WEBVTT

00:00:06.951 --> 00:00:08.713
ギリシャ神話の多くの英雄と同じように

00:00:08.713 --> 00:00:13.930
哲学者ヒッパソスは神々の手により
死をもって罰せられたと噂されていました

00:00:13.930 --> 00:00:15.606
彼の罪は何だったのでしょう？

00:00:15.606 --> 00:00:16.957
来賓の殺害？

00:00:16.957 --> 00:00:19.474
それとも神聖な儀式の妨害？

00:00:19.474 --> 00:00:23.524
いいえ　ヒッパソスの罪とは
ある数学の証明でした

00:00:23.524 --> 00:00:26.583
無理数の発見です

00:00:26.583 --> 00:00:30.311
ヒッパソスは ピタゴラス学派とよばれる
数学者の結社に属し

00:00:30.311 --> 00:00:32.922
この結社は数字を宗教的に崇拝していました

00:00:32.922 --> 00:00:35.463
彼らの教義である「万物は数である」は

00:00:35.463 --> 00:00:39.013
数こそが世界を構成する
基本的要素であるとしていました

00:00:39.013 --> 00:00:43.317
この信仰によると この世の全て―
宇宙から 形而上学

00:00:43.317 --> 00:00:46.477
音楽 そして倫理までもが
数比として表せる

00:00:46.477 --> 00:00:50.175
万古不変の法則に従います

00:00:50.175 --> 00:00:53.488
すなわちすべての数は
そのような数比として表せます

00:00:53.488 --> 00:00:55.995
例えば5は5/1として

00:00:55.995 --> 00:00:59.085
0.5は1/2として表せます

00:00:59.085 --> 00:01:00.505
0.5は1/2として表せます

00:01:00.505 --> 00:01:07.907
このような永遠に繰り返す循環少数でさえ
34/35という数比で表現することができます

00:01:07.907 --> 00:01:11.421
これらはすべて 有理数とよばれる数です

00:01:11.421 --> 00:01:16.051
しかしヒッパソスはこの調和的法則に
背く数をひとつ発見してしまいました

00:01:16.051 --> 00:01:18.825
存在するはずがない数でした

00:01:18.825 --> 00:01:21.395
問題は単純な図形からはじまりました

00:01:21.395 --> 00:01:25.105
各辺の長さが１単位の正方形です

00:01:25.105 --> 00:01:26.898
ピタゴラスの定理によると

00:01:26.898 --> 00:01:30.183
対角線の長さはルート２です

00:01:30.183 --> 00:01:35.528
ヒッパソスがいくら試みてもこの数を
２つの整数の比で表現できませんでした

00:01:35.528 --> 00:01:39.839
彼はここで諦めるかわりに
これが無理であると証明することにしました

00:01:39.839 --> 00:01:44.196
ヒッパソスは まずピタゴラス学派の世界観が
正しいと仮定しました

00:01:44.196 --> 00:01:49.145
つまりルート２が２つの整数の比として
表すことができると仮定したのです

00:01:49.145 --> 00:01:52.981
仮定の整数をそれぞれpとqと名づけました

00:01:52.981 --> 00:01:56.358
数比がもっとも単純な形に
約分されていると仮定すると

00:01:56.358 --> 00:01:59.957
pとqには公約数がありません

00:01:59.957 --> 00:02:02.987
ルート２が有理数ではないことを
証明するためには

00:02:02.987 --> 00:02:08.074
ヒッパソスはp/qが存在し得ないことを
示せばよかったのです

00:02:08.074 --> 00:02:11.422
そこで等式の両側にqを掛け

00:02:11.422 --> 00:02:13.291
両側の２乗をとりました

00:02:13.291 --> 00:02:15.320
するとこの式が得られます

00:02:15.320 --> 00:02:19.274
いかなる整数に２を掛けても偶数になるので

00:02:19.274 --> 00:02:22.332
pの２乗（p^2）は偶数でなくてはなりません

00:02:22.332 --> 00:02:24.715
pが奇数であれば これは不可能です

00:02:24.715 --> 00:02:28.154
なぜならば同じ奇数を掛け合わせると
必ず奇数になるからです

00:02:28.154 --> 00:02:30.702
ということは pもまた偶数ということになります

00:02:30.702 --> 00:02:36.176
ならばaを整数として
ｐは2aと表すことができます

00:02:36.176 --> 00:02:39.074
これを式に代入して整理すると

00:02:39.074 --> 00:02:43.248
q^2 = 2a^2となります

00:02:43.248 --> 00:02:47.180
先ほどと同じように
２にいかなる整数を掛けても偶数になるので

00:02:47.180 --> 00:02:49.921
q^2も偶数にちがいありません

00:02:49.921 --> 00:02:52.012
そして同じ論理で qもまた偶数です

00:02:52.012 --> 00:02:54.393
つまりpもqも偶数ということになります

00:02:54.393 --> 00:02:57.710
しかし これが真ならば
pとqは公約数として２を持つので

00:02:57.710 --> 00:03:00.576
最初の仮定条件と矛盾してしまいます

00:03:00.576 --> 00:03:04.796
このようにヒッパソスは
条件を満たす比の不在を証明したのです

00:03:04.796 --> 00:03:06.756
これは背理法とよばれる証明方法です

00:03:06.756 --> 00:03:08.234
伝説によると

00:03:08.234 --> 00:03:11.453
神々は否定されたことに
腹を立てたそうです

00:03:11.453 --> 00:03:14.928
興味深いことに
無理数は整数の比として

00:03:14.928 --> 00:03:16.802
表すことができませんが

00:03:16.802 --> 00:03:20.891
数直線上に正確に
点を示すことができるものもあります

00:03:20.891 --> 00:03:22.149
例えばルート２

00:03:22.149 --> 00:03:27.844
まず２辺の長さが１単位の
直角三角形を描きます

00:03:27.844 --> 00:03:32.596
斜辺の長さはルート２なので
数直線上にこのように示せます

00:03:32.596 --> 00:03:35.144
同様に底辺がルート２で

00:03:35.144 --> 00:03:38.491
高さが１の直角三角形を描くと

00:03:38.491 --> 00:03:41.135
斜辺の長さはルート３です

00:03:41.135 --> 00:03:43.932
これも同様に数直線上に示せます

00:03:43.932 --> 00:03:48.953
重要なのは小数や分数は
数を表す方法の１つに過ぎないということです

00:03:48.953 --> 00:03:52.948
ルート２は底辺と高さが１の

00:03:52.948 --> 00:03:54.875
直角三角形の斜辺に過ぎません

00:03:54.875 --> 00:03:58.259
同様に 有名な無理数で知られる円周率は

00:03:58.259 --> 00:04:01.128
文字通り 常に円周と直径の比です

00:04:01.128 --> 00:04:04.570
文字通り 常に円周と直径の比です

00:04:04.570 --> 00:04:07.565
22/7や355/113などの近似値も
円周率に完全には一致しません

00:04:07.565 --> 00:04:13.707
22/7や355/113などの近似値も
円周率に完全には一致しません

00:04:13.707 --> 00:04:16.218
ヒッパソスの身に何が起きたかは
永遠の謎です

00:04:16.218 --> 00:04:20.665
しかし彼の発見が数学を革新させたことは
間違いありません

00:04:20.665 --> 00:04:24.936
神話を恐れず 不可能を探索する
勇気を持つことが大事ですね