Votre groupe favori est doué en matière de musique,
mais pas autant en terme d'organisation.
Ils égarent sans cesse leurs instruments en tournée,
ce qui rend leur manager furieux.
Le jour du grand concert,
le groupe se réveille et se découvre ligotés
dans une salle de répétition insonorisée et sans fenêtre.
Leur manager explique la situation.
Il y a dix grandes boîtes dehors.
Chacune contient un de vos instruments,
mais ne vous fiez pas aux images, car elles ont été placées au hasard.
Je vais vous laisser sortir un par un.
Quand vous serez dehors, vous pourrez regarder dans cinq de ces boîtes
avant que la sécurité ne vous ramène au bus de tournée.
Vous ne pouvez pas toucher les instruments
ni communiquer d'aucune façon vos découvertes aux autres,
ni marquer les boîtes, ni crier, rien.
Si chacun de vous parvient à trouver son instrument,
alors vous pourrez jouer ce soir.
Sinon, la maison de disques vous lâche.
Vous avez trois minutes pour y réfléchir avant que nous commencions.
Le groupe se désespère.
Après tout, chaque musicien n'a que 50% de chance de trouver son instrument
en ouvrant cinq boîtes au hasard.
Et les chances que les dix réussissent sont encore plus faibles :
seulement 1 sur 1024.
Mais soudain, il le batteur trouve une stratégie solide
qui possède plus de 35% de chances de réussir.
Pouvez-vous trouver de quoi il s'agit ?
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Voici ce que le batteur a dit :
chacun ouvre d'abord la boîte ornée du dessin de son instrument.
Si votre instrument est à l'intérieur, c'est bon.
Sinon, regardez de quel instrument il s'agit,
puis ouvrez la boîte ornée de l'image correspondante.
Continuez ainsi jusqu'à trouver votre instrument.
Les musiciens sont sceptiques,
mais à leur grande surprise, ils retrouvent tous leurs biens.
Et quelques heures plus tard, ils jouent devant des milliers de fans en délire.
Comment la stratégie du batteur fonctionne-t-elle ?
Chaque musicien suit un enchaînement
qui commence par la boîte dont l'image correspond à leur instrument
et finit par la boîte qui le contient.
Notons que s'ils continuaient, cela les ramènerait au départ,
il s'agit donc d'une boucle.
Par exemple, si les boîtes sont arrangées ainsi,
la chanteuse ouvrirait la première et y trouverait la batterie,
irait à la huitième où elle trouverait la basse,
et découvrirait son micro dans la troisième boîte,
ce qui la ramènerait à la première.
Cela marche beaucoup mieux qu'en devinant au hasard
car en commençant avec la boîte ornée de l'image de son instrument,
chaque musicien réduit ses recherches à la boucle qui contient son instrument,
et il y a une probabilité correcte, environ 35%,
que toutes les boucles contiendront cinq boîtes ou moins.
Comment calculons-nous ces chances ?
Pour faire simple, démontrons ça avec un exemple simplifié :
quatre instruments et pas plus de deux suppositions autorisées par musicien.
Commençons par trouver les probabilités d'un échec,
les chances pour que quelqu'un ait besoin d'ouvrir trois boîtes ou plus
avant de trouver son instrument.
Il y a six boucles distinctes comprenant quatre boîtes.
Une façon amusante de les compter consiste à dessiner un carré,
mettre un instrument à chaque coin,
puis tracer les diagonales.
Comptez le nombre de boucles uniques que vous pouvez trouver
et gardez en tête que ces deux-ci sont considérées identiques,
elles débutent juste à des points différents.
Cependant, ces deux-là sont différentes.
Nous pouvons distinguer les huit boucles de trois boîtes à l'aide de triangles.
Vous trouverez quatre triangles possibles
en fonction de l'instrument que vous laissez de côté,
et deux chemins différents pour chacun.
Des 24 combinaisons de boîtes possibles,
il y en a donc 14 qui mènent à l'échec,
et dix couronnées de succès.
Cet algorithme fonctionne pour n'importe quel nombre pair de musiciens,
mais pour faire vite,
cela se traduit par une simple équation.
S'il y a dix musiciens, les chances sont d'environ 35%.
Mais s'il y en avait mille ?
Un million ?
Lorsque la variable n augmente, les probabilités s'approchent de 30%.
Rien de garanti, mais avec un peu de chance musicienne, rien d'impossible.
Salut à tous, si vous avez aimé cette énigme, essayez-vous à celles-ci.