كالعديد من أبطال الأساطير اليونانية
كان يُشاع أن الفيلسوف هيبسوس قد عُوقب بالموت من قبل الآلهة.
لكن ما كانت جريمته؟
هل قتل النزلاء؟
أو أنه عرقل شعائر دينية؟
كلا، كان تجاوز هيبسوس البرهان الرياضي:
اكتشاف الأعداد الصم.
انتمى هيبسوس لمجموعة سُميت علماء الرياضيات الفيثاغورية
التي لديها تعصب عقائدي للأرقام.
مقولتهم المأثورة، "كل الأشياء هي رقم"
أشاروا إلى أن الأرقام هي اللبنات الأساسية للكون
وجزء من هذا الاعتقاد كان أن كل شيء من علم الفلك والميتافيزيقيا
إلى الموسيقا والآداب تابعة لقوانين أبدية
تصفها كنسب من الأرقام
وهكذا، أي رقم من الممكن كتابته كنسبة
5 كـ 5/1
0.5 كـ 1/2
وهكذا.
وإن كان توسع الفاصلة العشرية لا نهاية له فهذا يمكن التعبير عنه تماماً كـ 34/45
كل ذلك هو ما نسميه الأرقام النسبية
لكن هيبسوس اكتشف عدد يخرق هذه القاعدة المتناغمة،
ذاك العدد الذي كان من المفترض عدم وجوده.
المشكلة بدأت مع شكل بسيط،
مربع بقياس وحدة واحدة لكل ضلع جانبي
وفقاً لنظرية فيثاغورث،
طول القطر هو الجذر التربيعي لطولي الضلعين
لكن في محاولة ربما، لم يتمكن هيبسوس من التعبيرعنها كنسبة بين أعداد صحيحة
وبدلاً من الاستسلام، قرر إثبات عدم إمكانية ذلك
هيبسوس بدأ بافتراض أن نظرية فيثاغورث صحيحة
يمكن التعبير عن جذرالـ 2 بنسبة من عددين صحيحين
وأطلق على تلك الأعداد الصحيحة الافتراضية p و q
مُفترضاً أن النسبة تناقصت لأبسط شكل
فلا يمكن أن يأخذ p و q أي عوامل مشتركة
لإثبات أن جذر الـ 2 لم يكن نسبي،
يجب على هيبسوس إثبات عدم إمكانية وجود p/q.
لذا ضرب طرفي المعادلة كلاهما بالعدد q
وقام بتربيع الطرفين
والذي أعطاه هذه المعادلة
ضرب أي رقم بالعدد 2 ينتج عنه عدد زوجي
إذاً p^2 يجب أن يكون زوجي
ذلك لا يمكن أن يكون صحيحاً إذا كان p فردياً
لأن ضرب العدد الفردي بنفسه الناتج دائماً فردي
إذاً p كان زوجي كذلك
بالتالي، p يمكن التعبير عنه كـ 2a حيث a هو عدد صحيح
استبدال هذا بمعادلة وتبسيطها
يعطي q^2 = 2a^2
مرة أخرى، ضرب أي عدد بنفسه مرتين يعطي عدد زوجي
لذا q^2 يجب أن يكون زوجي،
و يجب أن يكون p أيضاً زوجي،
يجعل الطرفين p و q زوجيين.
لكن إن كان هذا صحيحاً، فإنهما يملكان عامل مشترك
والذي يُناقض التعبير الأولي،
وتلك كانت طريقة هيبسوس في إبرام عدم وجود مثل تلك النسبة
سمي ذلك البرهان بفرض النقض
وحسب الأسطورة
فإن الآلهة لا تقبل النقض
ومن المثير للاهتمام، أنه على الرغم من عدم إمكانية التعبير عن الأعداد الصم
كنسب من الأعداد الصحيحة
فمن الممكن رسم بعضها بدقة على خط الأعداد
خذ جذر 2
كل ما نحتاج فعله هو تشكيل مثلث قائم الزاوية بضلعين بقياس وحدة واحدة
طول الوتر جذر2 والذي يمكنه التمدد على طول الخط.
بإمكاننا بعدها تشكيل مثلث آخر قائم الزاوية
مع قاعدة بذلك الطول وارتفاع وحدة واحدة
ويجب أن يكون وتره يساوي جذر3
والذي يمكن أن يمتد على طول الخط، تماماً
السر أن الكسور العشرية والنسب هي الطريقتين الوحيدتين للتعبير عن الأرقام
جذر2 ببساطة هو وتر مثلث قائم الزاوية
مع طولي ضلعين جانبيين وحدة واحدة
بالمثل، العدد الأصم المشهور pi
دائماً يساوي تماماً ما يمثله
نسبة محيط الدائرة إلى قطرها
قيمة تقريبية مثل 22/7
أو 355/113 لن تساوي تماماً pi.
لن نعرف أبداً ما حدث حقاً لهيبسوس
لكن ما نعلمه أن اكتشافه ذلك هو ثورة في الرياضيات
لذا أياً كان ما تقوله الأساطير لا تخف من اكتشاف المستحيل.