ギリシャ神話の多くの英雄と同じように
哲学者ヒッパソスは神々の手により 死をもって罰せられたと噂されていました
彼の罪は何だったのでしょう？
来賓の殺害？
それとも神聖な儀式の妨害？
いいえ ヒッパソスの罪とは ある数学の証明でした
無理数の発見です
ヒッパソスは ピタゴラス学派とよばれる 数学者の結社に属し
この結社は数字を宗教的に崇拝していました
彼らの教義である「万物は数である」は
数こそが世界を構成する 基本的要素であるとしていました
この信仰によると この世の全て― 宇宙から 形而上学
音楽 そして倫理までもが 数比として表せる
万古不変の法則に従います
すなわちすべての数は そのような数比として表せます
例えば5は5/1として
0.5は1/2として表せます
このような永遠に繰り返す循環少数でさえ 34/35という数比で表現することができます
これらはすべて 有理数とよばれる数です
しかしヒッパソスはこの調和的法則に 背く数をひとつ発見してしまいました
存在するはずがない数でした
問題は単純な図形からはじまりました
各辺の長さが１単位の正方形です
ピタゴラスの定理によると
対角線の長さはルート２です
ヒッパソスがいくら試みてもこの数を ２つの整数の比で表現できませんでした
彼はここで諦めるかわりに これが無理であると証明することにしました
ヒッパソスは まずピタゴラス学派の世界観が 正しいと仮定しました
つまりルート２が２つの整数の比として 表すことができると仮定したのです
仮定の整数をそれぞれpとqと名づけました
数比がもっとも単純な形に 約分されていると仮定すると
pとqには公約数がありません
ルート２が有理数ではないことを 証明するためには
ヒッパソスはp/qが存在し得ないことを 示せばよかったのです
そこで等式の両側にqを掛け
両側の２乗をとりました
するとこの式が得られます
いかなる整数に２を掛けても偶数になるので
pの２乗（p^2）は偶数でなくてはなりません
pが奇数であれば これは不可能です
なぜならば同じ奇数を掛け合わせると 必ず奇数になるからです
ということは pもまた偶数ということになります
ならばaを整数として ｐは2aと表すことができます
これを式に代入して整理すると
q^2 = 2a^2となります
先ほどと同じように ２にいかなる整数を掛けても偶数になるので
q^2も偶数にちがいありません
そして同じ論理で qもまた偶数です
つまりpもqも偶数ということになります
しかし これが真ならば pとqは公約数として２を持つので
最初の仮定条件と矛盾してしまいます
このようにヒッパソスは 条件を満たす比の不在を証明したのです
これは背理法とよばれる証明方法です
伝説によると
神々は否定されたことに 腹を立てたそうです
興味深いことに 無理数は整数の比として
表すことができませんが
数直線上に正確に 点を示すことができるものもあります
例えばルート２
まず２辺の長さが１単位の 直角三角形を描きます
斜辺の長さはルート２なので 数直線上にこのように示せます
同様に底辺がルート２で
高さが１の直角三角形を描くと
斜辺の長さはルート３です
これも同様に数直線上に示せます
重要なのは小数や分数は 数を表す方法の１つに過ぎないということです
ルート２は底辺と高さが１の
直角三角形の斜辺に過ぎません
同様に 有名な無理数で知られる円周率は
文字通り 常に円周と直径の比です
22/7や355/113などの近似値も 円周率に完全には一致しません
ヒッパソスの身に何が起きたかは 永遠の謎です
しかし彼の発見が数学を革新させたことは 間違いありません
神話を恐れず 不可能を探索する 勇気を持つことが大事ですね