:09:14,160
Ελπίζω να το διασκεδάσετε!

189
00:09:14,160 --> 00:09:15,460
Τα λέμε!