จำนวน 3.4028 ซ้ำ

อยู่ในเซตจำนวนใดบ้าง?

ก่อนที่ตอบคำถาม ลองคิด

ดูว่าจำนวนนี้แทนอะไร.

โดยเฉพาะเส้นข้างบนนี่
หมายถึงอะไร.

เส้นนี้ข้างบนหมายความว่า 28

ซ้ำไปเรื่อยๆ.

ผมเขียนจำนวนนี้เป็น
3.4028 ก็ได้ แต่ 28 จะ

ซ้ำไปเรื่อยๆ.

ซ้ำไปซ้ำมาไม่รู้จบ.

ผมเขียนมันไปเรื่อยๆ ก็ได้.

แต่แน่นอน มันง่ายกว่าหากเราเขียนเส้นตรง

บน 28 แล้วบอกว่ามันซ้ำตลอดไป.

ทีนี้ ลองคิดดูว่ามันอยู่
เซตจำนวนใดบ้าง.

เซตจำนวนที่ใหญ่ที่สุด
ที่เรายุ่งด้วยตอนนี้ คือ

จำนวนจริง.

และนี่อยู่ในจำนวนจริงชัดเจน.

จำนวนจริง ก็คือจำนวนทุกตัว

บนเส้นจำนวนที่เราใช้.

และ 3.4028 ซ้ำ อยู่สักที่บนนี้.

ถ้านี่คือลบ 1, นี่คือ 0, 1, 2, 3, 4

3.4028 มากกว่า 3.4 นิดหน่อย

น้อยกว่า 3.41 นิดหน่อย.

มันจะอยู่ตรงนี้.

แน่นอน มันอยู่บนเส้นจำนวน.

มันเป็นจำนวนจริง.

มันเป็นจำนวนจริง.

มันเป็นจำนวนจริง.

แต่มันไม่ชัดเจนนัก ว่าเป็น

จำนวนตรรกยะหรือไม่.

นึกดู จำนวนตรรกยะ คือจำนวนที่สามารถเขียน

เป็นพจน์ตรรกยะ หรือเศษส่วนได้.

ถ้าผมบอกคุณว่า p เป็นตรรกยะ
นั่นหมายความว่า p

สามารถเขียนเป็นเศษส่วน
ของจำนวนเต็มสองตัวได้.

นั่นหมายความว่า p สามารถเขียน
เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม

สองตัว, m/n ได้.

คำถามคือว่า ผมเขียนพจน์นี้
เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัวได้ไหม?

หรือคิดอีกอย่างคือ

ผมเขียนมันเป็นเศษส่วนได้ไหม?

เพื่อทำอย่างนั้น ลองเขียน
มันเป็นเศษส่วนดู.

ลองกำหนด x เท่ากับจำนวนนี้.

x เท่ากับ 3.4028 ซ้ำ.

ลองคิดดูว่า 10,000x คืออะไร.

สาเหตุที่ผมอยากคิด 10,000x เพราะ

ผมอยากเลื่อนจุดทศนิยมมาตรงนี้.

งั้น 10,000x

มันจะเท่ากับอะไร?

ทกุครั้งที่คุณคูณด้วย 
10 กำลังหนึ่ง, คุณจะเลื่อนจุดทศนิยม

ไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง.

10,000 คือ 10 กำลังสี่.

มันก็เหมือนเลื่อนทศนิยม

ไปทางขวา 4 ตำแหน่ง.

1, 2, 3, 4.

มันก็คือ 34,028.

แต่ 28 ยังซ้ำไปเรื่อยๆ.

คุณจะยังมี 28 ซ้ำไปเรื่อยๆ

หลังจากนั้นอีก.

มันเลื่อนไปทางซ้ายเทียบกับจุดทศนิยม

5 ตำแหน่ง.

คิดอย่างนั้นก็ได้.

มันใกล้กับ 3 1/2.

ถ้าคุณคูณด้วย 10,000
คูณได้เกือบ 35,000.

นั่นก็คือ 10,000x

ทีนี้ ลองคิดถึง 100x บ้าง

ที่ผมทำตรงนี้ คือผมอยากได้
จำนวนสองตัว

ที่เวลาผมลบมัน
มันจะอยู่ในรูปของ x

แล้วส่วนซ้ำจะหายไป.

แล้วเรามองมันเป็นตัวเลขธรรมดา.

ลองคิดกันว่า 100x คืออะไร.

100x.

มันเลื่อนจุดทศนิยมนี่.

จำไว้ ทศนิยมเดิมอยู่ตรงนี้.

มันเลื่อนไปสองตำแหน่ง.

100x จะเท่ากับ 300 -- 
ขอผมเขียนแบบนี้นะ.

มันจะเป็น 340.28 ซ้ำ.

เราใส่ 28 ซ้ำตรงนี้ก็ได้

แต่มันไม่ค่อยดี.

คุณอยากเขียนมันหลังจุดทศนิยม.

เราต้องเขียน 28 ซ้ำอีกที
เพื่อแสดงว่ามันซ้ำอยู่.

ตอนนี้สิ่งที่น่าสนใจกำลังเกิดขึ้น.

เลขสองตัวนี้ มันเป็นจำนวนเท่าของ x.

แล้วถ้าผมลบข้างล่างออกจากข้างบน

จะเกิดอะไรขึ้น?

ส่วนซ้ำจะหายไป. ลองทำดู.

ลองทำทั้งสองข้างของสมการ.

ทำเลย.

ทางซ้ายยมือของสมการ 10,000x ลบ

100x จะเท่ากับ 9,900x.

ส่วนทางขวามือ ลองดู -- ส่วน

ทศนิยมจะตัดไป.

แล้วเราต้องหาว่า 34,028 ลบ 340
เป็นเท่าใด.

ลองหาค่ากัน.

8 มากกว่า 0, เราจึงไม่ต้องยืม.

2 น้อยกว่า 4.

เราจึงต้องยืม แต่เรายืม

ไม่ได้เพราะเรามี 0 ตรงนี้.

และ 0 น้อยกว่า 3, เราจึง
ต้องยืมอีก.

ยืมอีกทอด.

ลองยืมจาก 4 ก่อน.

ถ้าเรายืมจาก 4, นี่กลายเป็น 3
แล้วนี่กลายเป็น

10.

แล้ว 2 ก็ยืมจาก 10 ได้.

นี่กลายเป็น 9 และ
นี่กลายเป็น 12.

แล้วตอนนี้เราก็ลบได้.

8 ลบ 0 ได้ 8.

12 ลบ 4 ได้ 8.

9 ลบ 3 ได้ 6.

3 ลบว่างเปล่าได้ 3.

3 ลบว่างเปล่าได้ 3.

ดังนั้น 9,900x เท่ากับ 33,688.

เราก็ลบ 340 จากอันบนนี้.

เราจึงได้ 33,688.

ทีนี้ ถ้าเราอยากแก้หา x, เราก็

แค่หารทั้งสองข้างด้วย 9,900.

หารทางซ้ายด้วย 9,900.

หารทางขวาด้วย 9,900.

แล้ว เราจะเหลืออะไร?

เราจะเหลือ x เท่ากับ
33,688 ส่วน 9,900.

แล้วเราทำไปทำไม?

ตอนนี้ x คือจำนวนนี้. x คือ
จำนวนนี้ที่เราเริ่ม

จำนวนที่มีทศนิยมซ้ำ.

แล้วเราจัดการพีชคณิตนิดหน่อย

ลบจำนวนเท่าของมันออกจากอีกตัว
แล้วเราก็เขียน

x เป็นเศษส่วนได้พอดี.

มันไม่ใช่รูปที่ง่ายที่สุด ผมหมายถึง

มันดูเหมือนว่าจะหารด้วย 2
หรือ 4 ลงตัว.

คุณเขียนเป็นรูปอย่างต่ำก็ได้

แต่เราไม่สนใจ.

ที่เราสนใจคือว่า เราสามารถแทน

x, เราสามารถแทนจำนวนนี้
เป็นเศษส่วนได้.

เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว.

จำนวนนี้จึงเป็นจำนวนตรรกยะด้วย.

มันเป็นตรรกยะด้วย.

และเทคนิคที่เราใช้

ไม่ได้ใช้ได้เฉพาะจำนวนนี้.

ทุกครั้งที่คุณมีจำนวนทศนิยมซ้ำ คุณก็ทำได้.

โดยทั่วไป ทศนิยมซ้ำเป็นจำนวนตรรกยะ.

จำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่เคย

ซ้ำ เช่นไพ.

และอีกอย่าง ผมว่ามันชัดเจน

ว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม.

จำนวนเต็ม คือจำนวนที่เราใช้บ่อยๆ.

อันนี้อยู่ระหว่างจำนวนเต็ม.

มันไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ หรือ
จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่ง

เป็นสับเซตของจำนวนเต็ม.

มันไม่อยู่ในนี้เลย.

มันเป็นจำนวนจริง
และเป็นจำนวนตรรกยะ.

เราบอกได้แค่นี้เอง.