WEBVTT

00:00:00.040 --> 00:00:07.630
3.4028(其中2和8循环出现)属于哪个数集？

00:00:07.630 --> 00:00:08.550
在回答这个问题前

00:00:08.550 --> 00:00:11.000
思考一下这个数代表什么

00:00:11.000 --> 00:00:13.000
特别是上面这条线代表什么

00:00:13.000 --> 00:00:17.260
上面这条线表示2 8无限循环下去

00:00:17.260 --> 00:00:23.910
所以这个数可表示成3.4028

00:00:23.910 --> 00:00:26.010
28一直重复下去

00:00:26.010 --> 00:00:29.660
28无穷重复下去

00:00:29.660 --> 00:00:32.380
将28一直写下去

00:00:32.380 --> 00:00:35.090
很明显 在28上面画这条横线

00:00:35.090 --> 00:00:37.460
表示无限循环更简单

00:00:37.460 --> 00:00:41.020
思考一下它属于哪个数集

00:00:41.020 --> 00:00:44.100
到目前为止 我们讨论过的范围最大的数集

00:00:44.100 --> 00:00:45.330
是实数集

00:00:45.330 --> 00:00:48.040
这个数肯定属于实数集

00:00:48.040 --> 00:00:50.630
实数实际上是我们经常使用的

00:00:50.630 --> 00:00:51.720
用整个数轴线表示

00:00:51.720 --> 00:00:55.730
3.4028(2和8无限循环)在这里的某个地方

00:00:55.730 --> 00:01:01.030
如果这是-1 这是0 1 2 3 4

00:01:01.030 --> 00:01:06.360
3.4028(2和8无限循环)比3.4大点 比3.41小点

00:01:06.360 --> 00:01:07.700
它在这个位置

00:01:07.700 --> 00:01:09.390
所以它肯定在数轴线上

00:01:09.390 --> 00:01:11.000
这是实数

00:01:11.000 --> 00:01:13.080
它肯定是实数

00:01:13.080 --> 00:01:16.030
它肯定是实数

00:01:16.030 --> 00:01:20.010
但不那么明显的问题是 它是不是有理数

00:01:20.010 --> 00:01:23.360
记住 有理数是能表示成

00:01:23.360 --> 00:01:26.930
有理式或分式的数

00:01:26.930 --> 00:01:32.320
如果p是有理数

00:01:32.320 --> 00:01:37.940
表示p能表示成两个整数的比率

00:01:37.940 --> 00:01:47.850
表示p能表示成两整数的比值 m/n

00:01:47.850 --> 00:01:48.220
问题是

00:01:48.220 --> 00:01:51.400
能将这个数表示成两整数的比值吗？

00:01:51.400 --> 00:01:54.060
另一种思考方法是 这个数能表示成分数吗？

00:01:54.060 --> 00:01:58.050
要解这题 我们把它表示成分数

00:01:58.050 --> 00:02:01.030
我们令x等于这个数

00:02:01.030 --> 00:02:09.730
x=3.4028(2和8无限循环)

00:02:09.730 --> 00:02:12.790
思考一下10000x等于多少

00:02:12.790 --> 00:02:14.490
我要求10000x的唯一原因是

00:02:14.490 --> 00:02:17.000
我想将小数点移到最右边

00:02:17.000 --> 00:02:20.970
10000x

00:02:20.970 --> 00:02:23.030
这等于多少？

00:02:23.030 --> 00:02:25.490
每次乘以10

00:02:25.490 --> 00:02:27.430
都将小数点右移一位

00:02:27.430 --> 00:02:29.470
10000是10的四次方

00:02:29.470 --> 00:02:32.840
也就相当于将小数点右移四位

00:02:32.840 --> 00:02:36.460
1 2 3 4

00:02:36.460 --> 00:02:40.770
这等于34028

00:02:40.770 --> 00:02:42.710
不过2和8仍无限循环

00:02:42.710 --> 00:02:45.640
28仍无限循环下去

00:02:45.640 --> 00:02:46.620
一直往后

00:02:46.620 --> 00:02:49.500
这些数都移到小数点的左边了

00:02:49.500 --> 00:02:50.590
小数点右移4位

00:02:50.590 --> 00:02:51.000
大家可以像这样思考

00:02:51.000 --> 00:02:53.010
这说得通

00:02:53.010 --> 00:02:54.530
它接近3又1/2

00:02:54.530 --> 00:02:57.870
如果乘以10000 3又1/2变成35000

00:02:57.870 --> 00:02:59.040
这是10000x

00:02:59.040 --> 00:03:01.000
我们思考一下100x

00:03:01.000 --> 00:03:04.360
我想做的是得到两个数

00:03:04.360 --> 00:03:06.330
它们是x的表达式 如果将它们相减

00:03:06.330 --> 00:03:08.010
无限循环的部分会消失

00:03:08.010 --> 00:03:10.550
我们可以将它们当做传统的数字

00:03:10.550 --> 00:03:13.020
思考一下100x等于多少

00:03:13.020 --> 00:03:15.050
100x

00:03:15.050 --> 00:03:17.000
将小数点移到这

00:03:17.000 --> 00:03:18.580
记住 小数点最初在这

00:03:18.580 --> 00:03:20.680
乘100将它右移了2位

00:03:20.680 --> 00:03:24.870
100x将变成300 像这样写

00:03:24.870 --> 00:03:30.670
变成340.28(2和8无限循环)

00:03:30.670 --> 00:03:32.220
可以将无限循环的28写在这

00:03:32.220 --> 00:03:33.000
但这样写没什么用处

00:03:33.000 --> 00:03:34.790
大家习惯将它写在小数点后

00:03:34.790 --> 00:03:37.030
否则还要将28写一遍 表示它一直循环

00:03:37.030 --> 00:03:39.070
有趣的事会发生

00:03:39.070 --> 00:03:42.410
这两个数是x的倍数

00:03:42.410 --> 00:03:45.710
如果将上面的数减去底下的数

00:03:45.710 --> 00:03:46.520
将会发生什么？

00:03:46.520 --> 00:03:48.480
循环部分将消失

00:03:48.480 --> 00:03:49.110
我们减一下

00:03:49.110 --> 00:03:52.020
在方程两边都做减法

00:03:52.020 --> 00:03:53.020
减一下

00:03:53.020 --> 00:03:56.860
在方程左边

00:03:56.860 --> 00:04:03.500
10000x减100x等于9900x

00:04:03.500 --> 00:04:05.580
在方程右边 大家看看

00:04:05.580 --> 00:04:08.020
小数部分抵消了

00:04:08.020 --> 00:04:12.000
我们求一下34028减340等于多少

00:04:12.000 --> 00:04:14.010
大家求解一下

00:04:14.010 --> 00:04:16.900
8比0大 所以这里不要重组数字

00:04:16.900 --> 00:04:19.820
2小于4

00:04:19.820 --> 00:04:21.750
我们要重组数字

00:04:21.750 --> 00:04:25.050
我们不能借数 因为这里是0

00:04:25.050 --> 00:04:26.540
0小于3

00:04:26.540 --> 00:04:29.000
这里要重组数字或借位

00:04:29.000 --> 00:04:31.070
我们首先向4借数

00:04:31.070 --> 00:04:33.750
如果向4借数

00:04:33.750 --> 00:04:38.010
这变成3 这变成10

00:04:38.010 --> 00:04:40.390
2可以向10借数了

00:04:40.390 --> 00:04:44.000
这变成9 这变成12

00:04:44.000 --> 00:04:45.500
我们可以做减法了

00:04:45.500 --> 00:04:48.030
8减0等于8

00:04:48.030 --> 00:04:51.010
12减4等于8

00:04:51.010 --> 00:04:53.650
9减3等于6

00:04:53.650 --> 00:04:55.820
3减法空是3

00:04:55.820 --> 00:04:57.780
3减去空仍是3

00:04:57.780 --> 00:05:05.370
9900x等于33688

00:05:05.370 --> 00:05:09.290
我们将它减去340

00:05:09.290 --> 00:05:13.010
得到33688

00:05:13.010 --> 00:05:14.550
如果要求解x

00:05:14.550 --> 00:05:21.060
将两边都除以9900

00:05:21.060 --> 00:05:23.740
左边除以9900

00:05:23.740 --> 00:05:26.670
右边除以9900

00:05:26.670 --> 00:05:28.000
左边剩下什么？

00:05:28.000 --> 00:05:36.580
得到x=33688/9900

00:05:36.580 --> 00:05:38.480
这有什么大用处呢？

00:05:38.480 --> 00:05:40.150
x是这个数

00:05:40.150 --> 00:05:42.470
x是我们一开始讨论的数

00:05:42.470 --> 00:05:44.590
这个数无限循环下去

00:05:44.590 --> 00:05:46.830
做一些代数操作

00:05:46.830 --> 00:05:49.070
这个数的一个倍数减去这个数的另一个倍数

00:05:49.070 --> 00:05:52.440
我们可以将x表示成分数

00:05:52.440 --> 00:05:53.990
这不是最简分式

00:05:53.990 --> 00:05:59.000
一看就知道 它们是2的倍数 是4的倍数

00:05:59.000 --> 00:06:00.680
我们可以将它表示成最简分数

00:06:00.680 --> 00:06:02.870
不过我们不关心这个

00:06:02.870 --> 00:06:05.830
我们关心的是能表示出x这个事实

00:06:05.830 --> 00:06:09.000
我们能够将这个数字表示成分数

00:06:09.000 --> 00:06:11.600
表示成两整数的比例

00:06:11.600 --> 00:06:14.620
所以这个数是有理数

00:06:14.620 --> 00:06:16.460
它也是有理数

00:06:16.460 --> 00:06:20.700
我们用的方法不仅适用于这个数

00:06:20.700 --> 00:06:24.110
对任何有重复数字的数

00:06:24.110 --> 00:06:25.000
大家可用这个方法

00:06:25.000 --> 00:06:27.530
一般来说 有无限循环的数都是有理数

00:06:27.530 --> 00:06:30.390
无理数是永远不会有无限循环的数的

00:06:30.390 --> 00:06:32.080
正如π

00:06:32.080 --> 00:06:34.600
另一件事 我想这很明显

00:06:34.600 --> 00:06:35.590
这不是整数

00:06:35.590 --> 00:06:38.000
整数是我们讨论的整的数字

00:06:38.000 --> 00:06:40.380
这个数处于两个整数之间

00:06:40.380 --> 00:06:42.820
它不是自然数或整的数字

00:06:42.820 --> 00:06:46.480
自然数是整数的子集

00:06:46.480 --> 00:06:47.500
这个数不是整数 不是自然数

00:06:47.500 --> 00:06:49.010
这是实数 也是有理数

00:06:49.010 --> 00:06:51.040
这是我们得到的答案