რიცხვთა რომელ სიმრავლეს ეკუთვნის პერიოდული ათწილადი 3.4028? ჯერ დავფიქრდეთ, თუ რას აღნიშნავს ეს ხაზი ის ნიშნავს, რომ რიცხვი 28 მუდმივად მეორდება ამ რიცხვის ჩაწერა შემიძლია, როგორც 3.4028282828.... 28 უსასრულოდ მეორდება ამიტომ უფრო მარტივია ასე ხაზით ჩაწერა ახლა დავფიქრდეთ, თუ რომელ რიცხვთა სიმრავლეს ეკუთვნის ეს რიცხვი. ყველაზე დიდი რიცხვთა სიმრავლე რაც ვისწავლეთ არის ნამდვილი რიცხვები ეს რიცხვი კი ნამდვილ რიცხვებს მიეკუთვნება ნამდვილ რიცხვებში მთელი რიცხვითი წრფე შედის ხოლო 3.4028 ნამდვილად იქნება სადღაც ამ წრფეზე, სამსა და ოთხს შორის ამიტომაც ის ნამდვილი რიცხვია არის თუ არა ის რაციონალური რიცხვი? რაციონალური რიცხვის ჩაწერა უნდა შეიძლებოდეს წილადის სახით P რომ რაციონალური იყოს, მისი ჩაწერა უნდა შეიძლებოდეს როგორც m/n სადაც m da n მთელი რიცხვებია შეიძლება ამ რიცხვის ასე ჩაწერა? მოდი ვცადოთ ვთქვათ, x უდრის ამ რიცხვს x უდრის პერიოდულ ათწილადს 3.4028-ს დავფიქრდეთ, რისი ტოლი იქნება 10 000-ჯერ x გამრავლების შემდეგ მძიმე სულ მარჯვნივ გადავა რისი ტოლი იქნება 10 000-ჯერ x 10-ის ყოველ ხარისხზე გამრავლებისას მძიმე ერთი მარჯვნივ გადადის 10 000 არის 10-ის მეოთხე ხარისხი ამიტომ მძიმე ოთხით უნდა გადავწიოთ მარჯვნივ ამიტომ ეს ნამრავლი უდრის 34028.282828..-ს რადგან 28 სულ მეორდება ათწილადი სამნახევრის ტოლი იყო, გამრავლებისას მიიღებ დაახლოებით 34028-ს ახლა x 100-ზე გავამრავლოთ მინდა პერიოდული კომპონენტი გავაქრო რათა ჩვეულებრივ რიცხვად ვაქციო 100-ჯერ x მძიმეს ორით გადაწევს მარჯვნივ 100-ჯერ x იქნება 340.28282828... 28 უნდა დაწერო მძიმის მარჯვნივ მისი პერიოდულობის საჩვენებლად ეს ორივე რიცხვი არის x-ის ჯერადი ზედას რომ გამოვაკლო ქვედა პერიოდული კომპონენტი გაქრება მარცხნივ 10 000x-ს მინუს 100x იქნება 9900x-ის ტოლი მარჯვნივ ათწილადი გაბათილდება და 34028-ს უნდა გამოვაკლოთ 340 8 ნულზე მეტია, სესხება არ მოგვიწევს 2 კი ოთხზე ნაკლებია ამიტომ სესხება მოგვიწევს, თუმცა ამას მარცხნიდან ვერ ვიზამთ, რადგან ნულია ხოლო ნული სამზე მცირეა ამიტომ ვისესხოთ ოთხისგან თუ ვისესხებთ, ოთხი გადაიქცევა სამად, ხოლო ნული გადაიქცევა 10-ად ორი კი ისესხებს 10-იდან 10 გადაიქცევა ცხრად ორი კი გადაიქცევა 12-ად რვას მინუს ნული არის რვა 12-ს მინუს ოთხი არის რვა ცხრას მინუს სამი არის ექვსი სამს მინუს არაფერი არის სამი სამს მინუს არაფერი არის სამი 9900x უდრის 33688-ს x-ის გასაგებად ორივე მხარე გავყოთ 9900-ზე x უდრის 33699/9900-ს x უდრიდა ამ რიცხვს, პერიოდულ ათწილადს ალგებრული გარდაქმნებით კი x გამოვსახეთ, როგორც წილადი ამ წილადის შეკვეცაც შეიძლება ორზე ან ოთხზე გაყოფით მთავარია, რომ x ორი მთელი რიცხვის შეფარდების სახით გამოვსახეთ ამიტომ ეს რიცხვი არის რაციონალური ამ ტექნიკის გამოყენება ნებისმიერ პერიოდულ ათწილადზე შეიძლება ზოგადად, პერიოდული ათწილადები რაციონალურია ირაციონალური ათწილადები არაპერიოდულები არიან, როგორც პი აშკარაა, რომ ეს რიცხვი არც მთელია არც ნატურალური, რადგან ათწილადია ის არის ნამდვილი და რაციონალური მხოლოდ ამის თქმა შეგვიძლია