1
00:00:00,040 --> 00:00:07,630
3.4028(其中2和8循环出现)属于哪个数集？

2
00:00:07,630 --> 00:00:08,550
在回答这个问题前

3
00:00:08,550 --> 00:00:11,000
思考一下这个数代表什么

4
00:00:11,000 --> 00:00:13,000
特别是上面这条线代表什么

5
00:00:13,000 --> 00:00:17,260
上面这条线表示2 8无限循环下去

6
00:00:17,260 --> 00:00:23,910
所以这个数可表示成3.4028

7
00:00:23,910 --> 00:00:26,010
28一直重复下去

8
00:00:26,010 --> 00:00:29,660
28无穷重复下去

9
00:00:29,660 --> 00:00:32,380
将28一直写下去

10
00:00:32,380 --> 00:00:35,090
很明显 在28上面画这条横线

11
00:00:35,090 --> 00:00:37,460
表示无限循环更简单

12
00:00:37,460 --> 00:00:41,020
思考一下它属于哪个数集

13
00:00:41,020 --> 00:00:44,100
到目前为止 我们讨论过的范围最大的数集

14
00:00:44,100 --> 00:00:45,330
是实数集

15
00:00:45,330 --> 00:00:48,040
这个数肯定属于实数集

16
00:00:48,040 --> 00:00:50,630
实数实际上是我们经常使用的

17
00:00:50,630 --> 00:00:51,720
用整个数轴线表示

18
00:00:51,720 --> 00:00:55,730
3.4028(2和8无限循环)在这里的某个地方

19
00:00:55,730 --> 00:01:01,030
如果这是-1 这是0 1 2 3 4

20
00:01:01,030 --> 00:01:06,360
3.4028(2和8无限循环)比3.4大点 比3.41小点

21
00:01:06,360 --> 00:01:07,700
它在这个位置

22
00:01:07,700 --> 00:01:09,390
所以它肯定在数轴线上

23
00:01:09,390 --> 00:01:11,000
这是实数

24
00:01:11,000 --> 00:01:13,080
它肯定是实数

25
00:01:13,080 --> 00:01:16,030
它肯定是实数

26
00:01:16,030 --> 00:01:20,010
但不那么明显的问题是 它是不是有理数

27
00:01:20,010 --> 00:01:23,360
记住 有理数是能表示成

28
00:01:23,360 --> 00:01:26,930
有理式或分式的数

29
00:01:26,930 --> 00:01:32,320
如果p是有理数

30
00:01:32,320 --> 00:01:37,940
表示p能表示成两个整数的比率

31
00:01:37,940 --> 00:01:47,850
表示p能表示成两整数的比值 m/n

32
00:01:47,850 --> 00:01:48,220
问题是

33
00:01:48,220 --> 00:01:51,400
能将这个数表示成两整数的比值吗？

34
00:01:51,400 --> 00:01:54,060
另一种思考方法是 这个数能表示成分数吗？

35
00:01:54,060 --> 00:01:58,050
要解这题 我们把它表示成分数

36
00:01:58,050 --> 00:02:01,030
我们令x等于这个数

37
00:02:01,030 --> 00:02:09,730
x=3.4028(2和8无限循环)

38
00:02:09,730 --> 00:02:12,790
思考一下10000x等于多少

39
00:02:12,790 --> 00:02:14,490
我要求10000x的唯一原因是

40
00:02:14,490 --> 00:02:17,000
我想将小数点移到最右边

41
00:02:17,000 --> 00:02:20,970
10000x

42
00:02:20,970 --> 00:02:23,030
这等于多少？

43
00:02:23,030 --> 00:02:25,490
每次乘以10

44
00:02:25,490 --> 00:02:27,430
都将小数点右移一位

45
00:02:27,430 --> 00:02:29,470
10000是10的四次方

46
00:02:29,470 --> 00:02:32,840
也就相当于将小数点右移四位

47
00:02:32,840 --> 00:02:36,460
1 2 3 4

48
00:02:36,460 --> 00:02:40,770
这等于34028

49
00:02:40,770 --> 00:02:42,710
不过2和8仍无限循环

50
00:02:42,710 --> 00:02:45,640
28仍无限循环下去

51
00:02:45,640 --> 00:02:46,620
一直往后

52
00:02:46,620 --> 00:02:49,500
这些数都移到小数点的左边了

53
00:02:49,500 --> 00:02:50,590
小数点右移4位

54
00:02:50,590 --> 00:02:51,000
大家可以像这样思考

55
00:02:51,000 --> 00:02:53,010
这说得通

56
00:02:53,010 --> 00:02:54,530
它接近3又1/2

57
00:02:54,530 --> 00:02:57,870
如果乘以10000 3又1/2变成35000

58
00:02:57,870 --> 00:02:59,040
这是10000x

59
00:02:59,040 --> 00:03:01,000
我们思考一下100x

60
00:03:01,000 --> 00:03:04,360
我想做的是得到两个数

61
00:03:04,360 --> 00:03:06,330
它们是x的表达式 如果将它们相减

62
00:03:06,330 --> 00:03:08,010
无限循环的部分会消失

63
00:03:08,010 --> 00:03:10,550
我们可以将它们当做传统的数字

64
00:03:10,550 --> 00:03:13,020
思考一下100x等于多少

65
00:03:13,020 --> 00:03:15,050
100x

66
00:03:15,050 --> 00:03:17,000
将小数点移到这

67
00:03:17,000 --> 00:03:18,580
记住 小数点最初在这

68
00:03:18,580 --> 00:03:20,680
乘100将它右移了2位

69
00:03:20,680 --> 00:03:24,870
100x将变成300 像这样写

70
00:03:24,870 --> 00:03:30,670
变成340.28(2和8无限循环)

71
00:03:30,670 --> 00:03:32,220
可以将无限循环的28写在这

72
00:03:32,220 --> 00:03:33,000
但这样写没什么用处

73
00:03:33,000 --> 00:03:34,790
大家习惯将它写在小数点后

74
00:03:34,790 --> 00:03:37,030
否则还要将28写一遍 表示它一直循环

75
00:03:37,030 --> 00:03:39,070
有趣的事会发生

76
00:03:39,070 --> 00:03:42,410
这两个数是x的倍数

77
00:03:42,410 --> 00:03:45,710
如果将上面的数减去底下的数

78
00:03:45,710 --> 00:03:46,520
将会发生什么？

79
00:03:46,520 --> 00:03:48,480
循环部分将消失

80
00:03:48,480 --> 00:03:49,110
我们减一下

81
00:03:49,110 --> 00:03:52,020
在方程两边都做减法

82
00:03:52,020 --> 00:03:53,020
减一下

83
00:03:53,020 --> 00:03:56,860
在方程左边

84
00:03:56,860 --> 00:04:03,500
10000x减100x等于9900x

85
00:04:03,500 --> 00:04:05,580
在方程右边 大家看看

86
00:04:05,580 --> 00:04:08,020
小数部分抵消了

87
00:04:08,020 --> 00:04:12,000
我们求一下34028减340等于多少

88
00:04:12,000 --> 00:04:14,010
大家求解一下

89
00:04:14,010 --> 00:04:16,900
8比0大 所以这里不要重组数字

90
00:04:16,900 --> 00:04:19,820
2小于4

91
00:04:19,820 --> 00:04:21,750
我们要重组数字

92
00:04:21,750 --> 00:04:25,050
我们不能借数 因为这里是0

93
00:04:25,050 --> 00:04:26,540
0小于3

94
00:04:26,540 --> 00:04:29,000
这里要重组数字或借位

95
00:04:29,000 --> 00:04:31,070
我们首先向4借数

96
00:04:31,070 --> 00:04:33,750
如果向4借数

97
00:04:33,750 --> 00:04:38,010
这变成3 这变成10

98
00:04:38,010 --> 00:04:40,390
2可以向10借数了

99
00:04:40,390 --> 00:04:44,000
这变成9 这变成12

100
00:04:44,000 --> 00:04:45,500
我们可以做减法了

101
00:04:45,500 --> 00:04:48,030
8减0等于8

102
00:04:48,030 --> 00:04:51,010
12减4等于8

103
00:04:51,010 --> 00:04:53,650
9减3等于6

104
00:04:53,650 --> 00:04:55,820
3减法空是3

105
00:04:55,820 --> 00:04:57,780
3减去空仍是3

106
00:04:57,780 --> 00:05:05,370
9900x等于33688

107
00:05:05,370 --> 00:05:09,290
我们将它减去340

108
00:05:09,290 --> 00:05:13,010
得到33688

109
00:05:13,010 --> 00:05:14,550
如果要求解x

110
00:05:14,550 --> 00:05:21,060
将两边都除以9900

111
00:05:21,060 --> 00:05:23,740
左边除以9900

112
00:05:23,740 --> 00:05:26,670
右边除以9900

113
00:05:26,670 --> 00:05:28,000
左边剩下什么？

114
00:05:28,000 --> 00:05:36,580
得到x=33688/9900

115
00:05:36,580 --> 00:05:38,480
这有什么大用处呢？

116
00:05:38,480 --> 00:05:40,150
x是这个数

117
00:05:40,150 --> 00:05:42,470
x是我们一开始讨论的数

118
00:05:42,470 --> 00:05:44,590
这个数无限循环下去

119
00:05:44,590 --> 00:05:46,830
做一些代数操作

120
00:05:46,830 --> 00:05:49,070
这个数的一个倍数减去这个数的另一个倍数

121
00:05:49,070 --> 00:05:52,440
我们可以将x表示成分数

122
00:05:52,440 --> 00:05:53,990
这不是最简分式

123
00:05:53,990 --> 00:05:59,000
一看就知道 它们是2的倍数 是4的倍数

124
00:05:59,000 --> 00:06:00,680
我们可以将它表示成最简分数

125
00:06:00,680 --> 00:06:02,870
不过我们不关心这个

126
00:06:02,870 --> 00:06:05,830
我们关心的是能表示出x这个事实

127
00:06:05,830 --> 00:06:09,000
我们能够将这个数字表示成分数

128
00:06:09,000 --> 00:06:11,600
表示成两整数的比例

129
00:06:11,600 --> 00:06:14,620
所以这个数是有理数

130
00:06:14,620 --> 00:06:16,460
它也是有理数

131
00:06:16,460 --> 00:06:20,700
我们用的方法不仅适用于这个数

132
00:06:20,700 --> 00:06:24,110
对任何有重复数字的数

133
00:06:24,110 --> 00:06:25,000
大家可用这个方法

134
00:06:25,000 --> 00:06:27,530
一般来说 有无限循环的数都是有理数

135
00:06:27,530 --> 00:06:30,390
无理数是永远不会有无限循环的数的

136
00:06:30,390 --> 00:06:32,080
正如π

137
00:06:32,080 --> 00:06:34,600
另一件事 我想这很明显

138
00:06:34,600 --> 00:06:35,590
这不是整数

139
00:06:35,590 --> 00:06:38,000
整数是我们讨论的整的数字

140
00:06:38,000 --> 00:06:40,380
这个数处于两个整数之间

141
00:06:40,380 --> 00:06:42,820
它不是自然数或整的数字

142
00:06:42,820 --> 00:06:46,480
自然数是整数的子集

143
00:06:46,480 --> 00:06:47,500
这个数不是整数 不是自然数

144
00:06:47,500 --> 00:06:49,010
这是实数 也是有理数

145
00:06:49,010 --> 00:06:51,040
这是我们得到的答案