3.4028(其中2和8循环出现)属于哪个数集？

在回答这个问题前

思考一下这个数代表什么

特别是上面这条线代表什么

上面这条线表示2 8无限循环下去

所以这个数可表示成3.4028

28一直重复下去

28无穷重复下去

将28一直写下去

很明显 在28上面画这条横线

表示无限循环更简单

思考一下它属于哪个数集

到目前为止 我们讨论过的范围最大的数集

是实数集

这个数肯定属于实数集

实数实际上是我们经常使用的

用整个数轴线表示

3.4028(2和8无限循环)在这里的某个地方

如果这是-1 这是0 1 2 3 4

3.4028(2和8无限循环)比3.4大点 比3.41小点

它在这个位置

所以它肯定在数轴线上

这是实数

它肯定是实数

它肯定是实数

但不那么明显的问题是 它是不是有理数

记住 有理数是能表示成

有理式或分式的数

如果p是有理数

表示p能表示成两个整数的比率

表示p能表示成两整数的比值 m/n

问题是

能将这个数表示成两整数的比值吗？

另一种思考方法是 这个数能表示成分数吗？

要解这题 我们把它表示成分数

我们令x等于这个数

x=3.4028(2和8无限循环)

思考一下10000x等于多少

我要求10000x的唯一原因是

我想将小数点移到最右边

10000x

这等于多少？

每次乘以10

都将小数点右移一位

10000是10的四次方

也就相当于将小数点右移四位

1 2 3 4

这等于34028

不过2和8仍无限循环

28仍无限循环下去

一直往后

这些数都移到小数点的左边了

小数点右移4位

大家可以像这样思考

这说得通

它接近3又1/2

如果乘以10000 3又1/2变成35000

这是10000x

我们思考一下100x

我想做的是得到两个数

它们是x的表达式 如果将它们相减

无限循环的部分会消失

我们可以将它们当做传统的数字

思考一下100x等于多少

100x

将小数点移到这

记住 小数点最初在这

乘100将它右移了2位

100x将变成300 像这样写

变成340.28(2和8无限循环)

可以将无限循环的28写在这

但这样写没什么用处

大家习惯将它写在小数点后

否则还要将28写一遍 表示它一直循环

有趣的事会发生

这两个数是x的倍数

如果将上面的数减去底下的数

将会发生什么？

循环部分将消失

我们减一下

在方程两边都做减法

减一下

在方程左边

10000x减100x等于9900x

在方程右边 大家看看

小数部分抵消了

我们求一下34028减340等于多少

大家求解一下

8比0大 所以这里不要重组数字

2小于4

我们要重组数字

我们不能借数 因为这里是0

0小于3

这里要重组数字或借位

我们首先向4借数

如果向4借数

这变成3 这变成10

2可以向10借数了

这变成9 这变成12

我们可以做减法了

8减0等于8

12减4等于8

9减3等于6

3减法空是3

3减去空仍是3

9900x等于33688

我们将它减去340

得到33688

如果要求解x

将两边都除以9900

左边除以9900

右边除以9900

左边剩下什么？

得到x=33688/9900

这有什么大用处呢？

x是这个数

x是我们一开始讨论的数

这个数无限循环下去

做一些代数操作

这个数的一个倍数减去这个数的另一个倍数

我们可以将x表示成分数

这不是最简分式

一看就知道 它们是2的倍数 是4的倍数

我们可以将它表示成最简分数

不过我们不关心这个

我们关心的是能表示出x这个事实

我们能够将这个数字表示成分数

表示成两整数的比例

所以这个数是有理数

它也是有理数

我们用的方法不仅适用于这个数

对任何有重复数字的数

大家可用这个方法

一般来说 有无限循环的数都是有理数

无理数是永远不会有无限循环的数的

正如π

另一件事 我想这很明显

这不是整数

整数是我们讨论的整的数字

这个数处于两个整数之间

它不是自然数或整的数字

自然数是整数的子集

这个数不是整数 不是自然数

这是实数 也是有理数

这是我们得到的答案