A vossa banda preferida é ótima a tocar música...
mas não é tão boa em organizar-se.
Andam sempre a trocar os instrumentos nas digressões,
o que deixa o agente deles furioso.
No dia do grande concerto,
a banda acorda e descobre que está manietada
numa sala de ensaios, sem janelas e à prova de som.
O agente explica-lhes o que está a acontecer.
Lá fora, há 10 grandes caixas.
Cada uma delas contém um dos vossos instrumentos,
mas não se fiem nos desenhos — foram colocados ao acaso.
Vou levar lá para fora um de cada vez.
Quando estiverem lá fora, podem abrir cinco caixas quaisquer
antes de a segurança vos levar para o autocarro.
Não podem tocar nos instrumentos
nem, de qualquer modo, comunicar aos outros o que viram.
Não podem marcar as caixas, nem gritar, nada.
Se todos conseguirem encontrar os vossos instrumentos,
podem tocar esta noite.
De contrário, a editora abandona-vos.
Têm três minutos para pensar, antes de começarmos.
A banda fica desesperada.
Cada músico só tem 50% de hipóteses de encontrar o seu instrumento
escolhendo cinco caixas ao acaso.
E as hipóteses de todos os 10 acertarem ainda são mais baixas
— apenas uma em 1024.
Mas, de repente, o baterista aparece com uma estratégia válida
que tem mais de 35% de hipóteses de funcionar.
Conseguem descobrir qual foi?
[Parem o vídeo no próximo ecrã se quiserem descobrir sozinhos.]
Resposta em: 3
Resposta em: 2
Resposta em: 1
O baterista disse isto:
"Cada um abre primeiro a caixa com o desenho do seu instrumento.
"Se o vosso instrumento estiver lá dentro, estão safos.
"Caso contrário, vejam o que é que está lá dentro
"depois abram a caixa que tem essa mesma imagem.
"Continuem a fazer isso, até descobrirem o vosso instrumento".
Os colegas da banda estão céticos,
mas o que é espantoso é que todos encontraram o que queriam.
Umas horas depois, estão a tocar para milhares de fãs em delírio.
Então, porque é que a estratégia do baterista funcionou?
Cada músico segue uma sequência interligada
que começa com a caixa cujo exterior corresponde ao seu instrumento
e acaba na caixa que o contém.
De notar que, se continuassem a fazer o mesmo, iriam parar ao princípio.
Trata-se de um ciclo fechado.
Por exemplo, se as caixas estivessem organizadas deste modo,
o cantor abria a primeira caixa e encontrava a bateria,
ia à oitava caixa e encontrava a viola baixo,
e encontrava o microfone na terceira caixa,
que voltava a apontar para a primeira.
Isto funciona muito melhor do que um palpite ao acaso,
porque, ao começar com a caixa com a imagem do seu instrumento,
cada músico restringe a sua pesquisa ao ciclo que contém o seu instrumento
e há boas probabilidades, — cerca de 35% —
de que todos os ciclos terão um comprimento de cinco ou menos.
Como calculamos essas probabilidades?
Por uma questão de simplificação, vamos demonstrar um caso simplificado,
com quatro instrumentos e apenas dois palpites para cada músico.
Comecemos por encontrar as probabilidades de fracasso,
a hipótese de que alguém precise de abrir três ou quatro caixas,
antes de encontrar o seu instrumento.
Há seis ciclos distintos em quatro caixas.
Uma forma engraçada de os contar é fazer um quadrado,
colocar um instrumento em cada canto,
e desenhar as diagonais.
Vejam quantos ciclos únicos encontram
e reparem que estes dois consideram-se o mesmo,
só que começam em pontos diferentes.
Mas estes dois são diferentes.
Podemos visualizar os 8 ciclos distintos das três caixas, usando triângulos.
Encontramos quatro triângulos possíveis
consoante qual o instrumento que deixarmos de fora
e dois caminhos distintos para cada um deles.
Portanto, das 24 combinações de caixas possíveis
há 14 que levam ao fracasso,
e 10 que acabam no êxito.
Esta estratégia matemática funciona para qualquer número par de músicos
mas, se quisermos um atalho,
generalizamos para uma equação prática.
Se houver 10 músicos, as probabilidades são cerca de 35%.
E se fossem mil músicos?
Um milhão?
À medida que o número aumenta, a probabilidade aproxima-se de 30%.
Não é uma garantia, mas com um pouco de sorte, está longe de ser impossível.
Olá, se gostaram deste enigma, tentem resolver estes dois.