1
00:00:00,710 --> 00:00:04,470
上节课

2
00:00:04,470 --> 00:00:04,870
我给大家介绍了

3
00:00:04,870 --> 00:00:05,520
偏导下的链式法则

4
00:00:05,520 --> 00:00:10,080
我们说 如果有一个函数Ψ

5
00:00:10,080 --> 00:00:14,020
这是希腊字母Ψ 它是x、y的函数

6
00:00:14,020 --> 00:00:16,770
如果我要求它的偏导数

7
00:00:16,770 --> 00:00:19,360
关于。。。 不对 我要求导数

8
00:00:19,360 --> 00:00:23,430
不是偏导 求它关于x的导数

9
00:00:23,430 --> 00:00:29,540
那就是?Ψ

10
00:00:29,540 --> 00:00:32,680
除以?x 加上?Ψ

11
00:00:32,690 --> 00:00:35,400
除以?y 乘以dy/dx

12
00:00:35,400 --> 00:00:37,630
上一个视频中 我没有证明

13
00:00:37,630 --> 00:00:40,260
但我给了大家一种直观

14
00:00:40,260 --> 00:00:40,740
所以相信我吧

15
00:00:40,740 --> 00:00:41,370
但可能某天

16
00:00:41,370 --> 00:00:43,030
我会严格地证明它

17
00:00:43,030 --> 00:00:44,750
不过如果有兴趣的话

18
00:00:44,750 --> 00:00:46,120
也能在网络上找到

19
00:00:46,120 --> 00:00:49,960
偏导下的链式法则的证明

20
00:00:49,960 --> 00:00:52,760
放一边吧

21
00:00:52,760 --> 00:00:54,330
下面来看看偏导的另一个性质

22
00:00:55,600 --> 00:00:56,500
这之后 我们就能直观地感受

23
00:00:56,500 --> 00:00:57,080
恰当方程了

24
00:00:57,080 --> 00:00:59,070
因为你会发现

25
00:00:59,070 --> 00:01:02,210
这些足够让我们去解恰当方程了

26
00:01:02,210 --> 00:01:05,140
但直觉这东西吧

27
00:01:05,140 --> 00:01:05,930
好吧 我不想说它有点难

28
00:01:05,930 --> 00:01:06,890
因为直觉有了就是有了

29
00:01:06,890 --> 00:01:11,490
所以 如果有一个函数Ψ

30
00:01:11,490 --> 00:01:14,710
我要求Ψ的偏导数

31
00:01:14,710 --> 00:01:16,580
首先是关于x的偏导

32
00:01:16,580 --> 00:01:17,510
写下Ψ

33
00:01:17,510 --> 00:01:19,640
我不用每次都写上x、y

34
00:01:19,640 --> 00:01:22,890
然后我求关于y的

35
00:01:22,890 --> 00:01:25,480
偏导数

36
00:01:28,920 --> 00:01:32,730
正如记号 可以写成。。。

37
00:01:32,730 --> 00:01:33,460
多多少少可以看做

38
00:01:33,460 --> 00:01:34,620
把操作符（求导符号）相乘

39
00:01:34,620 --> 00:01:36,050
可以写成这样

40
00:01:36,050 --> 00:01:42,400
上面是?2Ψ

41
00:01:42,400 --> 00:01:47,540
下面是?y 或者?x

42
00:01:47,540 --> 00:01:50,330
也可以写成。。。

43
00:01:50,330 --> 00:01:53,040
这是我最喜欢的符号

44
00:01:53,040 --> 00:01:53,800
因为它没有多余的符号

45
00:01:53,800 --> 00:01:54,850
你可以说

46
00:01:54,850 --> 00:01:56,350
求偏导 先是x

47
00:02:00,050 --> 00:02:00,810
这意味着 对Ψ求关于x的偏导

48
00:02:01,240 --> 00:02:04,060
然后求关于y的偏导

49
00:02:04,060 --> 00:02:05,870
这是其中一种情况

50
00:02:05,870 --> 00:02:07,970
先求关于x 再求关于y的偏导

51
00:02:07,970 --> 00:02:08,650
是怎样做的呢？

52
00:02:08,650 --> 00:02:13,100
先是关于x

53
00:02:13,100 --> 00:02:14,190
把y固定 求关于x的偏导

54
00:02:14,190 --> 00:02:15,000
关于x的 把y忽略

55
00:02:15,000 --> 00:02:17,060
然后把x固定

56
00:02:17,060 --> 00:02:18,670
求关于y的偏导

57
00:02:18,670 --> 00:02:21,480
那交换x和y的顺序

58
00:02:21,480 --> 00:02:22,370
会发生什么呢？

59
00:02:22,370 --> 00:02:24,970
会发生的是。。。

60
00:02:24,970 --> 00:02:30,400
用另一种颜色 写下Ψ

61
00:02:30,400 --> 00:02:32,530
然后求偏导

62
00:02:32,530 --> 00:02:34,480
先是关于y

63
00:02:34,480 --> 00:02:35,760
然后是关于x 这是什么呢？

64
00:02:36,510 --> 00:02:37,990
这只是记号罢了

65
00:02:38,000 --> 00:02:40,640
大家应该适应了吧

66
00:02:40,640 --> 00:02:44,660
这是?x和?y

67
00:02:44,660 --> 00:02:46,360
这是算符

68
00:02:46,360 --> 00:02:48,750
这里可能会引起误会

69
00:02:48,750 --> 00:02:49,730
这两个记号

70
00:02:49,730 --> 00:02:51,060
尽管是一样的

71
00:02:51,060 --> 00:02:52,740
但顺序变了

72
00:02:52,740 --> 00:02:54,250
这不过是因为

73
00:02:54,250 --> 00:02:54,910
看待事物的方法不一样

74
00:02:54,910 --> 00:02:57,990
这是说 先求关于x的偏导 再y

75
00:02:57,990 --> 00:03:00,160
这看上更像算符

76
00:03:00,160 --> 00:03:03,000
先求关于x的偏导 然后求关于y的

77
00:03:03,000 --> 00:03:04,950
就像是算符乘积那样

78
00:03:04,950 --> 00:03:08,840
无论怎样 这也可以写成

79
00:03:08,840 --> 00:03:11,310
先是y 然后才是x

80
00:03:11,310 --> 00:03:13,070
不好意思 关于y

81
00:03:13,070 --> 00:03:14,910
然后才是关于x的偏导

82
00:03:14,910 --> 00:03:17,980
现在 我要告诉大家

83
00:03:17,980 --> 00:03:20,840
如果求偏之后函数都是连续的

84
00:03:20,840 --> 00:03:22,260
我们处理的

85
00:03:22,260 --> 00:03:24,510
大部分函数的定义域都是平凡的

86
00:03:24,510 --> 00:03:26,780
也就是 是连续的 没有洞的

87
00:03:26,780 --> 00:03:29,070
函数的定义中也没有诡异的地方

88
00:03:29,070 --> 00:03:30,290
它们通常都是连续的

89
00:03:30,290 --> 00:03:32,990
特别地 在第一年的微积分或微分课程中

90
00:03:33,680 --> 00:03:34,510
我们处理的

91
00:03:34,510 --> 00:03:35,810
大部分是连续函数

92
00:03:35,810 --> 00:03:37,620
定义域是好的

93
00:03:37,620 --> 00:03:40,480
如果这两个函数是连续的

94
00:03:40,480 --> 00:03:45,410
求偏之后还都是连续的

95
00:03:45,410 --> 00:03:47,170
那它们就是相等的

96
00:03:47,170 --> 00:03:54,950
Ψxy等于Ψyx

97
00:03:54,950 --> 00:04:01,220
现在 我们要应用它了

98
00:04:01,220 --> 00:04:04,870
求偏下的链式法则

99
00:04:04,870 --> 00:04:07,440
应用它去解

100
00:04:07,440 --> 00:04:09,060
一种类型的微分方程

101
00:04:09,060 --> 00:04:13,060
一阶的微分方程

102
00:04:13,060 --> 00:04:14,270
叫做“恰当方程”

103
00:04:14,270 --> 00:04:17,860
恰当方程是怎样的呢？

104
00:04:17,860 --> 00:04:21,990
它们是这样的

105
00:04:21,990 --> 00:04:23,710
选择颜色真不容易啊

106
00:04:23,710 --> 00:04:26,290
这是我的微分方程

107
00:04:26,290 --> 00:04:29,550
关于x和y的函数

108
00:04:29,550 --> 00:04:31,830
不确定是什么

109
00:04:31,830 --> 00:04:32,920
它可能是x2*cosy 或者其他

110
00:04:32,920 --> 00:04:34,650
不确定是什么 可以是任意x、y的函数

111
00:04:34,650 --> 00:04:40,350
加上另一个x、y的函数

112
00:04:40,350 --> 00:04:44,900
称之为N 乘以dy/dx之后等于0

113
00:04:44,900 --> 00:04:45,560
这是。。。

114
00:04:45,560 --> 00:04:47,520
我不确定是否为恰当方程

115
00:04:47,520 --> 00:04:50,880
不过你看到这样的形式

116
00:04:50,880 --> 00:04:52,990
首先要做的是。。。

117
00:04:52,990 --> 00:04:54,500
首先考虑它是否可分离变量

118
00:04:54,500 --> 00:04:56,180
你们应该做一些代数练习

119
00:04:56,180 --> 00:04:57,620
看看变量是否可分离

120
00:04:57,620 --> 00:04:59,210
因为那可以直接解出来

121
00:04:59,210 --> 00:05:00,110
如果不可分离

122
00:05:00,110 --> 00:05:01,770
但还是这样的形式

123
00:05:01,770 --> 00:05:04,460
你就会问“喔 这是恰当方程么？”

124
00:05:04,460 --> 00:05:06,340
什么是恰当方程？

125
00:05:06,340 --> 00:05:07,270
好吧 首先要看

126
00:05:07,270 --> 00:05:11,600
这里的形式

127
00:05:11,600 --> 00:05:14,000
看上去和这里很相似

128
00:05:14,000 --> 00:05:18,210
如果M是?Ψ/?x呢？

129
00:05:18,210 --> 00:05:24,920
Ψx是否就是M呢？

130
00:05:24,920 --> 00:05:26,710
这是Ψx吗？

131
00:05:26,710 --> 00:05:29,570
又如果这是Ψy呢？

132
00:05:29,570 --> 00:05:32,500
也就是Ψy=N

133
00:05:32,500 --> 00:05:32,950
如果。。。

134
00:05:32,950 --> 00:05:34,670
我只是想说 我们并不确定

135
00:05:34,670 --> 00:05:37,500
如果你偶然在某处看到这个式子

136
00:05:37,500 --> 00:05:40,200
你不会知道这是否

137
00:05:40,200 --> 00:05:41,780
是某函数关于x的偏导数

138
00:05:41,780 --> 00:05:43,060
或者这也是一个偏导数

139
00:05:43,060 --> 00:05:43,830
某函数关于y的偏导数

140
00:05:43,830 --> 00:05:45,810
但我们说 如果是呢？

141
00:05:45,810 --> 00:05:46,820
如果确实是

142
00:05:46,820 --> 00:05:49,650
我们就可以重新写成 Ψ

143
00:05:49,650 --> 00:05:52,870
关于x的偏导 加上Ψ

144
00:05:52,870 --> 00:05:58,680
关于y的偏导 乘以dy/dx 等于0

145
00:05:58,680 --> 00:06:02,050
这里左边的式子

146
00:06:02,050 --> 00:06:04,790
和这里是一样的 对吧？

147
00:06:04,790 --> 00:06:09,040
这是Ψ关于x的导数

148
00:06:09,040 --> 00:06:10,940
用到了偏导下的链式法则

149
00:06:10,940 --> 00:06:12,710
所以可以重写了

150
00:06:12,710 --> 00:06:17,130
重写成 这是Ψ关于x的

151
00:06:17,130 --> 00:06:20,480
导数

152
00:06:20,480 --> 00:06:23,410
Ψ是关于x、y的函数 等于0

153
00:06:23,410 --> 00:06:27,730
看这个微分方程

154
00:06:27,730 --> 00:06:28,860
写出这样的形式

155
00:06:28,860 --> 00:06:31,070
你会说 哎 还是不能分离变量吧

156
00:06:31,070 --> 00:06:32,030
但这是一个恰当方程

157
00:06:32,030 --> 00:06:35,940
显然

158
00:06:35,940 --> 00:06:36,960
如果它出现在

159
00:06:36,960 --> 00:06:37,740
最近的考试中

160
00:06:37,740 --> 00:06:38,800
那它很可能是一个恰当方程

161
00:06:38,800 --> 00:06:40,940
但看到这个形式 你会说

162
00:06:40,940 --> 00:06:42,070
它可能是一个恰当方程

163
00:06:42,070 --> 00:06:44,580
如果它是一个恰当方程。。。

164
00:06:44,580 --> 00:06:45,490
告诉大家

165
00:06:45,490 --> 00:06:48,350
怎样最快地作出判断

166
00:06:48,350 --> 00:06:49,850
然后就可以写成

167
00:06:49,850 --> 00:06:52,550
某函数Ψ的导数了

168
00:06:52,550 --> 00:06:54,840
这是Ψ关于x的偏导

169
00:06:54,840 --> 00:06:57,720
这是Ψ关于y的偏导

170
00:06:57,720 --> 00:06:59,650
如果可以写成这样

171
00:06:59,650 --> 00:07:01,370
就可以对两边求导。。。

172
00:07:01,370 --> 00:07:06,890
不对 应该是两边取不定积分

173
00:07:06,890 --> 00:07:08,320
就能得到Ψ(x,y)=C

174
00:07:08,320 --> 00:07:10,070
是方程的一个解

175
00:07:10,070 --> 00:07:11,090
有两件事

176
00:07:11,090 --> 00:07:12,770
是我们应该关心的

177
00:07:12,770 --> 00:07:16,470
之后你可能会说 好的 Sal

178
00:07:16,470 --> 00:07:19,550
考虑过了Ψ 、偏导数 所有的这些

179
00:07:19,550 --> 00:07:22,020
首先 怎样知道这是否是一个恰当方程？

180
00:07:22,020 --> 00:07:24,590
然后 如果是恰当方程

181
00:07:24,590 --> 00:07:26,510
也就是存在那样的一个Ψ

182
00:07:26,510 --> 00:07:28,290
然后怎样解出Ψ呢？

183
00:07:28,290 --> 00:07:32,380
所以 判断是否恰当方程的办法

184
00:07:32,380 --> 00:07:34,690
就是利用这个信息

185
00:07:34,690 --> 00:07:38,150
我们知道 Ψ和它的偏导们

186
00:07:38,150 --> 00:07:40,030
在定义域上都是连续的

187
00:07:40,040 --> 00:07:42,100
然后关于x和y

188
00:07:42,100 --> 00:07:45,760
求偏导数

189
00:07:45,760 --> 00:07:46,980
在两种求偏顺序下 它们还是一样的

190
00:07:46,980 --> 00:07:48,930
所以我们说 这是偏导

191
00:07:48,930 --> 00:07:50,180
关于x的 对吧？

192
00:07:52,610 --> 00:07:55,920
这是关于y的偏导

193
00:07:55,920 --> 00:07:59,880
如果这是恰当方程

194
00:07:59,880 --> 00:08:01,330
如果它是恰当的

195
00:08:01,330 --> 00:08:03,250
对它关于y的

196
00:08:03,250 --> 00:08:05,330
偏导数 对吧？

197
00:08:05,330 --> 00:08:11,600
对M求关于y的偏导。。。

198
00:08:11,600 --> 00:08:13,720
也就是Ψx

199
00:08:13,720 --> 00:08:15,560
等于M

200
00:08:15,560 --> 00:08:17,390
如果我们对它求关于y的

201
00:08:17,390 --> 00:08:18,490
偏导数

202
00:08:18,490 --> 00:08:22,450
可以重写成这样

203
00:08:22,450 --> 00:08:25,930
它是等于

204
00:08:25,930 --> 00:08:28,090
Nx 对吧？

205
00:08:28,090 --> 00:08:31,970
Ψ关于y的偏导 是N

206
00:08:31,970 --> 00:08:34,760
如果我们对两边

207
00:08:34,760 --> 00:08:36,400
求关于x的偏导

208
00:08:36,400 --> 00:08:40,960
我们知道它们应该是相等的

209
00:08:40,960 --> 00:08:44,400
如果Ψ和它的偏导都是连续的话

210
00:08:44,400 --> 00:08:49,320
所以这是相等的

211
00:08:49,320 --> 00:08:51,990
因此 这其实是判断

212
00:08:51,990 --> 00:08:53,930
恰当与否的办法

213
00:08:53,930 --> 00:08:56,300
我来重新写一下

214
00:08:56,300 --> 00:08:56,690
总结一番

215
00:08:56,690 --> 00:09:04,870
如果你看到这样的形式M(x,y)

216
00:09:04,870 --> 00:09:09,580
加上N（x,y)dy/dx 等于0

217
00:09:09,580 --> 00:09:13,110
然后就应该 对M求关于y的

218
00:09:13,110 --> 00:09:14,430
偏导数

219
00:09:14,440 --> 00:09:18,280
然后对N求关于x的偏导

220
00:09:18,280 --> 00:09:24,030
它们会是相等的

221
00:09:24,030 --> 00:09:26,410
这。。。是当且仅当的

222
00:09:26,410 --> 00:09:29,060
如果满足的话 它就是恰当方程

223
00:09:29,060 --> 00:09:30,930
恰当微分方程

224
00:09:30,930 --> 00:09:32,410
这是恰当的

225
00:09:32,410 --> 00:09:33,700
如果它是恰当方程

226
00:09:33,700 --> 00:09:35,510
也就告诉了我们 存在一个Ψ

227
00:09:35,510 --> 00:09:47,140
它的导数等于0

228
00:09:47,140 --> 00:09:52,200
或者Ψ(x,y)=C

229
00:09:52,200 --> 00:09:53,050
这是方程的解

230
00:09:53,050 --> 00:09:58,480
Ψ关于x的偏导

231
00:09:58,480 --> 00:09:59,740
等于M

232
00:09:59,740 --> 00:10:03,760
Ψ关于y的偏导

233
00:10:03,760 --> 00:10:05,340
等于N

234
00:10:05,340 --> 00:10:07,550
在下一个视频中

235
00:10:07,550 --> 00:10:09,810
我会告诉大家 怎么利用这个信息解方程

236
00:10:09,810 --> 00:10:11,640
这里我还是要指出某些东西

237
00:10:11,640 --> 00:10:13,720
这是Ψ关于x的

238
00:10:13,720 --> 00:10:14,890
偏导数

239
00:10:14,890 --> 00:10:17,620
当我们要做判断时

240
00:10:17,620 --> 00:10:19,590
要关于y求偏

241
00:10:19,590 --> 00:10:21,080
因为我们想得到混合导数

242
00:10:21,080 --> 00:10:21,470
同样地

243
00:10:21,470 --> 00:10:23,410
这是Ψ关于y的

244
00:10:23,410 --> 00:10:27,030
偏导数 但我们要判断的话

245
00:10:27,030 --> 00:10:29,500
就要取其关于x的偏导

246
00:10:29,500 --> 00:10:30,730
又得到了混合导数

247
00:10:30,730 --> 00:10:32,570
这是关于y的

248
00:10:32,570 --> 00:10:33,920
这是关于x的 得到这个

249
00:10:33,920 --> 00:10:36,300
无论如何 有点复杂

250
00:10:36,300 --> 00:10:38,360
但希望大家能明白我所做的一切

251
00:10:38,360 --> 00:10:41,390
我想 大家应该有了

252
00:10:41,390 --> 00:10:43,470
一种关于恰当方程的直觉

253
00:10:43,470 --> 00:10:45,950
下节课 我教大家

254
00:10:45,950 --> 00:10:49,400
解一些恰当方程 下次见啦~