WEBVTT

00:00:14.023 --> 00:00:16.382
私が４年生のある日
先生がこう言いました

00:00:16.382 --> 00:00:19.299
「偶数は自然数と同じだけあります」

00:00:19.299 --> 00:00:25.264
「本当に？」と思いました 確かに自然数も偶数も
無限にあり 同じだけあると言えるかもしれませんが

00:00:25.264 --> 00:00:30.315
しかしその一方で 偶数は自然数全体の
一部に過ぎず 他に奇数もあるので

00:00:30.315 --> 00:00:33.082
自然数全体は 偶数より
たくさんあるはずです

00:00:33.082 --> 00:00:38.732
先生が言わんとしたことを理解するために まず２つの
集合の大きさが同じとはどういうことか考えてみましょう

00:00:38.732 --> 00:00:44.298
右手と左手に同じ本数の指があると言うとき
その意味するところは何でしょう？

00:00:44.298 --> 00:00:47.881
もちろん どちらの手にも５本の指がありますが
実はもっと簡単に示せます

00:00:47.881 --> 00:00:52.514
数える必要はなく ただ手を合わせて
一本ずつ重ねていけばいいのです

00:00:52.514 --> 00:00:56.265
実際 ３より大きい数を表す言葉のない言語を
使っていた古代の人々は

00:00:56.265 --> 00:01:02.264
このトリックを使っていたと考えられています
例えば 囲いから羊を出し放牧するとき

00:01:02.264 --> 00:01:05.782
一匹が出るごとに石を取っておき
帰って来たら石を戻すことで

00:01:05.782 --> 00:01:09.116
何匹が外にいるのか分かり
戻ってない羊がいるかどうか

00:01:09.116 --> 00:01:11.933
頭数を数えることなく
知ることができます

00:01:11.933 --> 00:01:15.165
対応付けが 数え上げより本質的である例を
もう１つ挙げましょう

00:01:15.165 --> 00:01:19.665
私が満員の講堂で話していて 席は全て埋まり
立っている人がいないとすると

00:01:19.665 --> 00:01:23.199
何人いるかは
分からないものの

00:01:23.199 --> 00:01:25.725
席数と同じ数だけ聴衆がいる
ことが分かります

00:01:25.756 --> 00:01:28.440
つまり２つの集合が同じ
大きさであるということは

00:01:28.440 --> 00:01:32.578
それぞれの集合の要素が 何らかの方法で
１つずつ対応づけられるということです

00:01:32.578 --> 00:01:37.544
私の４年生の時の先生は 自然数を１列に並べ
その下にそれを２倍したものを書きました

00:01:37.544 --> 00:01:42.481
見て分かるように 下の列は全ての偶数を含んでおり
１対１で対応しています

00:01:42.481 --> 00:01:45.341
つまり 自然数が存在するのと同じだけ
偶数も存在するのです

00:01:45.341 --> 00:01:50.791
しかし偶数は自然数の一部でしかないという事実が
依然頭に引っかかります

00:01:50.791 --> 00:01:56.474
かといって それで右手と左手の指の数が違う
ことになるのでしょうか？

00:01:56.474 --> 00:02:00.666
もちろん違います　ある方法で要素を対応付け
ようとして うまくいかなかったとしても

00:02:00.666 --> 00:02:02.565
そのことから言えることは
何もありません

00:02:02.565 --> 00:02:06.317
でも２つの集合の要素を
対応付ける方法を見つけられたなら

00:02:06.317 --> 00:02:09.864
その２つの集合の要素数は
等しいと言えるのです

00:02:10.049 --> 00:02:14.787
分数は全て列挙できるでしょうか？
難しいかもしれません 何しろ分数はたくさんあります！

00:02:14.787 --> 00:02:18.954
何を最初に挙げたらいいのか？
全て列挙されているか どうすれば分かるのか？

00:02:18.954 --> 00:02:23.988
実は 全ての分数を列挙する
うまい方法があります

00:02:23.988 --> 00:02:27.786
ゲオルク・カントールが
19世紀末に考案しました

00:02:27.786 --> 00:02:35.805
まず 全ての分数を格子状上に並べます
全部あるのが分かります 例えば117/243であれば

00:02:35.805 --> 00:02:39.020
117行223列に見つかります

00:02:39.020 --> 00:02:44.287
次に左上から始め 対角線上に行ったり
来たりしてリストを作っていきます

00:02:44.287 --> 00:02:49.270
2/2のように 前に出てきたのと
同じ数は 飛ばすことにします

00:02:49.270 --> 00:02:53.320
すると全ての分数のリストが得られます
分数は自然数より多いはずですが

00:02:53.320 --> 00:02:58.369
それでも自然数全体と分数全体の間で
１対１の対応付けができるのです

00:02:58.369 --> 00:03:00.870
本当に面白くなるのはここからです

00:03:00.870 --> 00:03:06.263
ご存知かもしれませんが 実数 つまり数直線上にある
数は すべてが分数であるわけではありません

00:03:06.263 --> 00:03:08.586
２の平方根や πなどがその例です

00:03:08.586 --> 00:03:14.620
このような数は無理数(irrational)といいます
そんな数は不合理だというわけではなく

00:03:14.620 --> 00:03:20.852
分数は整数の比(ratio)であるために有理数(rational)と呼ばれ
それ以外は有理数でない つまり無理数なのです

00:03:20.852 --> 00:03:24.718
無理数は非循環小数で表されます

00:03:24.718 --> 00:03:29.386
自然数全体と 有理数・無理数両方を含む
小数全体の集合の間で

00:03:29.386 --> 00:03:33.903
１対１の対応付けは可能なのでしょうか？
つまり小数全体は列挙できるのでしょうか？

00:03:33.903 --> 00:03:39.352
カントールはそれが不可能であることを証明しました
単に方法を知らないということではなく 不可能なのです

00:03:39.352 --> 00:03:46.166
仮に小数全体を列挙したとしましょう
これからそのリストにない小数を作ることで

00:03:46.166 --> 00:03:48.220
そのリストが不完全であることを示します

00:03:48.220 --> 00:03:50.819
問題の小数を１桁ずつ作って行きます

00:03:50.819 --> 00:03:55.436
小数第１位を決めるために
リスト中で最初の数の小数第１位に注目します

00:03:55.436 --> 00:04:00.302
もしその数が１だったら２を
それ以外なら１を選びます

00:04:00.302 --> 00:04:04.569
小数第２位を決めるために
２番目の数の小数第２位に注目します

00:04:04.569 --> 00:04:09.186
ここでも同様に その数が１であれば２を
そうでなければ１を選びます

00:04:09.186 --> 00:04:13.585
どうなるかお分かりでしょうか？
そうして作った小数は このリスト中に存在し得ないのです

00:04:13.585 --> 00:04:20.737
なぜでしょう？ その数は 例えば143番目の数で
ありうるでしょうか？ いいえ この小数の小数第143位は

00:04:20.737 --> 00:04:25.336
リストの143番目の数の小数第143位とは異なります
そうなるように作ったんです

00:04:25.336 --> 00:04:29.220
リストは不完全だったわけです
今作った小数が含まれていません

00:04:29.220 --> 00:04:34.386
どんなリストを与えられようと 同様の操作で
そのリストに無い小数を作ることができます

00:04:34.386 --> 00:04:37.219
つまり 我々は驚くべき
事実に直面したわけです

00:04:37.219 --> 00:04:43.286
小数は列挙不可能なのです 小数の全体は
自然数全体の無限大よりも大きな無限大ということです

00:04:43.286 --> 00:04:48.641
我々に馴染み深い無理数は ２の平方根や
円周率など わずかしかありませんが

00:04:48.641 --> 00:04:52.176
無理数全体の無限大は
分数の無限大よりも大きいのです

00:04:52.176 --> 00:04:57.359
かつてこう言った人がいます
有理数 (分数) は 夜空の星のようであり

00:04:57.359 --> 00:05:01.143
無理数は 夜空の黒い部分のようだと

00:05:01.143 --> 00:05:06.943
カントールはまた どのような無限集合に対しても
その集合の部分集合全体からなる集合を構成すると

00:05:06.943 --> 00:05:12.144
元の集合よりも高位の無限大が得られることも示しました
無限集合があれば

00:05:12.144 --> 00:05:18.276
その部分集合全体の集合を作ることで より大きな集合が得られ
その結果に対して同じ操作をすれば

00:05:18.276 --> 00:05:21.609
さらに大きな集合が得られ
それをいくらでも繰り返していけます

00:05:21.609 --> 00:05:25.625
異なる大きさの無限大が
無数に存在するのです

00:05:25.625 --> 00:05:31.092
この考えに納得いかないとしたら それはあなただけではありません
カントールの時代の偉大な数学者の中にも

00:05:31.092 --> 00:05:35.425
これにうろたえた人がいたのです
彼らはこの概念無しでも数学が成り立つように

00:05:35.425 --> 00:05:37.860
無限大の違いを無意味なものに
しようと試みました

00:05:37.860 --> 00:05:42.443
カントールは個人的にも中傷されたために
重度の鬱に悩まされ

00:05:42.443 --> 00:05:45.910
精神病院への入退院を繰り返しながら
半生を過ごしました

00:05:45.910 --> 00:05:51.492
しかし結果的に彼の考えが勝ちました
今日では根本的かつ偉大な業績だと考えられています

00:05:51.492 --> 00:05:55.740
全ての数学研究者がこのアイデアを受け入れ
全ての数学科の学生が学び

00:05:55.740 --> 00:05:58.143
私は数分でこの考えを
説明しました

00:05:58.143 --> 00:06:00.926
いつの日にか
一般常識になっているかもしれません

00:06:00.926 --> 00:06:06.006
話には続きがあります 全ての小数(実数)の集合は 
自然数全体の集合より高位の無限大だと指摘しましたが

00:06:06.006 --> 00:06:09.660
カントールは これら２つの無限大の間に
異なる大きさの無限大は無いかと考えました

00:06:09.660 --> 00:06:14.125
彼は ないだろうと考えていたものの 
それを証明することはできませんでした

00:06:14.125 --> 00:06:18.275
カントールの予想は「連続体仮説」として
知られるようになりました

00:06:18.275 --> 00:06:23.959
1900年に偉大な数学者ダフィット・ヒルベルトは
数学における最も重要な未解決問題の１つとして

00:06:23.959 --> 00:06:26.441
この連続体仮説を挙げました

00:06:26.441 --> 00:06:32.260
20世紀中にこの問題は解決されましたが その結論は
全く予想外で 旧来の考えを根底から覆すものでした

00:06:32.260 --> 00:06:37.892
1920年代にクルト・ゲーデルが 連続体仮説を偽であると
証明することは不可能だと示し

00:06:37.892 --> 00:06:43.476
1960年代にポール・J ・コーエンが 連続体仮説を
真であると証明することも不可能だと示したのです

00:06:43.476 --> 00:06:48.425
これらを合わせると
数学には答え得ない問が存在することになります

00:06:48.425 --> 00:06:50.310
実に驚くべき結論です

00:06:50.310 --> 00:06:53.459
数学は人類の英知の粋だと
考えられていますが

00:06:53.459 --> 00:06:56.592
その数学ですら理解に限りが
あることが分かったのです

00:06:56.592 --> 00:07:00.809
それでも数学には 我々が考えるべき
本当に素晴らしいものあります