0:00:00.730,0:00:04.180 Βρείτε όλους τους παράγοντες του 120. 0:00:04.180,0:00:06.160 Ή αλλιώς, βρείτε όλους τους ακέραιους αριθμούς... 0:00:06.160,0:00:09.650 με τους οποίους διαιρείται το 120. 0:00:09.650,0:00:12.040 Ο πρώτος απ' αυτούς είναι ίσως προφανής. 0:00:12.040,0:00:14.560 Όλοι οι ακέραιοι διαιρούνται με το 1. 0:00:14.560,0:00:21.090 Άρα μπορούμε να γράψουμε ότι το 120 ισούται με 1 x 120. 0:00:21.090,0:00:22.990 Ας γράψω μια λίστα με τους παράγοντες εδώ πέρα. 0:00:26.530,0:00:28.390 Άρα αυτή θα είναι η λίστα με τους παράγοντές μας. 0:00:28.390,0:00:29.900 Βρήκαμε έτσι δύο παράγοντες. 0:00:29.900,0:00:31.910 Είπαμε: "διαιρείται με το 1;" 0:00:31.910,0:00:33.940 Κάθε ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 1. 0:00:33.940,0:00:37.630 Αυτός εδώ είναι ένας ακέραιος, άρα το 1 είναι ένας από τους παράγοντές του, ο μικρότερος. 0:00:37.630,0:00:38.490 Το 1 λοιπόν, είναι παράγοντας. 0:00:38.490,0:00:40.580 Είναι ο μικρότερος από τους παράγοντες... 0:00:40.580,0:00:42.330 και ο μεγαλύτερος είναι το 120. 0:00:42.330,0:00:46.580 Δεν μπορούμε να έχουμε κάτι μεγαλύτερο από το 120... 0:00:46.580,0:00:49.500 που να διαιρείται ακριβώς με το 120. 0:00:49.500,0:00:52.400 το 121 δεν χωρά στο 120. 0:00:52.400,0:00:54.710 Άρα, ο μεγαλύτερος παράγοντας στη λίστα μας... 0:00:54.710,0:00:57.080 θα είναι το 120. 0:00:57.080,0:00:58.470 Ας σκεφτούμε τώρα κι άλλους. 0:00:58.470,0:01:02.200 Ας δούμε αν το 2 διαιρείται με το 120... 0:01:02.200,0:01:06.910 Μπορούμε να γράψουμε το 120 ως "2 επί κάτι"; 0:01:06.910,0:01:09.680 Αν το δείτε,ίσως αμέσως θα αναγνωρίσετε ότι... 0:01:09.680,0:01:12.760 το 120 είναι ένας ζυγός αριθμός. 0:01:12.760,0:01:15.000 Στη θέση των μονάδων έχει το 0. 0:01:15.000,0:01:18.430 Και εφόσον στη θέση των μονάδων βρίσκεται το 0, το 2, το 4, το 6, ή το 8... 0:01:18.430,0:01:21.110 εφόσον στη θέση των μονάδων βρίσκεται ένας ζυγός αριθμός, τότε ολόκληρος ο αριθμός είναι ζυγός... 0:01:21.110,0:01:23.540 και ολόκληρος ο αριθμός διαιρείται με το 2. 0:01:23.540,0:01:26.440 Και για να βρούμε τι θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 2 ... 0:01:26.440,0:01:33.690 για να βρούμε το 120, μπορούμε να σκεφτούμε το 120 ως "12 x 10"... 0:01:33.690,0:01:36.480 ή αλλιώς, ως 2 x 6 x 10... 0:01:36.480,0:01:38.890 ή ως 2 x 60. 0:01:38.890,0:01:40.340 Θα μπορούσαμε να το διαιρέσουμε όπως θέλουμε. 0:01:40.340,0:01:43.690 Θα λέγαμε "ωραία, το 2 χωρά στο 120"... 0:01:43.690,0:01:45.420 το 2 δεν χωρά στο 1... 0:01:45.420,0:01:47.240 το 2 χωρά στο 12 έξι φορές.... 0:01:47.240,0:01:49.270 6 x 2 = 12. 0:01:49.270,0:01:50.410 Αφαιρούμε. 0:01:50.410,0:01:51.100 Βρίσκουμε 0 0:01:51.100,0:01:52.090 Κατεβάζουμε το 0. 0:01:52.090,0:01:53.910 Το 2 χωρά στο 0 μηδέν φορές. 0:01:53.910,0:01:58.010 0 x 2 = 0 και δεν υπάρχει υπόλοιπο, άρα χωρά... 0:01:58.010,0:01:59.430 60 φορές. 0:01:59.430,0:02:02.050 Έτσι, βρήκαμε άλλους δύο παράγοντες εδώ. 0:02:02.050,0:02:04.420 Άρα έχουμε τους παράγοντες. 0:02:04.420,0:02:08.070 Βρήκαμε ότι ο αμέσως μεγαλύτερος από το 1 είναι το 2... 0:02:08.070,0:02:10.110 και ο αμέσως μικρότερος από το 120... 0:02:10.110,0:02:13.310 θα είναι το 60. 0:02:13.310,0:02:14.880 Ας δούμε τώρα το 3. 0:02:14.880,0:02:19.780 Ισούται το 120 με "3 επί κάτι"; 0:02:19.780,0:02:22.060 Θα μπορούσαμε βέβαια να δοκιμάσουμε να το διαιρέσουμε... 0:02:22.060,0:02:24.410 αλλά λογικά ήδη ξέρετε... 0:02:24.410,0:02:25.630 τον κανόνα της διαιρεσιμότητας. 0:02:25.630,0:02:29.220 Για να βρούμε αν κάποιος αριθμός διαιρείται με το 3... 0:02:29.220,0:02:30.910 προσθέτουμε τα ψηφία του και αν το άθροισμα διαιρείται με το 3... 0:02:30.910,0:02:32.600 τότε ο αριθμός αυτός μας κάνει. 0:02:32.600,0:02:38.540 Έτσι, αν πάρετε το 120... ας το κάνω εδώ πέρα... 0:02:38.540,0:02:44.180 1 + 2 + 0 ισούται με 1 +2 που μας κάνει 3 + 0... 0:02:44.180,0:02:48.700 δηλαδή 3. Το 3 προφανώς διαιρείται με το 3... 0:02:48.700,0:02:52.610 άρα και το 120 θα διαιρείται με το 3. 0:02:52.610,0:02:56.050 Για να βρούμε με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 3 για να πάρουμε το 120... 0:02:56.050,0:02:57.840 θα μπορούσαμε να το κάνουμε στο μυαλό μας... 0:02:57.840,0:03:01.140 θα μπορούσαμε να πούμε ότι το 3 χωρά στο 12 τέσσερις φορές... 0:03:01.140,0:03:04.440 και μετά... ας το γράψω, ούτως ή άλλως... 0:03:04.440,0:03:06.030 για όσους από εσάς θέλετε να το δείτε γραμμένο. 0:03:06.030,0:03:08.090 Το 3 χωρά στο 12 τέσσερις φορές. 0:03:08.090,0:03:10.570 4 x 3 = 12 0:03:10.570,0:03:11.460 Αφαιρούμε. 0:03:11.460,0:03:12.690 Δεν μας μένει τίποτα εδώ. 0:03:12.690,0:03:14.680 Κατεβάζουμε αυτό το 0. 0:03:14.680,0:03:16.730 το 3 χωρά στο 0 μηδέν φορές. 0:03:16.730,0:03:18.940 0 x 3 = 0. 0:03:18.940,0:03:20.510 Δεν μας μένει τίποτα. 0:03:20.510,0:03:22.077 Άρα χωρά 40 φορές. 0:03:24.690,0:03:28.110 Και ο τρόπος να το κάνετε στο μυαλό σας είναι ο ίδιος... 0:03:28.110,0:03:29.860 με το να πείτε 12 x 10. 0:03:29.860,0:03:34.280 το 12 διά 3 μας κάνει 4... αλλά εδώ έχουμε 4 x 10... 0:03:34.280,0:03:35.630 γιατί έχουμε αυτό το 10 που μας μένει. 0:03:35.630,0:03:36.740 Όποιος τρόπος σας βολεύει. 0:03:36.740,0:03:40.070 Ή αλλιώς μπορείτε να αγνοήσετε το 0, να διαιρέσετε με το 3, να βρείτε το 4 και μετά... 0:03:40.070,0:03:41.290 να βάλετε το 0 ξανά εκεί. 0:03:41.290,0:03:42.370 Ό,τι σας βολεύει. 0:03:42.370,0:03:43.650 Άρα έχουμε δύο ακόμα παράγοντες. 0:03:43.650,0:03:50.780 Από χαμηλά έχουμε το 3 και από ψηλά έχουμε το 40. 0:03:50.780,0:03:53.600 Ας δούμε τώρα αν το 4 διαιρείται με το 120. 0:03:53.600,0:03:57.030 Είδαμε ότι ο κανόνας της διαιρεσιμότητας με το 4 είναι ότι... 0:03:57.030,0:03:59.300 αγνοούμε ο,τιδήποτε υπάρχει πέρα από τη θέση των δεκάδων και κοιτάμε μόνο... 0:03:59.300,0:04:01.040 τα τελευταία δύο ψηφία. 0:04:01.040,0:04:05.700 Άρα, αν θέλουμε να δούμε αν το 4 διαιρείται... 0:04:05.700,0:04:07.130 κοιτάμε τα τελευταία 2 ψηφία. 0:04:07.130,0:04:09.130 Τα τελευταία δύο ψηφία είναι 20. 0:04:09.130,0:04:13.430 Το 20 ξέρουμε ότι διαιρείται με το 4, άρα και το 120... 0:04:13.430,0:04:14.220 θα διαιρείται με το 4. 0:04:14.220,0:04:16.180 Το 4 λοιπόν θα είναι ένας από τους παράγοντες. 0:04:16.180,0:04:19.250 Και για να βρούμε τι θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 4 για να πάρουμε το 120... 0:04:19.250,0:04:20.100 μπορούμε να το κάνουμε στο κεφάλι μας. 0:04:20.100,0:04:23.430 Μπορούμε να πούμε ότι το 12 διά 4 μας κάνει 3, άρα... 0:04:23.430,0:04:27.210 120 διά 4 μας κάνει 30. 0:04:27.210,0:04:29.890 Άρα έχουμε άλλους δύο παράγοντες: το 4 και το 30. 0:04:29.890,0:04:32.670 Και μπορούμε να το διαιρέσουμε κανονικά... 0:04:32.670,0:04:35.940 αν θέλουμε να βεβαιωθούμε ότι μας κάνει. Ας προχωρήσουμε όμως. 0:04:35.940,0:04:40.750 Είναι το 5 παράγοντας; 0:04:40.750,0:04:44.630 "5 επί κάτι" μας κάνει 120; 0:04:44.630,0:04:46.750 Πρώτα απ' όλα... 0:04:46.750,0:04:48.550 πρέπει να δούμε αν διαιρείται. 0:04:48.550,0:04:50.650 Το 120 τελειώνει σε 0. 0:04:50.650,0:04:53.400 Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 ή 5, τότε διαιρείται με το 5. 0:04:53.400,0:04:55.340 Άρα το 5 σίγουρα χωρά ακριβώς. 0:04:55.340,0:04:56.690 Ας βρούμε λοιπόν πόσες φορές χωρά στο 120. 0:04:56.690,0:04:59.575 Το 5 στο 120 λοιπόν. 0:04:59.575,0:05:00.830 Το 5 δεν χωρά στο 1. 0:05:00.830,0:05:02.750 Χωρά στο 12 δύο φορές. 0:05:02.750,0:05:04.780 2 x 5 = 10. 0:05:04.780,0:05:05.850 Αφαιρούμε. 0:05:05.850,0:05:07.130 Βρίσκουμε 2. 0:05:07.130,0:05:08.830 Κατεβάζουμε το 0. 0:05:08.830,0:05:11.290 Το 5 χωρά στο 20 τέσσερις φορές. 0:05:11.290,0:05:18.620 4 x 5 = 20 και μετά αφαιρούμε... δεν βρίσκουμε υπόλοιπο... 0:05:18.620,0:05:21.120 όπως ακριβώς περιμέναμε γιατί χωρά ακριβώς. 0:05:21.120,0:05:24.760 Ο αριθμός μας τελειώνει σε 0 ή 5. 0:05:24.760,0:05:27.640 Ας τα σβήσω όλα αυτά για να έχουμε χώρο... 0:05:27.640,0:05:29.680 για να δουλέψουμε μετά. 0:05:29.680,0:05:33.810 Άρα κάτι το 5 x 24 ισούται με το 120, κι έτσι έχουμε άλλους δύο... 0:05:33.810,0:05:37.950 παράγοντες: το 5 και το 24. 0:05:37.950,0:05:40.400 Ας κάνω λίγο χώρο εδώ... 0:05:40.400,0:05:42.510 γιατί νομίζω ότι έχουμε να κάνουμε με πολλούς παράγοντες. 0:05:42.510,0:05:45.230 Ας το πάω αυτό εδώ λοιπόν. 0:05:45.230,0:05:50.400 Ας το κόψω και μετά ας το βάλω εκεί... 0:05:50.400,0:05:53.680 για να έχουμε περισσότερο χώρο για τους παράγοντές μας. 0:05:53.680,0:05:55.580 Έτσι, έχουμε το 5 και το 24. 0:05:55.580,0:05:58.590 Πάμε λοιπόν στο 6. 0:05:58.590,0:06:02.470 Το 120 ισούται με "6 επί κάτι"; 0:06:02.470,0:06:05.050 Για να διαιρείται με το 6, πρέπει... 0:06:05.050,0:06:07.370 να διαιρείται με το 2 και το 3. 0:06:07.370,0:06:09.630 Ξέρουμε ήδη ότι το 120 διαιρείται με το 2 και το 3... 0:06:09.630,0:06:12.530 άρα ξέρουμε ότι διαιρείται και με το 6... 0:06:12.530,0:06:14.140 και μάλλον μπορούμε να κάνουμε αυτό τον υπολογισμό στο κεφάλι μας. 0:06:14.140,0:06:17.300 το 5 ήταν λίγο δυσκολότερο να το κάνουμε στο κεφάλι, αλλά θα μπορούσαμε τώρα να πούμε... 0:06:17.300,0:06:21.930 για το 120 ότι το 12 διά 6 μας κάνει 2, και μετά έχουμε... 0:06:21.930,0:06:26.140 το 0 εδώ, άρα το 120 διά 6 μας κάνει 20. 0:06:26.140,0:06:28.550 Και μετά θα μπορούσαμε να κάνουμε και την κανονική διαίρεση αν θέλαμε. 0:06:28.550,0:06:30.925 Άρα το 6 x 20 είναι άλλοι δύο παράγοντες. 0:06:33.590,0:06:35.850 Ας δούμε τώρα το 7. 0:06:35.850,0:06:37.230 Ας σκεφτούμε αν το 7 μας κάνει. 0:06:37.230,0:06:40.490 Το 7 είναι ένας πολύ περίεργος αριθμός και για να δοκιμάσουμε αν μας κάνει... 0:06:40.490,0:06:41.900 θα μπορούσαμε να σκεφτούμε άλλους τρόπους να το κάνουμε... 0:06:41.900,0:06:45.130 ας δοκιμάσουμε απλώς να διαιρέσουμε το 120 με το 7. 0:06:45.130,0:06:46.300 Το 7 δεν χωρά στο 1. 0:06:46.300,0:06:48.070 Χωρά στο 12 μία φορά. 0:06:48.070,0:06:50.130 1 x 7 = 7. 0:06:50.130,0:06:51.020 Αφαιρούμε. 0:06:51.020,0:06:53.150 12 - 7 = 5. 0:06:53.150,0:06:56.000 Κατεβάζουμε το 0. 0:06:56.000,0:06:59.610 7 x 7 = 49, άρα χωρά 7 φορές. 0:06:59.610,0:07:01.650 7 x 7 = 49. 0:07:01.650,0:07:02.480 Αφαιρούμε. 0:07:02.480,0:07:05.820 Έχουμε υπόλοιπο, άρα δεν διαιρείται ακριβώς. 0:07:05.820,0:07:07.515 Άρα, το 7 δεν μας κάνει. 0:07:10.700,0:07:12.770 Ας δούμε τώρα το 8. 0:07:12.770,0:07:15.680 Ας δούμε αν το 8 μας κάνει... 0:07:15.680,0:07:17.360 Ας σκεφτούμε το 8... 0:07:17.360,0:07:18.850 Θα κάνω την ίδια διαδικασία. 0:07:18.850,0:07:26.540 Ας διαιρέσουμε το 120 με το 8. 0:07:26.540,0:07:27.890 Ας το δοκιμάσουμε έτσι. 0:07:27.890,0:07:29.640 Και ως κόλπο...αλλά καλύτερα... 0:07:29.640,0:07:30.270 ας το δοκιμάσουμε έτσι. 0:07:30.270,0:07:33.390 Το 8 δεν χωρά στο 1. Το 8 χωρά στο 12... 0:07:33.390,0:07:35.500 1 φορά. 0:07:35.500,0:07:38.250 1 x 8 = 8. 0:07:38.250,0:07:39.240 Αφαιρούμε. 0:07:39.240,0:07:41.160 12 - 8 = 4. 0:07:41.160,0:07:43.150 Κατεβάζουμε το 0. 0:07:43.150,0:07:45.280 Το 8 χωρά στο 40 πέντε φορές. 0:07:45.280,0:07:49.190 5 x 8 = 40 και δεν μας μένει υπόλοιπο... 0:07:49.190,0:07:49.940 άρα χωρά ακριβώς. 0:07:49.940,0:07:53.250 Άρα το 120... ας το σβήσω αυτό... 0:07:53.250,0:08:02.630 το 120 ισούται με 8 x 15, άρα ας προσθέσουμε κι αυτά στους παράγοντές μας. 0:08:02.630,0:08:09.440 Έχουμε το 8 και το 15. 0:08:09.440,0:08:11.920 Τώρα, διαιρείται με το 9; 0:08:11.920,0:08:13.870 Διαιρείται το 120 με το 9; 0:08:13.870,0:08:16.300 Για να το βρούμε, απλώς προσθέτουμε τα ψηφία του 120. 0:08:16.300,0:08:20.430 1 + 2 + 0 μας κάνει 3. 0:08:20.430,0:08:24.350 Αυτό αρκεί για να διαιρείται ο αριθμός με το 3... 0:08:24.350,0:08:27.320 αλλά το 3 δεν διαιρείται από το 9, άρα... 0:08:27.320,0:08:28.700 ο αριθμός μας δεν διαιρείται με το 9. 0:08:28.700,0:08:31.380 Άρα το 9 δεν μας κάνει. 0:08:31.380,0:08:32.950 Το 9 δεν μας κάνει. 0:08:32.950,0:08:34.730 Ας πάμε τώρα στο 10. 0:08:34.730,0:08:36.450 Αυτό είναι απλό. 0:08:36.450,0:08:39.679 Ο αριθμός μας τελειώνει σε 0, άρα θα διαιρείται με το 10. 0:08:39.679,0:08:41.559 Ας το γράψω εδώ κάτω. 0:08:41.559,0:08:46.610 120 ισούται με 10 φορές... είναι αρκετά απλό... 0:08:46.610,0:08:49.780 με 10 x 12. 0:08:49.780,0:08:51.560 Αυτό ακριβώς είναι το 120. 0:08:51.560,0:08:53.800 Είναι το 10 x 12... ας γράψω λοιπόν κι αυτούς τους παράγοντες. 0:08:53.800,0:08:56.500 10 και 12. 0:08:56.500,0:08:58.220 Και τώρα μας μένει ένας μόνο αριθμός. 0:08:58.220,0:08:58.740 Το 11. 0:08:58.740,0:09:00.440 Δεν χρειάζεται να πάμε πάνω από το 11... 0:09:00.440,0:09:02.670 γιατί ήδη φτάσαμε στο 12 και ξέρουμε ότι δεν υπάρχουν άλλοι παράγοντες πάνω απ' αυτό... 0:09:02.670,0:09:07.270 γιατί, καθώς πήγαμε από πάνω προς τα κάτω... 0:09:07.270,0:09:08.610 συμπληρώσαμε όλα τα κενά. 0:09:08.610,0:09:09.830 Θα μπορούσαμε να δοκιμάσουμε το 11. 0:09:09.830,0:09:12.040 Θα μπορούσαμε να το κάνουμε με το χέρι, αν θέλουμε. 0:09:12.040,0:09:15.370 το 11 χωρά στο 120... τώρα ξέρετε, 0:09:15.370,0:09:17.880 αν ξέρετε τους πίνακες της προπαίδειας και του 11 ότι δεν μας κάνει... 0:09:17.880,0:09:18.900 αλλά θα σας το δείξω κι εγώ. 0:09:18.900,0:09:21.250 Το 11 χωρά στο 12 μία φορά. 0:09:21.250,0:09:23.250 1 x 11 = 11. 0:09:23.250,0:09:24.630 Αφαιρούμε. 0:09:24.630,0:09:26.460 1, κατεβάζουμε το 0. 0:09:26.460,0:09:29.010 Το 11 χωρά στο 10 μηδέν φορές. 0:09:29.010,0:09:30.960 0 x 11 = 0. 0:09:30.960,0:09:33.500 Μας μένει ένα υπόλοιπο 10. 0:09:33.500,0:09:36.150 Άρα το 11 χωρά στο 120 δέκα φορές και μένει υπόλοιπο 10. 0:09:36.150,0:09:37.900 Άρα σίγουρα δεν χωρά ακριβώς. 0:09:37.900,0:09:45.220 Έτσι, έχουμε όλους τους παράγοντες εδώ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10... 0:09:45.220,0:09:51.260 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, και 120. 0:09:51.260,0:09:52.750 Και τελειώσαμε!