上节课 我给大家介绍了 偏导下的链式法则 我们说 如果有一个函数Ψ 这是希腊字母Ψ 它是x、y的函数 如果我要求它的偏导数 关于。。。 不对 我要求导数 不是偏导 求它关于x的导数 那就是?Ψ 除以?x 加上?Ψ 除以?y 乘以dy/dx 上一个视频中 我没有证明 但我给了大家一种直观 所以相信我吧 但可能某天 我会严格地证明它 不过如果有兴趣的话 也能在网络上找到 偏导下的链式法则的证明 放一边吧 下面来看看偏导的另一个性质 这之后 我们就能直观地感受 恰当方程了 因为你会发现 这些足够让我们去解恰当方程了 但直觉这东西吧 好吧 我不想说它有点难 因为直觉有了就是有了 所以 如果有一个函数Ψ 我要求Ψ的偏导数 首先是关于x的偏导 写下Ψ 我不用每次都写上x、y 然后我求关于y的 偏导数 正如记号 可以写成。。。 多多少少可以看做 把操作符（求导符号）相乘 可以写成这样 上面是?2Ψ 下面是?y 或者?x 也可以写成。。。 这是我最喜欢的符号 因为它没有多余的符号 你可以说 求偏导 先是x 这意味着 对Ψ求关于x的偏导 然后求关于y的偏导 这是其中一种情况 先求关于x 再求关于y的偏导 是怎样做的呢？ 先是关于x 把y固定 求关于x的偏导 关于x的 把y忽略 然后把x固定 求关于y的偏导 那交换x和y的顺序 会发生什么呢？ 会发生的是。。。 用另一种颜色 写下Ψ 然后求偏导 先是关于y 然后是关于x 这是什么呢？ 这只是记号罢了 大家应该适应了吧 这是?x和?y 这是算符 这里可能会引起误会 这两个记号 尽管是一样的 但顺序变了 这不过是因为 看待事物的方法不一样 这是说 先求关于x的偏导 再y 这看上更像算符 先求关于x的偏导 然后求关于y的 就像是算符乘积那样 无论怎样 这也可以写成 先是y 然后才是x 不好意思 关于y 然后才是关于x的偏导 现在 我要告诉大家 如果求偏之后函数都是连续的 我们处理的 大部分函数的定义域都是平凡的 也就是 是连续的 没有洞的 函数的定义中也没有诡异的地方 它们通常都是连续的 特别地 在第一年的微积分或微分课程中 我们处理的 大部分是连续函数 定义域是好的 如果这两个函数是连续的 求偏之后还都是连续的 那它们就是相等的 Ψxy等于Ψyx 现在 我们要应用它了 求偏下的链式法则 应用它去解 一种类型的微分方程 一阶的微分方程 叫做“恰当方程” 恰当方程是怎样的呢？ 它们是这样的 选择颜色真不容易啊 这是我的微分方程 关于x和y的函数 不确定是什么 它可能是x2*cosy 或者其他 不确定是什么 可以是任意x、y的函数 加上另一个x、y的函数 称之为N 乘以dy/dx之后等于0 这是。。。 我不确定是否为恰当方程 不过你看到这样的形式 首先要做的是。。。 首先考虑它是否可分离变量 你们应该做一些代数练习 看看变量是否可分离 因为那可以直接解出来 如果不可分离 但还是这样的形式 你就会问“喔 这是恰当方程么？” 什么是恰当方程？ 好吧 首先要看 这里的形式 看上去和这里很相似 如果M是?Ψ/?x呢？ Ψx是否就是M呢？ 这是Ψx吗？ 又如果这是Ψy呢？ 也就是Ψy=N 如果。。。 我只是想说 我们并不确定 如果你偶然在某处看到这个式子 你不会知道这是否 是某函数关于x的偏导数 或者这也是一个偏导数 某函数关于y的偏导数 但我们说 如果是呢？ 如果确实是 我们就可以重新写成 Ψ 关于x的偏导 加上Ψ 关于y的偏导 乘以dy/dx 等于0 这里左边的式子 和这里是一样的 对吧？ 这是Ψ关于x的导数 用到了偏导下的链式法则 所以可以重写了 重写成 这是Ψ关于x的 导数 Ψ是关于x、y的函数 等于0 看这个微分方程 写出这样的形式 你会说 哎 还是不能分离变量吧 但这是一个恰当方程 显然 如果它出现在 最近的考试中 那它很可能是一个恰当方程 但看到这个形式 你会说 它可能是一个恰当方程 如果它是一个恰当方程。。。 告诉大家 怎样最快地作出判断 然后就可以写成 某函数Ψ的导数了 这是Ψ关于x的偏导 这是Ψ关于y的偏导 如果可以写成这样 就可以对两边求导。。。 不对 应该是两边取不定积分 就能得到Ψ(x,y)=C 是方程的一个解 有两件事 是我们应该关心的 之后你可能会说 好的 Sal 考虑过了Ψ 、偏导数 所有的这些 首先 怎样知道这是否是一个恰当方程？ 然后 如果是恰当方程 也就是存在那样的一个Ψ 然后怎样解出Ψ呢？ 所以 判断是否恰当方程的办法 就是利用这个信息 我们知道 Ψ和它的偏导们 在定义域上都是连续的 然后关于x和y 求偏导数 在两种求偏顺序下 它们还是一样的 所以我们说 这是偏导 关于x的 对吧？ 这是关于y的偏导 如果这是恰当方程 如果它是恰当的 对它关于y的 偏导数 对吧？ 对M求关于y的偏导。。。 也就是Ψx 等于M 如果我们对它求关于y的 偏导数 可以重写成这样 它是等于 Nx 对吧？ Ψ关于y的偏导 是N 如果我们对两边 求关于x的偏导 我们知道它们应该是相等的 如果Ψ和它的偏导都是连续的话 所以这是相等的 因此 这其实是判断 恰当与否的办法 我来重新写一下 总结一番 如果你看到这样的形式M(x,y) 加上N（x,y)dy/dx 等于0 然后就应该 对M求关于y的 偏导数 然后对N求关于x的偏导 它们会是相等的 这。。。是当且仅当的 如果满足的话 它就是恰当方程 恰当微分方程 这是恰当的 如果它是恰当方程 也就告诉了我们 存在一个Ψ 它的导数等于0 或者Ψ(x,y)=C 这是方程的解 Ψ关于x的偏导 等于M Ψ关于y的偏导 等于N 在下一个视频中 我会告诉大家 怎么利用这个信息解方程 这里我还是要指出某些东西 这是Ψ关于x的 偏导数 当我们要做判断时 要关于y求偏 因为我们想得到混合导数 同样地 这是Ψ关于y的 偏导数 但我们要判断的话 就要取其关于x的偏导 又得到了混合导数 这是关于y的 这是关于x的 得到这个 无论如何 有点复杂 但希望大家能明白我所做的一切 我想 大家应该有了 一种关于恰当方程的直觉 下节课 我教大家 解一些恰当方程 下次见啦~