WEBVTT

00:00:00.710 --> 00:00:04.470
上节课

00:00:04.470 --> 00:00:04.870
我给大家介绍了

00:00:04.870 --> 00:00:05.520
偏导下的链式法则

00:00:05.520 --> 00:00:10.080
我们说 如果有一个函数Ψ

00:00:10.080 --> 00:00:14.020
这是希腊字母Ψ 它是x、y的函数

00:00:14.020 --> 00:00:16.770
如果我要求它的偏导数

00:00:16.770 --> 00:00:19.360
关于。。。 不对 我要求导数

00:00:19.360 --> 00:00:23.430
不是偏导 求它关于x的导数

00:00:23.430 --> 00:00:29.540
那就是?Ψ

00:00:29.540 --> 00:00:32.680
除以?x 加上?Ψ

00:00:32.690 --> 00:00:35.400
除以?y 乘以dy/dx

00:00:35.400 --> 00:00:37.630
上一个视频中 我没有证明

00:00:37.630 --> 00:00:40.260
但我给了大家一种直观

00:00:40.260 --> 00:00:40.740
所以相信我吧

00:00:40.740 --> 00:00:41.370
但可能某天

00:00:41.370 --> 00:00:43.030
我会严格地证明它

00:00:43.030 --> 00:00:44.750
不过如果有兴趣的话

00:00:44.750 --> 00:00:46.120
也能在网络上找到

00:00:46.120 --> 00:00:49.960
偏导下的链式法则的证明

00:00:49.960 --> 00:00:52.760
放一边吧

00:00:52.760 --> 00:00:54.330
下面来看看偏导的另一个性质

00:00:55.600 --> 00:00:56.500
这之后 我们就能直观地感受

00:00:56.500 --> 00:00:57.080
恰当方程了

00:00:57.080 --> 00:00:59.070
因为你会发现

00:00:59.070 --> 00:01:02.210
这些足够让我们去解恰当方程了

00:01:02.210 --> 00:01:05.140
但直觉这东西吧

00:01:05.140 --> 00:01:05.930
好吧 我不想说它有点难

00:01:05.930 --> 00:01:06.890
因为直觉有了就是有了

00:01:06.890 --> 00:01:11.490
所以 如果有一个函数Ψ

00:01:11.490 --> 00:01:14.710
我要求Ψ的偏导数

00:01:14.710 --> 00:01:16.580
首先是关于x的偏导

00:01:16.580 --> 00:01:17.510
写下Ψ

00:01:17.510 --> 00:01:19.640
我不用每次都写上x、y

00:01:19.640 --> 00:01:22.890
然后我求关于y的

00:01:22.890 --> 00:01:25.480
偏导数

00:01:28.920 --> 00:01:32.730
正如记号 可以写成。。。

00:01:32.730 --> 00:01:33.460
多多少少可以看做

00:01:33.460 --> 00:01:34.620
把操作符（求导符号）相乘

00:01:34.620 --> 00:01:36.050
可以写成这样

00:01:36.050 --> 00:01:42.400
上面是?2Ψ

00:01:42.400 --> 00:01:47.540
下面是?y 或者?x

00:01:47.540 --> 00:01:50.330
也可以写成。。。

00:01:50.330 --> 00:01:53.040
这是我最喜欢的符号

00:01:53.040 --> 00:01:53.800
因为它没有多余的符号

00:01:53.800 --> 00:01:54.850
你可以说

00:01:54.850 --> 00:01:56.350
求偏导 先是x

00:02:00.050 --> 00:02:00.810
这意味着 对Ψ求关于x的偏导

00:02:01.240 --> 00:02:04.060
然后求关于y的偏导

00:02:04.060 --> 00:02:05.870
这是其中一种情况

00:02:05.870 --> 00:02:07.970
先求关于x 再求关于y的偏导

00:02:07.970 --> 00:02:08.650
是怎样做的呢？

00:02:08.650 --> 00:02:13.100
先是关于x

00:02:13.100 --> 00:02:14.190
把y固定 求关于x的偏导

00:02:14.190 --> 00:02:15.000
关于x的 把y忽略

00:02:15.000 --> 00:02:17.060
然后把x固定

00:02:17.060 --> 00:02:18.670
求关于y的偏导

00:02:18.670 --> 00:02:21.480
那交换x和y的顺序

00:02:21.480 --> 00:02:22.370
会发生什么呢？

00:02:22.370 --> 00:02:24.970
会发生的是。。。

00:02:24.970 --> 00:02:30.400
用另一种颜色 写下Ψ

00:02:30.400 --> 00:02:32.530
然后求偏导

00:02:32.530 --> 00:02:34.480
先是关于y

00:02:34.480 --> 00:02:35.760
然后是关于x 这是什么呢？

00:02:36.510 --> 00:02:37.990
这只是记号罢了

00:02:38.000 --> 00:02:40.640
大家应该适应了吧

00:02:40.640 --> 00:02:44.660
这是?x和?y

00:02:44.660 --> 00:02:46.360
这是算符

00:02:46.360 --> 00:02:48.750
这里可能会引起误会

00:02:48.750 --> 00:02:49.730
这两个记号

00:02:49.730 --> 00:02:51.060
尽管是一样的

00:02:51.060 --> 00:02:52.740
但顺序变了

00:02:52.740 --> 00:02:54.250
这不过是因为

00:02:54.250 --> 00:02:54.910
看待事物的方法不一样

00:02:54.910 --> 00:02:57.990
这是说 先求关于x的偏导 再y

00:02:57.990 --> 00:03:00.160
这看上更像算符

00:03:00.160 --> 00:03:03.000
先求关于x的偏导 然后求关于y的

00:03:03.000 --> 00:03:04.950
就像是算符乘积那样

00:03:04.950 --> 00:03:08.840
无论怎样 这也可以写成

00:03:08.840 --> 00:03:11.310
先是y 然后才是x

00:03:11.310 --> 00:03:13.070
不好意思 关于y

00:03:13.070 --> 00:03:14.910
然后才是关于x的偏导

00:03:14.910 --> 00:03:17.980
现在 我要告诉大家

00:03:17.980 --> 00:03:20.840
如果求偏之后函数都是连续的

00:03:20.840 --> 00:03:22.260
我们处理的

00:03:22.260 --> 00:03:24.510
大部分函数的定义域都是平凡的

00:03:24.510 --> 00:03:26.780
也就是 是连续的 没有洞的

00:03:26.780 --> 00:03:29.070
函数的定义中也没有诡异的地方

00:03:29.070 --> 00:03:30.290
它们通常都是连续的

00:03:30.290 --> 00:03:32.990
特别地 在第一年的微积分或微分课程中

00:03:33.680 --> 00:03:34.510
我们处理的

00:03:34.510 --> 00:03:35.810
大部分是连续函数

00:03:35.810 --> 00:03:37.620
定义域是好的

00:03:37.620 --> 00:03:40.480
如果这两个函数是连续的

00:03:40.480 --> 00:03:45.410
求偏之后还都是连续的

00:03:45.410 --> 00:03:47.170
那它们就是相等的

00:03:47.170 --> 00:03:54.950
Ψxy等于Ψyx

00:03:54.950 --> 00:04:01.220
现在 我们要应用它了

00:04:01.220 --> 00:04:04.870
求偏下的链式法则

00:04:04.870 --> 00:04:07.440
应用它去解

00:04:07.440 --> 00:04:09.060
一种类型的微分方程

00:04:09.060 --> 00:04:13.060
一阶的微分方程

00:04:13.060 --> 00:04:14.270
叫做“恰当方程”

00:04:14.270 --> 00:04:17.860
恰当方程是怎样的呢？

00:04:17.860 --> 00:04:21.990
它们是这样的

00:04:21.990 --> 00:04:23.710
选择颜色真不容易啊

00:04:23.710 --> 00:04:26.290
这是我的微分方程

00:04:26.290 --> 00:04:29.550
关于x和y的函数

00:04:29.550 --> 00:04:31.830
不确定是什么

00:04:31.830 --> 00:04:32.920
它可能是x2*cosy 或者其他

00:04:32.920 --> 00:04:34.650
不确定是什么 可以是任意x、y的函数

00:04:34.650 --> 00:04:40.350
加上另一个x、y的函数

00:04:40.350 --> 00:04:44.900
称之为N 乘以dy/dx之后等于0

00:04:44.900 --> 00:04:45.560
这是。。。

00:04:45.560 --> 00:04:47.520
我不确定是否为恰当方程

00:04:47.520 --> 00:04:50.880
不过你看到这样的形式

00:04:50.880 --> 00:04:52.990
首先要做的是。。。

00:04:52.990 --> 00:04:54.500
首先考虑它是否可分离变量

00:04:54.500 --> 00:04:56.180
你们应该做一些代数练习

00:04:56.180 --> 00:04:57.620
看看变量是否可分离

00:04:57.620 --> 00:04:59.210
因为那可以直接解出来

00:04:59.210 --> 00:05:00.110
如果不可分离

00:05:00.110 --> 00:05:01.770
但还是这样的形式

00:05:01.770 --> 00:05:04.460
你就会问“喔 这是恰当方程么？”

00:05:04.460 --> 00:05:06.340
什么是恰当方程？

00:05:06.340 --> 00:05:07.270
好吧 首先要看

00:05:07.270 --> 00:05:11.600
这里的形式

00:05:11.600 --> 00:05:14.000
看上去和这里很相似

00:05:14.000 --> 00:05:18.210
如果M是?Ψ/?x呢？

00:05:18.210 --> 00:05:24.920
Ψx是否就是M呢？

00:05:24.920 --> 00:05:26.710
这是Ψx吗？

00:05:26.710 --> 00:05:29.570
又如果这是Ψy呢？

00:05:29.570 --> 00:05:32.500
也就是Ψy=N

00:05:32.500 --> 00:05:32.950
如果。。。

00:05:32.950 --> 00:05:34.670
我只是想说 我们并不确定

00:05:34.670 --> 00:05:37.500
如果你偶然在某处看到这个式子

00:05:37.500 --> 00:05:40.200
你不会知道这是否

00:05:40.200 --> 00:05:41.780
是某函数关于x的偏导数

00:05:41.780 --> 00:05:43.060
或者这也是一个偏导数

00:05:43.060 --> 00:05:43.830
某函数关于y的偏导数

00:05:43.830 --> 00:05:45.810
但我们说 如果是呢？

00:05:45.810 --> 00:05:46.820
如果确实是

00:05:46.820 --> 00:05:49.650
我们就可以重新写成 Ψ

00:05:49.650 --> 00:05:52.870
关于x的偏导 加上Ψ

00:05:52.870 --> 00:05:58.680
关于y的偏导 乘以dy/dx 等于0

00:05:58.680 --> 00:06:02.050
这里左边的式子

00:06:02.050 --> 00:06:04.790
和这里是一样的 对吧？

00:06:04.790 --> 00:06:09.040
这是Ψ关于x的导数

00:06:09.040 --> 00:06:10.940
用到了偏导下的链式法则

00:06:10.940 --> 00:06:12.710
所以可以重写了

00:06:12.710 --> 00:06:17.130
重写成 这是Ψ关于x的

00:06:17.130 --> 00:06:20.480
导数

00:06:20.480 --> 00:06:23.410
Ψ是关于x、y的函数 等于0

00:06:23.410 --> 00:06:27.730
看这个微分方程

00:06:27.730 --> 00:06:28.860
写出这样的形式

00:06:28.860 --> 00:06:31.070
你会说 哎 还是不能分离变量吧

00:06:31.070 --> 00:06:32.030
但这是一个恰当方程

00:06:32.030 --> 00:06:35.940
显然

00:06:35.940 --> 00:06:36.960
如果它出现在

00:06:36.960 --> 00:06:37.740
最近的考试中

00:06:37.740 --> 00:06:38.800
那它很可能是一个恰当方程

00:06:38.800 --> 00:06:40.940
但看到这个形式 你会说

00:06:40.940 --> 00:06:42.070
它可能是一个恰当方程

00:06:42.070 --> 00:06:44.580
如果它是一个恰当方程。。。

00:06:44.580 --> 00:06:45.490
告诉大家

00:06:45.490 --> 00:06:48.350
怎样最快地作出判断

00:06:48.350 --> 00:06:49.850
然后就可以写成

00:06:49.850 --> 00:06:52.550
某函数Ψ的导数了

00:06:52.550 --> 00:06:54.840
这是Ψ关于x的偏导

00:06:54.840 --> 00:06:57.720
这是Ψ关于y的偏导

00:06:57.720 --> 00:06:59.650
如果可以写成这样

00:06:59.650 --> 00:07:01.370
就可以对两边求导。。。

00:07:01.370 --> 00:07:06.890
不对 应该是两边取不定积分

00:07:06.890 --> 00:07:08.320
就能得到Ψ(x,y)=C

00:07:08.320 --> 00:07:10.070
是方程的一个解

00:07:10.070 --> 00:07:11.090
有两件事

00:07:11.090 --> 00:07:12.770
是我们应该关心的

00:07:12.770 --> 00:07:16.470
之后你可能会说 好的 Sal

00:07:16.470 --> 00:07:19.550
考虑过了Ψ 、偏导数 所有的这些

00:07:19.550 --> 00:07:22.020
首先 怎样知道这是否是一个恰当方程？

00:07:22.020 --> 00:07:24.590
然后 如果是恰当方程

00:07:24.590 --> 00:07:26.510
也就是存在那样的一个Ψ

00:07:26.510 --> 00:07:28.290
然后怎样解出Ψ呢？

00:07:28.290 --> 00:07:32.380
所以 判断是否恰当方程的办法

00:07:32.380 --> 00:07:34.690
就是利用这个信息

00:07:34.690 --> 00:07:38.150
我们知道 Ψ和它的偏导们

00:07:38.150 --> 00:07:40.030
在定义域上都是连续的

00:07:40.040 --> 00:07:42.100
然后关于x和y

00:07:42.100 --> 00:07:45.760
求偏导数

00:07:45.760 --> 00:07:46.980
在两种求偏顺序下 它们还是一样的

00:07:46.980 --> 00:07:48.930
所以我们说 这是偏导

00:07:48.930 --> 00:07:50.180
关于x的 对吧？

00:07:52.610 --> 00:07:55.920
这是关于y的偏导

00:07:55.920 --> 00:07:59.880
如果这是恰当方程

00:07:59.880 --> 00:08:01.330
如果它是恰当的

00:08:01.330 --> 00:08:03.250
对它关于y的

00:08:03.250 --> 00:08:05.330
偏导数 对吧？

00:08:05.330 --> 00:08:11.600
对M求关于y的偏导。。。

00:08:11.600 --> 00:08:13.720
也就是Ψx

00:08:13.720 --> 00:08:15.560
等于M

00:08:15.560 --> 00:08:17.390
如果我们对它求关于y的

00:08:17.390 --> 00:08:18.490
偏导数

00:08:18.490 --> 00:08:22.450
可以重写成这样

00:08:22.450 --> 00:08:25.930
它是等于

00:08:25.930 --> 00:08:28.090
Nx 对吧？

00:08:28.090 --> 00:08:31.970
Ψ关于y的偏导 是N

00:08:31.970 --> 00:08:34.760
如果我们对两边

00:08:34.760 --> 00:08:36.400
求关于x的偏导

00:08:36.400 --> 00:08:40.960
我们知道它们应该是相等的

00:08:40.960 --> 00:08:44.400
如果Ψ和它的偏导都是连续的话

00:08:44.400 --> 00:08:49.320
所以这是相等的

00:08:49.320 --> 00:08:51.990
因此 这其实是判断

00:08:51.990 --> 00:08:53.930
恰当与否的办法

00:08:53.930 --> 00:08:56.300
我来重新写一下

00:08:56.300 --> 00:08:56.690
总结一番

00:08:56.690 --> 00:09:04.870
如果你看到这样的形式M(x,y)

00:09:04.870 --> 00:09:09.580
加上N（x,y)dy/dx 等于0

00:09:09.580 --> 00:09:13.110
然后就应该 对M求关于y的

00:09:13.110 --> 00:09:14.430
偏导数

00:09:14.440 --> 00:09:18.280
然后对N求关于x的偏导

00:09:18.280 --> 00:09:24.030
它们会是相等的

00:09:24.030 --> 00:09:26.410
这。。。是当且仅当的

00:09:26.410 --> 00:09:29.060
如果满足的话 它就是恰当方程

00:09:29.060 --> 00:09:30.930
恰当微分方程

00:09:30.930 --> 00:09:32.410
这是恰当的

00:09:32.410 --> 00:09:33.700
如果它是恰当方程

00:09:33.700 --> 00:09:35.510
也就告诉了我们 存在一个Ψ

00:09:35.510 --> 00:09:47.140
它的导数等于0

00:09:47.140 --> 00:09:52.200
或者Ψ(x,y)=C

00:09:52.200 --> 00:09:53.050
这是方程的解

00:09:53.050 --> 00:09:58.480
Ψ关于x的偏导

00:09:58.480 --> 00:09:59.740
等于M

00:09:59.740 --> 00:10:03.760
Ψ关于y的偏导

00:10:03.760 --> 00:10:05.340
等于N

00:10:05.340 --> 00:10:07.550
在下一个视频中

00:10:07.550 --> 00:10:09.810
我会告诉大家 怎么利用这个信息解方程

00:10:09.810 --> 00:10:11.640
这里我还是要指出某些东西

00:10:11.640 --> 00:10:13.720
这是Ψ关于x的

00:10:13.720 --> 00:10:14.890
偏导数

00:10:14.890 --> 00:10:17.620
当我们要做判断时

00:10:17.620 --> 00:10:19.590
要关于y求偏

00:10:19.590 --> 00:10:21.080
因为我们想得到混合导数

00:10:21.080 --> 00:10:21.470
同样地

00:10:21.470 --> 00:10:23.410
这是Ψ关于y的

00:10:23.410 --> 00:10:27.030
偏导数 但我们要判断的话

00:10:27.030 --> 00:10:29.500
就要取其关于x的偏导

00:10:29.500 --> 00:10:30.730
又得到了混合导数

00:10:30.730 --> 00:10:32.570
这是关于y的

00:10:32.570 --> 00:10:33.920
这是关于x的 得到这个

00:10:33.920 --> 00:10:36.300
无论如何 有点复杂

00:10:36.300 --> 00:10:38.360
但希望大家能明白我所做的一切

00:10:38.360 --> 00:10:41.390
我想 大家应该有了

00:10:41.390 --> 00:10:43.470
一种关于恰当方程的直觉

00:10:43.470 --> 00:10:45.950
下节课 我教大家

00:10:45.950 --> 00:10:49.400
解一些恰当方程 下次见啦~