WEBVTT

00:00:06.875 --> 00:00:10.053
A vossa banda preferida
é ótima a tocar música...

00:00:10.133 --> 00:00:12.990
mas não é tão boa em organizar-se.

00:00:13.364 --> 00:00:16.164
Andam sempre a trocar
os instrumentos nas digressões,

00:00:16.174 --> 00:00:18.604
o que deixa o agente deles furioso.

00:00:18.644 --> 00:00:20.504
No dia do grande concerto,

00:00:20.524 --> 00:00:22.915
a banda acorda e descobre
que está manietada

00:00:22.965 --> 00:00:26.182
numa sala de ensaios, 
sem janelas e à prova de som.

00:00:26.564 --> 00:00:28.904
O agente explica-lhes
o que está a acontecer.

00:00:28.994 --> 00:00:31.561
Lá fora, há 10 grandes caixas.

00:00:32.034 --> 00:00:34.520
Cada uma delas contém
um dos vossos instrumentos,

00:00:34.730 --> 00:00:38.895
mas não se fiem nos desenhos
— foram colocados ao acaso.

00:00:39.814 --> 00:00:42.154
Vou levar lá para fora
um de cada vez.

00:00:42.604 --> 00:00:46.396
Quando estiverem lá fora,
podem abrir cinco caixas quaisquer

00:00:46.416 --> 00:00:49.443
antes de a segurança
vos levar para o autocarro.

00:00:50.452 --> 00:00:52.650
Não podem tocar nos instrumentos

00:00:52.660 --> 00:00:55.378
nem, de qualquer modo,
comunicar aos outros o que viram.

00:00:55.994 --> 00:00:59.393
Não podem marcar as caixas,
nem gritar, nada.

00:00:59.444 --> 00:01:02.419
Se todos conseguirem
encontrar os vossos instrumentos,

00:01:02.439 --> 00:01:04.160
podem tocar esta noite.

00:01:04.170 --> 00:01:06.652
De contrário, a editora abandona-vos.

00:01:06.864 --> 00:01:09.812
Têm três minutos para pensar,
antes de começarmos.

00:01:10.594 --> 00:01:12.214
A banda fica desesperada.

00:01:12.274 --> 00:01:16.794
Cada músico só tem 50% de hipóteses
de encontrar o seu instrumento

00:01:16.854 --> 00:01:19.134
escolhendo cinco caixas ao acaso.

00:01:19.334 --> 00:01:22.730
E as hipóteses de todos os 10 acertarem
ainda são mais baixas

00:01:22.860 --> 00:01:25.430
— apenas uma em 1024.

00:01:25.610 --> 00:01:28.509
Mas, de repente, o baterista
aparece com uma estratégia válida

00:01:28.539 --> 00:01:32.244
que tem mais de 35% de hipóteses
de funcionar.

00:01:32.984 --> 00:01:34.907
Conseguem descobrir qual foi?

00:01:35.700 --> 00:01:39.210
[Parem o vídeo no próximo ecrã
se quiserem descobrir sozinhos.]

00:01:43.765 --> 00:01:45.230
Resposta em: 3

00:01:45.230 --> 00:01:46.215
Resposta em: 2

00:01:46.215 --> 00:01:47.645
Resposta em: 1

00:01:47.645 --> 00:01:49.285
O baterista disse isto:

00:01:49.365 --> 00:01:52.746
"Cada um abre primeiro a caixa
com o desenho do seu instrumento.

00:01:52.776 --> 00:01:55.378
"Se o vosso instrumento estiver lá dentro,
estão safos.

00:01:55.428 --> 00:01:57.790
"Caso contrário, vejam o que
é que está lá dentro

00:01:57.900 --> 00:02:00.435
"depois abram a caixa
que tem essa mesma imagem.

00:02:00.435 --> 00:02:03.505
"Continuem a fazer isso,
até descobrirem o vosso instrumento".

00:02:03.505 --> 00:02:05.155
Os colegas da banda estão céticos,

00:02:05.155 --> 00:02:08.225
mas o que é espantoso
é que todos encontraram o que queriam.

00:02:08.225 --> 00:02:11.941
Umas horas depois, estão a tocar
para milhares de fãs em delírio.

00:02:12.096 --> 00:02:14.755
Então, porque é que a estratégia
do baterista funcionou?

00:02:14.764 --> 00:02:17.494
Cada músico segue
uma sequência interligada

00:02:17.494 --> 00:02:21.130
que começa com a caixa cujo exterior
corresponde ao seu instrumento

00:02:21.170 --> 00:02:23.432
e acaba na caixa que o contém.

00:02:25.005 --> 00:02:28.385
De notar que, se continuassem
a fazer o mesmo, iriam parar ao princípio.

00:02:28.505 --> 00:02:30.106
Trata-se de um ciclo fechado.

00:02:30.186 --> 00:02:33.155
Por exemplo, se as caixas
estivessem organizadas deste modo,

00:02:33.190 --> 00:02:35.984
o cantor abria a primeira caixa 
e encontrava a bateria,

00:02:36.134 --> 00:02:38.473
ia à oitava caixa
e encontrava a viola baixo,

00:02:38.493 --> 00:02:40.975
e encontrava o microfone
na terceira caixa,

00:02:41.065 --> 00:02:43.237
que voltava a apontar para a primeira.

00:02:43.886 --> 00:02:46.475
Isto funciona muito melhor 
do que um palpite ao acaso,

00:02:46.475 --> 00:02:49.930
porque, ao começar com a caixa
com a imagem do seu instrumento,

00:02:49.940 --> 00:02:54.516
cada músico restringe a sua pesquisa
ao ciclo que contém o seu instrumento

00:02:54.716 --> 00:02:57.836
e há boas probabilidades,
— cerca de 35% —

00:02:57.866 --> 00:03:01.717
de que todos os ciclos
terão um comprimento de cinco ou menos.

00:03:02.157 --> 00:03:04.161
Como calculamos essas probabilidades?

00:03:04.161 --> 00:03:07.827
Por uma questão de simplificação,
vamos demonstrar um caso simplificado,

00:03:07.827 --> 00:03:12.331
com quatro instrumentos e apenas
dois palpites para cada músico.

00:03:13.604 --> 00:03:16.327
Comecemos por encontrar
as probabilidades de fracasso,

00:03:16.327 --> 00:03:19.677
a hipótese de que alguém 
precise de abrir três ou quatro caixas,

00:03:19.677 --> 00:03:21.770
antes de encontrar o seu instrumento.

00:03:21.770 --> 00:03:24.406
Há seis ciclos distintos em quatro caixas.

00:03:24.406 --> 00:03:27.693
Uma forma engraçada de os contar
é fazer um quadrado,

00:03:27.693 --> 00:03:29.726
colocar um instrumento em cada canto,

00:03:29.726 --> 00:03:31.787
e desenhar as diagonais.

00:03:31.787 --> 00:03:34.289
Vejam quantos ciclos únicos encontram

00:03:34.617 --> 00:03:38.107
e reparem que estes dois
consideram-se o mesmo,

00:03:38.107 --> 00:03:40.137
só que começam em pontos diferentes.

00:03:40.137 --> 00:03:42.416
Mas estes dois são diferentes.

00:03:42.598 --> 00:03:47.198
Podemos visualizar os 8 ciclos distintos
das três caixas, usando triângulos.

00:03:47.607 --> 00:03:49.702
Encontramos quatro triângulos possíveis

00:03:49.702 --> 00:03:52.180
consoante qual o instrumento
que deixarmos de fora

00:03:52.180 --> 00:03:54.738
e dois caminhos distintos
para cada um deles.

00:03:55.329 --> 00:03:58.329
Portanto, das 24 combinações
de caixas possíveis

00:03:58.329 --> 00:04:00.798
há 14 que levam ao fracasso,

00:04:00.798 --> 00:04:02.852
e 10 que acabam no êxito.

00:04:04.234 --> 00:04:08.468
Esta estratégia matemática funciona
para qualquer número par de músicos

00:04:08.468 --> 00:04:10.102
mas, se quisermos um atalho,

00:04:10.102 --> 00:04:13.108
generalizamos para uma equação prática.

00:04:13.880 --> 00:04:17.834
Se houver 10 músicos,
as probabilidades são cerca de 35%.

00:04:18.352 --> 00:04:20.428
E se fossem mil músicos?

00:04:20.628 --> 00:04:21.798
Um milhão?

00:04:21.888 --> 00:04:25.961
À medida que o número aumenta,
a probabilidade aproxima-se de 30%.

00:04:26.198 --> 00:04:31.180
Não é uma garantia, mas com um pouco
de sorte, está longe de ser impossível.

00:04:32.228 --> 00:04:35.698
Olá, se gostaram deste enigma,
tentem resolver estes dois.