1
00:00:06,951 --> 00:00:08,713
ギリシャ神話の多くの英雄と同じように

2
00:00:08,713 --> 00:00:13,930
哲学者ヒッパソスは神々の手により
死をもって罰せられたと噂されていました

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
彼の罪は何だったのでしょう？

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
来賓の殺害？

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
それとも神聖な儀式の妨害？

6
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
いいえ　ヒッパソスの罪とは
ある数学の証明でした

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
無理数の発見です

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
ヒッパソスは ピタゴラス学派とよばれる
数学者の結社に属し

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
この結社は数字を宗教的に崇拝していました

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
彼らの教義である「万物は数である」は

11
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
数こそが世界を構成する
基本的要素であるとしていました

12
00:00:39,013 --> 00:00:43,317
この信仰によると この世の全て―
宇宙から 形而上学

13
00:00:43,317 --> 00:00:46,477
音楽 そして倫理までもが
数比として表せる

14
00:00:46,477 --> 00:00:50,175
万古不変の法則に従います

15
00:00:50,175 --> 00:00:53,488
すなわちすべての数は
そのような数比として表せます

16
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
例えば5は5/1として

17
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0.5は1/2として表せます

18
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
0.5は1/2として表せます

19
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
このような永遠に繰り返す循環少数でさえ
34/35という数比で表現することができます

20
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
これらはすべて 有理数とよばれる数です

21
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
しかしヒッパソスはこの調和的法則に
背く数をひとつ発見してしまいました

22
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
存在するはずがない数でした

23
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
問題は単純な図形からはじまりました

24
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
各辺の長さが１単位の正方形です

25
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
ピタゴラスの定理によると

26
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
対角線の長さはルート２です

27
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
ヒッパソスがいくら試みてもこの数を
２つの整数の比で表現できませんでした

28
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
彼はここで諦めるかわりに
これが無理であると証明することにしました

29
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
ヒッパソスは まずピタゴラス学派の世界観が
正しいと仮定しました

30
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
つまりルート２が２つの整数の比として
表すことができると仮定したのです

31
00:01:49,145 --> 00:01:52,981
仮定の整数をそれぞれpとqと名づけました

32
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
数比がもっとも単純な形に
約分されていると仮定すると

33
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
pとqには公約数がありません

34
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
ルート２が有理数ではないことを
証明するためには

35
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
ヒッパソスはp/qが存在し得ないことを
示せばよかったのです

36
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
そこで等式の両側にqを掛け

37
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
両側の２乗をとりました

38
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
するとこの式が得られます

39
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
いかなる整数に２を掛けても偶数になるので

40
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
pの２乗（p^2）は偶数でなくてはなりません

41
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
pが奇数であれば これは不可能です

42
00:02:24,715 --> 00:02:28,154
なぜならば同じ奇数を掛け合わせると
必ず奇数になるからです

43
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
ということは pもまた偶数ということになります

44
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
ならばaを整数として
ｐは2aと表すことができます

45
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
これを式に代入して整理すると

46
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
q^2 = 2a^2となります

47
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
先ほどと同じように
２にいかなる整数を掛けても偶数になるので

48
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
q^2も偶数にちがいありません

49
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
そして同じ論理で qもまた偶数です

50
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
つまりpもqも偶数ということになります

51
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
しかし これが真ならば
pとqは公約数として２を持つので

52
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
最初の仮定条件と矛盾してしまいます

53
00:03:00,576 --> 00:03:04,796
このようにヒッパソスは
条件を満たす比の不在を証明したのです

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
これは背理法とよばれる証明方法です

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
伝説によると

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
神々は否定されたことに
腹を立てたそうです

57
00:03:11,453 --> 00:03:14,928
興味深いことに
無理数は整数の比として

58
00:03:14,928 --> 00:03:16,802
表すことができませんが

59
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
数直線上に正確に
点を示すことができるものもあります

60
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
例えばルート２

61
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
まず２辺の長さが１単位の
直角三角形を描きます

62
00:03:27,844 --> 00:03:32,596
斜辺の長さはルート２なので
数直線上にこのように示せます

63
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
同様に底辺がルート２で

64
00:03:35,144 --> 00:03:38,491
高さが１の直角三角形を描くと

65
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
斜辺の長さはルート３です

66
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
これも同様に数直線上に示せます

67
00:03:43,932 --> 00:03:48,953
重要なのは小数や分数は
数を表す方法の１つに過ぎないということです

68
00:03:48,953 --> 00:03:52,948
ルート２は底辺と高さが１の

69
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
直角三角形の斜辺に過ぎません

70
00:03:54,875 --> 00:03:58,259
同様に 有名な無理数で知られる円周率は

71
00:03:58,259 --> 00:04:01,128
文字通り 常に円周と直径の比です

72
00:04:01,128 --> 00:04:04,570
文字通り 常に円周と直径の比です

73
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
22/7や355/113などの近似値も
円周率に完全には一致しません

74
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
22/7や355/113などの近似値も
円周率に完全には一致しません

75
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
ヒッパソスの身に何が起きたかは
永遠の謎です

76
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
しかし彼の発見が数学を革新させたことは
間違いありません

77
00:04:20,665 --> 00:04:24,936
神話を恐れず 不可能を探索する
勇気を持つことが大事ですね