Geçen videoda sizi kısmi türevlerle zincir kuralı fikriyle tanıştırdım. Ve dedik ki eğer bir fonksiyonumuz psi varsa ve bu x ve y e bağlı bir fonksiyonsa ve ben bu fonksiyonun kısmi-- yok yok ,türevini kısmi değil-- x e göre türevini almak istiyorsam, bu türev eşittir psi nin x e göre kısmi türevi artı psi nin y ye göre kısmi türevi çarpı dydx. Son videoda bunu size ispat etmedim ama ümit ederim ki bana inanmanızı sağlayacak az da olsa bir fikir vermişimdir. Belki birgün biraz daha fazla ispat yaparım ama isterseniz internette kısmi denklemlerin zincir kuralı ile ilgili ispatlar bulabilirsiniz. Şimdi bunu bir kenara koyalım ve kısmi türevlerin bir başka özelliğini inceleyelim ve sonra tam denklemlerin arkasında yatan sezgiyi kazanmış oluruz. Çünkü göreceksiniz ki tam denklemleri çözmek bayağı basittir ama o sezgiyi kazanmak biraz daha zor diyemicem o sezginiz varsa vardır. O zaman diyelimki bu fonksiyon psi var ve onun x e göre kısmi türevini alıcam. Sadece psi yazıcam. Her seferinde x ve y yazmıcam. Sonra da y ye göre kısmi türev alıcam. İşaretle gösterirken bunu şu şekilde yazabilirsiniz,bunu operatörler i çarpıyormuş gibi farzedersek şu şekilde yazabiliriz. del kare çarpı psi nin kısmi türevi yada del kare psi bölü dely del yada del.x. Bu şu şekilde de yazılabilir-- ki ben bunu tercih ediyorum çünkü bütün bu extra fazlalıklar yok etrafta. Diyebilirsiniz ki kısmi ilk olarak x e göre kısmi türev aldık.Bu psi nin x e göre kısmi türevidir. Sonra da y ye göre kısmi türev aldık. Bu düşünüle cek bir durum. Önce x e ve sonrada y ye göre kısmi türev alırsak ne olur? Evet x e göre,kısmi türev almak için y yi sabit tutuyoruz. Burdaki y i görmeyin. Sonra x i sabit tutuyoruz ve y ye göre kısmi alıyoruz. Bununla eğer sırasını değiştirirsek elde edeceğimiz arasındaki fark nedir? Eğer şöyle yapsak ne olur-- farklı bir renkle yapıcam-- eğer psi olsaydı ve onun önce y ye göre sonrada x e göre kısmi türevini alsak? Bunun, yazılı ifadesi, şöyle olur--kısmi x,kısmi y. Bu da operatör. Burası biraz karışık gelebilir,bu iki yazılı ifade arasında,aynı şey olmalarına rağmen, sırası karışıktır. Bunun nedeni sadece değişik bir düşünme şekli olmasıdır. Bu diyor ki ,kısmi türev önce x e göre sonra y ye göre. Önce x in kısmi türevini sonra ynin kısmi türevini aldık sanki ikisini çarpar gibi. Neyse bu aynı zamanda şöyle yazılabilir y nin x e göre kısmi --pardon ,y nin kısmi türevi vesonra bunun x e göre kısmi türevi. Ş imdi size şunu söylicem--eğer bu ilk kısmi türevler sürekli ise--ki şimdiye kadar uğraştığımız denklemler arada kopukluk,delikler ya da fonksiyon tanımında bir gariplik olmadığı sürece süreklidirler. Bilhassa kalkülüs va da diferansiyel konusunda ilk sene sadece sürekli denklemlerle uğraşıcağız. Eğer bu fonksiyonların ikisi de sürekli ise, eğer ilk kısmiler de sürekli ise o zaman bu ikisi birbirine eşit olacaktır. Ve xy nin psi si , yx in psi sine eşit olacaktır. Şimdi bu bilgiyi kullanabiliriz ki bu kısmi türevlerin zincir kuralıdır, ve bir tür differansiyel ,denklemleri bununla çözebiliriz. Birinci derece diferansiyel denklemler ki bunlara tam denklemler diyoruz. Tam denklem neye benzer? Tam denklem şöyledir. Bu renk seçmek işin zor kısmı. Diyelim ki diferansiyel denklemimiz bu. Bir x ve y fonksiyonum var. Ne biliim,x kare çarpı kosinüs y ya da başka bişi. Bilmiyorum,herhangi bir x y fonksiyonu olabilir. artı bir x y fonksiyonu,buna N dicez,çarpı dy, dx eşittir sıfır. Bu--daha tam denklem olup olmadığını bilmiyorum, ama bu şekilde bir denklem görürseniz,ilk tepkiniz, evet ilk sorunuz bu ayrılabilir mi? ve biraz cebir kullanarak ayrılabilir olup olmadığını görebilirsiniz çünkü bu her zaman en kolay yoldur. Eğer ayrılabilir değilse,ama yine de bu şekle sokabiliyorsanız, o zaman dersiniz ki hey,bu bir tam denklem mi? Tam denklem ne demek? Eveet derhal bakın. Bu şekil çok fazla burdaki şekle benziyor. Eğer M psi nin x e göre kısmi türeviyse? Ya x e göre psi eşittir M ise? Ya da x e göre psi bu ise? Ya da y ye göre psi bu ise y ye göre psi eşittir N ya da Demek istediğim tam olarak bilmiyoruz tamam mı? Eğer bunu herhangi bir yerde görürseniz tam olarak bilemezsiniz ki bu bir fonksiyonun x e göre kısmi türevidir ve de bu bir fonksiyonun y ye göre kısmi türevidir. Biz diyoruz ki ya olsaydı? Eğer bu doğruysa,şu şekilde yazabiliriz psi nin x e göre kısmi türevi artı psi nin y ye göre kısmi türevi çarpı dy,dx eşittir sıfır. Ve bu burda,sol taraf orda,bununla aynı şey değil mi? Bu sadece psi nin x e göre kısmi türevi, kısmi türevler için zincir kuralını kullanarak. Böylece yeniden yazabilirsiniz Yeniden yazarken bu sadece psi nin x e göre türevi, içersi x in bir fonksiyonu, y eşittir 0. Eğer bir differansiyel denklem görürseniz ve bu şekildeyse,diyebilisiniz ki,ben bunu ayıramam ama belki bir tam denklemdir. Gerçekten eğer bu sınavdan önce işlediğimizse belki de bir gerçek denklemdir. Ama bu şekli görünce diyebilirsiniz ki belki de tam denklemdir. Eğer tam denklemse-- ve size bu bilgiyi kullanarak nasıl test edeceğinizi göstericem o zaman bunu şöyle yazabiliriz--bir fonksiyon psi nin türevi ,burda bu psi nin x e göre kısmisi oluyor. Bu psinin y ye göre kısmisi oluyor. Ve sonra da bunu şöyle yazabilirseniz, ve iki tarafın da türevini alırsanız,pardon iki tarafın da integralini alırsanız-- psi x,y eşittir c çözümüne ulaşırsınız. İki şey hakkında sizin dikkatinizi çekmek isterim. Diyebilirsiniz ki bana tamam Sal psi ler,kısmiler bunları işledin. Birincisi,tam denklem olduğunu nerden biliyorsun? Eğer tam denklemse bir psi olması gerekiyor ve bu psi yi nasıl çözücez? Tam denklem olup olmadığını bulmak için bu bilgiyi kullanmamız gerekir. Eğer psi ve onun türevleri sürekli ise önce x ve sonra y ye göre kısmisini alırsak bu diğer sırayla almakla aynı şeydir. Dedik ki bu x e göre kısmi dir tamam mı? Bu da y ye göre kısmidir. Bu bir tam denklemse,bu o tam denklemse, ve bunun y ye göre kısmisini alıyorsak? Eğer Mnin y ye göre kısmisini alıyorsak psi nin x e göre kısmisi eşittir M. Eğer bunların y ye göre kısmisini alıyorsak o zaman bunu tekrardan şöyle yazabiliriz--o zaman bu Nnin x e göre kısmisine eşit olur. Psi nin y ye göre kısmisi eşittir N. Bu ikisinin x e göre kısmisini alırsak ,bu ikisinin, bunlar eşit olmalı,eğer psi ve kısmileri o domain de sürekli ise. O zaman bu da eşit olur. O zaman bu tam denklem olup olmadığını bulmak için bir testtir. Bunun tümünü tekrar yazıp biraz da özetliyeyim. Eğer şu şekilde birşey görürseniz,M x y cinsinden,artı N x,y cinsinden,çarpı dy,dx eşittir 0. Sonra Mnin y ye göre kısmisini alır, Nnin x e göre kısmisini alırsanız ve birbirine eşitse bu ancak ve ancak denklem tam ise olur,tam diferansiyel denklemse. Bu bir tam denklem. Eğer bu tam denklemse bir psi vardır ki bu psi nin x,y ye göre türevi eşittir 0 ya da psi eşittir c, bu denklemin bir çözümüdür. Ve psi nin x e göre kısmi türevi eşittir M. Ve psi nin ye göre kısmi türevi eşittir N. Ve bir sonraki videoda bu bilgiyi psi yi çözmede nasıl kullanacağınızı göstericem. Bazı şeylere dikkatinizi çekmek istiyorum. Bu psi nin x e göre kısmisi olacak fakat tam denklem testi için y ye göre türev alıyoruz çünkü karışık türev almak istiyoruz. Aynı şekilde bu da psi nin y ye göre türevi olacak ama testi yapmak için x e göre türev alıyoruz ki karışık türev alalım. Bu y ye göre ve sonra x e göre ve bunu elde ediyorsunuz. Bu biraz derin gelebilir ama yaptığım herşeyi anladıysanız tam denklemlerin nasıl çalıştığıyla ilgili sezginiz oluşmuştur. Gelecek videoda bazı tam denklemleri çözeceğiz.Görüşmek üzere...