3.4028(其中2和8循环出现)属于哪个数集?
在回答这个问题前
思考一下这个数代表什么
特别是上面这条线代表什么
上面这条线表示2 8无限循环下去
所以这个数可表示成3.4028
28一直重复下去
28无穷重复下去
将28一直写下去
很明显 在28上面画这条横线
表示无限循环更简单
思考一下它属于哪个数集
到目前为止 我们讨论过的范围最大的数集
是实数集
这个数肯定属于实数集
实数实际上是我们经常使用的
用整个数轴线表示
3.4028(2和8无限循环)在这里的某个地方
如果这是-1 这是0 1 2 3 4
3.4028(2和8无限循环)比3.4大点 比3.41小点
它在这个位置
所以它肯定在数轴线上
这是实数
它肯定是实数
它肯定是实数
但不那么明显的问题是 它是不是有理数
记住 有理数是能表示成
有理式或分式的数
如果p是有理数
表示p能表示成两个整数的比率
表示p能表示成两整数的比值 m/n
问题是
能将这个数表示成两整数的比值吗?
另一种思考方法是 这个数能表示成分数吗?
要解这题 我们把它表示成分数
我们令x等于这个数
x=3.4028(2和8无限循环)
思考一下10000x等于多少
我要求10000x的唯一原因是
我想将小数点移到最右边
10000x
这等于多少?
每次乘以10
都将小数点右移一位
10000是10的四次方
也就相当于将小数点右移四位
1 2 3 4
这等于34028
不过2和8仍无限循环
28仍无限循环下去
一直往后
这些数都移到小数点的左边了
小数点右移4位
大家可以像这样思考
这说得通
它接近3又1/2
如果乘以10000 3又1/2变成35000
这是10000x
我们思考一下100x
我想做的是得到两个数
它们是x的表达式 如果将它们相减
无限循环的部分会消失
我们可以将它们当做传统的数字
思考一下100x等于多少
100x
将小数点移到这
记住 小数点最初在这
乘100将它右移了2位
100x将变成300 像这样写
变成340.28(2和8无限循环)
可以将无限循环的28写在这
但这样写没什么用处
大家习惯将它写在小数点后
否则还要将28写一遍 表示它一直循环
有趣的事会发生
这两个数是x的倍数
如果将上面的数减去底下的数
将会发生什么?
循环部分将消失
我们减一下
在方程两边都做减法
减一下
在方程左边
10000x减100x等于9900x
在方程右边 大家看看
小数部分抵消了
我们求一下34028减340等于多少
大家求解一下
8比0大 所以这里不要重组数字
2小于4
我们要重组数字
我们不能借数 因为这里是0
0小于3
这里要重组数字或借位
我们首先向4借数
如果向4借数
这变成3 这变成10
2可以向10借数了
这变成9 这变成12
我们可以做减法了
8减0等于8
12减4等于8
9减3等于6
3减法空是3
3减去空仍是3
9900x等于33688
我们将它减去340
得到33688
如果要求解x
将两边都除以9900
左边除以9900
右边除以9900
左边剩下什么?
得到x=33688/9900
这有什么大用处呢?
x是这个数
x是我们一开始讨论的数
这个数无限循环下去
做一些代数操作
这个数的一个倍数减去这个数的另一个倍数
我们可以将x表示成分数
这不是最简分式
一看就知道 它们是2的倍数 是4的倍数
我们可以将它表示成最简分数
不过我们不关心这个
我们关心的是能表示出x这个事实
我们能够将这个数字表示成分数
表示成两整数的比例
所以这个数是有理数
它也是有理数
我们用的方法不仅适用于这个数
对任何有重复数字的数
大家可用这个方法
一般来说 有无限循环的数都是有理数
无理数是永远不会有无限循环的数的
正如π
另一件事 我想这很明显
这不是整数
整数是我们讨论的整的数字
这个数处于两个整数之间
它不是自然数或整的数字
自然数是整数的子集
这个数不是整数 不是自然数
这是实数 也是有理数
这是我们得到的答案