0:00:00.710,0:00:04.470
上节课

0:00:04.470,0:00:04.870
我给大家介绍了

0:00:04.870,0:00:05.520
偏导下的链式法则

0:00:05.520,0:00:10.080
我们说 如果有一个函数Ψ

0:00:10.080,0:00:14.020
这是希腊字母Ψ 它是x、y的函数

0:00:14.020,0:00:16.770
如果我要求它的偏导数

0:00:16.770,0:00:19.360
关于。。。 不对 我要求导数

0:00:19.360,0:00:23.430
不是偏导 求它关于x的导数

0:00:23.430,0:00:29.540
那就是?Ψ

0:00:29.540,0:00:32.680
除以?x 加上?Ψ

0:00:32.690,0:00:35.400
除以?y 乘以dy/dx

0:00:35.400,0:00:37.630
上一个视频中 我没有证明

0:00:37.630,0:00:40.260
但我给了大家一种直观

0:00:40.260,0:00:40.740
所以相信我吧

0:00:40.740,0:00:41.370
但可能某天

0:00:41.370,0:00:43.030
我会严格地证明它

0:00:43.030,0:00:44.750
不过如果有兴趣的话

0:00:44.750,0:00:46.120
也能在网络上找到

0:00:46.120,0:00:49.960
偏导下的链式法则的证明

0:00:49.960,0:00:52.760
放一边吧

0:00:52.760,0:00:54.330
下面来看看偏导的另一个性质

0:00:55.600,0:00:56.500
这之后 我们就能直观地感受

0:00:56.500,0:00:57.080
恰当方程了

0:00:57.080,0:00:59.070
因为你会发现

0:00:59.070,0:01:02.210
这些足够让我们去解恰当方程了

0:01:02.210,0:01:05.140
但直觉这东西吧

0:01:05.140,0:01:05.930
好吧 我不想说它有点难

0:01:05.930,0:01:06.890
因为直觉有了就是有了

0:01:06.890,0:01:11.490
所以 如果有一个函数Ψ

0:01:11.490,0:01:14.710
我要求Ψ的偏导数

0:01:14.710,0:01:16.580
首先是关于x的偏导

0:01:16.580,0:01:17.510
写下Ψ

0:01:17.510,0:01:19.640
我不用每次都写上x、y

0:01:19.640,0:01:22.890
然后我求关于y的

0:01:22.890,0:01:25.480
偏导数

0:01:28.920,0:01:32.730
正如记号 可以写成。。。

0:01:32.730,0:01:33.460
多多少少可以看做

0:01:33.460,0:01:34.620
把操作符（求导符号）相乘

0:01:34.620,0:01:36.050
可以写成这样

0:01:36.050,0:01:42.400
上面是?2Ψ

0:01:42.400,0:01:47.540
下面是?y 或者?x

0:01:47.540,0:01:50.330
也可以写成。。。

0:01:50.330,0:01:53.040
这是我最喜欢的符号

0:01:53.040,0:01:53.800
因为它没有多余的符号

0:01:53.800,0:01:54.850
你可以说

0:01:54.850,0:01:56.350
求偏导 先是x

0:02:00.050,0:02:00.810
这意味着 对Ψ求关于x的偏导

0:02:01.240,0:02:04.060
然后求关于y的偏导

0:02:04.060,0:02:05.870
这是其中一种情况

0:02:05.870,0:02:07.970
先求关于x 再求关于y的偏导

0:02:07.970,0:02:08.650
是怎样做的呢？

0:02:08.650,0:02:13.100
先是关于x

0:02:13.100,0:02:14.190
把y固定 求关于x的偏导

0:02:14.190,0:02:15.000
关于x的 把y忽略

0:02:15.000,0:02:17.060
然后把x固定

0:02:17.060,0:02:18.670
求关于y的偏导

0:02:18.670,0:02:21.480
那交换x和y的顺序

0:02:21.480,0:02:22.370
会发生什么呢？

0:02:22.370,0:02:24.970
会发生的是。。。

0:02:24.970,0:02:30.400
用另一种颜色 写下Ψ

0:02:30.400,0:02:32.530
然后求偏导

0:02:32.530,0:02:34.480
先是关于y

0:02:34.480,0:02:35.760
然后是关于x 这是什么呢？

0:02:36.510,0:02:37.990
这只是记号罢了

0:02:38.000,0:02:40.640
大家应该适应了吧

0:02:40.640,0:02:44.660
这是?x和?y

0:02:44.660,0:02:46.360
这是算符

0:02:46.360,0:02:48.750
这里可能会引起误会

0:02:48.750,0:02:49.730
这两个记号

0:02:49.730,0:02:51.060
尽管是一样的

0:02:51.060,0:02:52.740
但顺序变了

0:02:52.740,0:02:54.250
这不过是因为

0:02:54.250,0:02:54.910
看待事物的方法不一样

0:02:54.910,0:02:57.990
这是说 先求关于x的偏导 再y

0:02:57.990,0:03:00.160
这看上更像算符

0:03:00.160,0:03:03.000
先求关于x的偏导 然后求关于y的

0:03:03.000,0:03:04.950
就像是算符乘积那样

0:03:04.950,0:03:08.840
无论怎样 这也可以写成

0:03:08.840,0:03:11.310
先是y 然后才是x

0:03:11.310,0:03:13.070
不好意思 关于y

0:03:13.070,0:03:14.910
然后才是关于x的偏导

0:03:14.910,0:03:17.980
现在 我要告诉大家

0:03:17.980,0:03:20.840
如果求偏之后函数都是连续的

0:03:20.840,0:03:22.260
我们处理的

0:03:22.260,0:03:24.510
大部分函数的定义域都是平凡的

0:03:24.510,0:03:26.780
也就是 是连续的 没有洞的

0:03:26.780,0:03:29.070
函数的定义中也没有诡异的地方

0:03:29.070,0:03:30.290
它们通常都是连续的

0:03:30.290,0:03:32.990
特别地 在第一年的微积分或微分课程中

0:03:33.680,0:03:34.510
我们处理的

0:03:34.510,0:03:35.810
大部分是连续函数

0:03:35.810,0:03:37.620
定义域是好的

0:03:37.620,0:03:40.480
如果这两个函数是连续的

0:03:40.480,0:03:45.410
求偏之后还都是连续的

0:03:45.410,0:03:47.170
那它们就是相等的

0:03:47.170,0:03:54.950
Ψxy等于Ψyx

0:03:54.950,0:04:01.220
现在 我们要应用它了

0:04:01.220,0:04:04.870
求偏下的链式法则

0:04:04.870,0:04:07.440
应用它去解

0:04:07.440,0:04:09.060
一种类型的微分方程

0:04:09.060,0:04:13.060
一阶的微分方程

0:04:13.060,0:04:14.270
叫做“恰当方程”

0:04:14.270,0:04:17.860
恰当方程是怎样的呢？

0:04:17.860,0:04:21.990
它们是这样的

0:04:21.990,0:04:23.710
选择颜色真不容易啊

0:04:23.710,0:04:26.290
这是我的微分方程

0:04:26.290,0:04:29.550
关于x和y的函数

0:04:29.550,0:04:31.830
不确定是什么

0:04:31.830,0:04:32.920
它可能是x2*cosy 或者其他

0:04:32.920,0:04:34.650
不确定是什么 可以是任意x、y的函数

0:04:34.650,0:04:40.350
加上另一个x、y的函数

0:04:40.350,0:04:44.900
称之为N 乘以dy/dx之后等于0

0:04:44.900,0:04:45.560
这是。。。

0:04:45.560,0:04:47.520
我不确定是否为恰当方程

0:04:47.520,0:04:50.880
不过你看到这样的形式

0:04:50.880,0:04:52.990
首先要做的是。。。

0:04:52.990,0:04:54.500
首先考虑它是否可分离变量

0:04:54.500,0:04:56.180
你们应该做一些代数练习

0:04:56.180,0:04:57.620
看看变量是否可分离

0:04:57.620,0:04:59.210
因为那可以直接解出来

0:04:59.210,0:05:00.110
如果不可分离

0:05:00.110,0:05:01.770
但还是这样的形式

0:05:01.770,0:05:04.460
你就会问“喔 这是恰当方程么？”

0:05:04.460,0:05:06.340
什么是恰当方程？

0:05:06.340,0:05:07.270
好吧 首先要看

0:05:07.270,0:05:11.600
这里的形式

0:05:11.600,0:05:14.000
看上去和这里很相似

0:05:14.000,0:05:18.210
如果M是?Ψ/?x呢？

0:05:18.210,0:05:24.920
Ψx是否就是M呢？

0:05:24.920,0:05:26.710
这是Ψx吗？

0:05:26.710,0:05:29.570
又如果这是Ψy呢？

0:05:29.570,0:05:32.500
也就是Ψy=N

0:05:32.500,0:05:32.950
如果。。。

0:05:32.950,0:05:34.670
我只是想说 我们并不确定

0:05:34.670,0:05:37.500
如果你偶然在某处看到这个式子

0:05:37.500,0:05:40.200
你不会知道这是否

0:05:40.200,0:05:41.780
是某函数关于x的偏导数

0:05:41.780,0:05:43.060
或者这也是一个偏导数

0:05:43.060,0:05:43.830
某函数关于y的偏导数

0:05:43.830,0:05:45.810
但我们说 如果是呢？

0:05:45.810,0:05:46.820
如果确实是

0:05:46.820,0:05:49.650
我们就可以重新写成 Ψ

0:05:49.650,0:05:52.870
关于x的偏导 加上Ψ

0:05:52.870,0:05:58.680
关于y的偏导 乘以dy/dx 等于0

0:05:58.680,0:06:02.050
这里左边的式子

0:06:02.050,0:06:04.790
和这里是一样的 对吧？

0:06:04.790,0:06:09.040
这是Ψ关于x的导数

0:06:09.040,0:06:10.940
用到了偏导下的链式法则

0:06:10.940,0:06:12.710
所以可以重写了

0:06:12.710,0:06:17.130
重写成 这是Ψ关于x的

0:06:17.130,0:06:20.480
导数

0:06:20.480,0:06:23.410
Ψ是关于x、y的函数 等于0

0:06:23.410,0:06:27.730
看这个微分方程

0:06:27.730,0:06:28.860
写出这样的形式

0:06:28.860,0:06:31.070
你会说 哎 还是不能分离变量吧

0:06:31.070,0:06:32.030
但这是一个恰当方程

0:06:32.030,0:06:35.940
显然

0:06:35.940,0:06:36.960
如果它出现在

0:06:36.960,0:06:37.740
最近的考试中

0:06:37.740,0:06:38.800
那它很可能是一个恰当方程

0:06:38.800,0:06:40.940
但看到这个形式 你会说

0:06:40.940,0:06:42.070
它可能是一个恰当方程

0:06:42.070,0:06:44.580
如果它是一个恰当方程。。。

0:06:44.580,0:06:45.490
告诉大家

0:06:45.490,0:06:48.350
怎样最快地作出判断

0:06:48.350,0:06:49.850
然后就可以写成

0:06:49.850,0:06:52.550
某函数Ψ的导数了

0:06:52.550,0:06:54.840
这是Ψ关于x的偏导

0:06:54.840,0:06:57.720
这是Ψ关于y的偏导

0:06:57.720,0:06:59.650
如果可以写成这样

0:06:59.650,0:07:01.370
就可以对两边求导。。。

0:07:01.370,0:07:06.890
不对 应该是两边取不定积分

0:07:06.890,0:07:08.320
就能得到Ψ(x,y)=C

0:07:08.320,0:07:10.070
是方程的一个解

0:07:10.070,0:07:11.090
有两件事

0:07:11.090,0:07:12.770
是我们应该关心的

0:07:12.770,0:07:16.470
之后你可能会说 好的 Sal

0:07:16.470,0:07:19.550
考虑过了Ψ 、偏导数 所有的这些

0:07:19.550,0:07:22.020
首先 怎样知道这是否是一个恰当方程？

0:07:22.020,0:07:24.590
然后 如果是恰当方程

0:07:24.590,0:07:26.510
也就是存在那样的一个Ψ

0:07:26.510,0:07:28.290
然后怎样解出Ψ呢？

0:07:28.290,0:07:32.380
所以 判断是否恰当方程的办法

0:07:32.380,0:07:34.690
就是利用这个信息

0:07:34.690,0:07:38.150
我们知道 Ψ和它的偏导们

0:07:38.150,0:07:40.030
在定义域上都是连续的

0:07:40.040,0:07:42.100
然后关于x和y

0:07:42.100,0:07:45.760
求偏导数

0:07:45.760,0:07:46.980
在两种求偏顺序下 它们还是一样的

0:07:46.980,0:07:48.930
所以我们说 这是偏导

0:07:48.930,0:07:50.180
关于x的 对吧？

0:07:52.610,0:07:55.920
这是关于y的偏导

0:07:55.920,0:07:59.880
如果这是恰当方程

0:07:59.880,0:08:01.330
如果它是恰当的

0:08:01.330,0:08:03.250
对它关于y的

0:08:03.250,0:08:05.330
偏导数 对吧？

0:08:05.330,0:08:11.600
对M求关于y的偏导。。。

0:08:11.600,0:08:13.720
也就是Ψx

0:08:13.720,0:08:15.560
等于M

0:08:15.560,0:08:17.390
如果我们对它求关于y的

0:08:17.390,0:08:18.490
偏导数

0:08:18.490,0:08:22.450
可以重写成这样

0:08:22.450,0:08:25.930
它是等于

0:08:25.930,0:08:28.090
Nx 对吧？

0:08:28.090,0:08:31.970
Ψ关于y的偏导 是N

0:08:31.970,0:08:34.760
如果我们对两边

0:08:34.760,0:08:36.400
求关于x的偏导

0:08:36.400,0:08:40.960
我们知道它们应该是相等的

0:08:40.960,0:08:44.400
如果Ψ和它的偏导都是连续的话

0:08:44.400,0:08:49.320
所以这是相等的

0:08:49.320,0:08:51.990
因此 这其实是判断

0:08:51.990,0:08:53.930
恰当与否的办法

0:08:53.930,0:08:56.300
我来重新写一下

0:08:56.300,0:08:56.690
总结一番

0:08:56.690,0:09:04.870
如果你看到这样的形式M(x,y)

0:09:04.870,0:09:09.580
加上N（x,y)dy/dx 等于0

0:09:09.580,0:09:13.110
然后就应该 对M求关于y的

0:09:13.110,0:09:14.430
偏导数

0:09:14.440,0:09:18.280
然后对N求关于x的偏导

0:09:18.280,0:09:24.030
它们会是相等的

0:09:24.030,0:09:26.410
这。。。是当且仅当的

0:09:26.410,0:09:29.060
如果满足的话 它就是恰当方程

0:09:29.060,0:09:30.930
恰当微分方程

0:09:30.930,0:09:32.410
这是恰当的

0:09:32.410,0:09:33.700
如果它是恰当方程

0:09:33.700,0:09:35.510
也就告诉了我们 存在一个Ψ

0:09:35.510,0:09:47.140
它的导数等于0

0:09:47.140,0:09:52.200
或者Ψ(x,y)=C

0:09:52.200,0:09:53.050
这是方程的解

0:09:53.050,0:09:58.480
Ψ关于x的偏导

0:09:58.480,0:09:59.740
等于M

0:09:59.740,0:10:03.760
Ψ关于y的偏导

0:10:03.760,0:10:05.340
等于N

0:10:05.340,0:10:07.550
在下一个视频中

0:10:07.550,0:10:09.810
我会告诉大家 怎么利用这个信息解方程

0:10:09.810,0:10:11.640
这里我还是要指出某些东西

0:10:11.640,0:10:13.720
这是Ψ关于x的

0:10:13.720,0:10:14.890
偏导数

0:10:14.890,0:10:17.620
当我们要做判断时

0:10:17.620,0:10:19.590
要关于y求偏

0:10:19.590,0:10:21.080
因为我们想得到混合导数

0:10:21.080,0:10:21.470
同样地

0:10:21.470,0:10:23.410
这是Ψ关于y的

0:10:23.410,0:10:27.030
偏导数 但我们要判断的话

0:10:27.030,0:10:29.500
就要取其关于x的偏导

0:10:29.500,0:10:30.730
又得到了混合导数

0:10:30.730,0:10:32.570
这是关于y的

0:10:32.570,0:10:33.920
这是关于x的 得到这个

0:10:33.920,0:10:36.300
无论如何 有点复杂

0:10:36.300,0:10:38.360
但希望大家能明白我所做的一切

0:10:38.360,0:10:41.390
我想 大家应该有了

0:10:41.390,0:10:43.470
一种关于恰当方程的直觉

0:10:43.470,0:10:45.950
下节课 我教大家

0:10:45.950,0:10:49.400
解一些恰当方程 下次见啦~