Geçen videoda sizi kısmi türevlerle zincir
kuralı fikriyle tanıştırdım.
Ve dedik ki eğer bir fonksiyonumuz psi varsa ve bu
x ve y e bağlı bir fonksiyonsa
ve ben bu fonksiyonun kısmi--
yok yok ,türevini kısmi değil--
x e göre türevini almak istiyorsam,
bu türev eşittir psi nin x e göre kısmi türevi artı
psi nin y ye göre kısmi türevi çarpı dydx.
Son videoda bunu size ispat etmedim ama
ümit ederim ki bana inanmanızı sağlayacak az da olsa
bir fikir vermişimdir.
Belki birgün biraz daha fazla ispat yaparım
ama isterseniz internette kısmi denklemlerin zincir
kuralı ile ilgili ispatlar bulabilirsiniz.
Şimdi bunu bir kenara koyalım ve kısmi türevlerin bir
başka özelliğini inceleyelim ve sonra tam denklemlerin
arkasında yatan sezgiyi kazanmış oluruz.
Çünkü göreceksiniz ki tam denklemleri çözmek bayağı
basittir ama o sezgiyi kazanmak
biraz daha zor diyemicem
o sezginiz varsa vardır.
O zaman diyelimki bu fonksiyon psi var
ve onun x e göre kısmi türevini alıcam.
Sadece psi yazıcam.
Her seferinde x ve y yazmıcam.
Sonra da y ye göre kısmi türev
alıcam.
İşaretle gösterirken bunu şu şekilde yazabilirsiniz,bunu
operatörler i çarpıyormuş gibi farzedersek şu şekilde
yazabiliriz.
del kare çarpı psi nin kısmi türevi yada del kare psi bölü
dely del yada del.x.
Bu şu şekilde de yazılabilir-- ki ben bunu tercih ediyorum
çünkü bütün bu extra fazlalıklar yok
etrafta.
Diyebilirsiniz ki kısmi
ilk olarak x e göre kısmi türev aldık.Bu psi nin x e
göre kısmi türevidir.
Sonra da y ye göre kısmi türev aldık.
Bu düşünüle cek bir durum.
Önce x e ve sonrada y ye göre kısmi
türev alırsak ne olur?
Evet x e göre,kısmi türev almak için
y yi sabit tutuyoruz.
Burdaki y i görmeyin.
Sonra x i sabit tutuyoruz ve
y ye göre kısmi alıyoruz.
Bununla eğer sırasını değiştirirsek elde edeceğimiz arasındaki
fark nedir?
Eğer şöyle yapsak ne olur-- farklı bir renkle yapıcam--
eğer psi olsaydı ve onun önce y ye göre sonrada
x e göre kısmi türevini
alsak?
Bunun, yazılı ifadesi,
şöyle olur--kısmi x,kısmi y.
Bu da operatör.
Burası biraz karışık gelebilir,bu iki yazılı
ifade arasında,aynı şey olmalarına rağmen,
sırası karışıktır.
Bunun nedeni sadece değişik bir düşünme
şekli olmasıdır.
Bu diyor ki ,kısmi türev önce x e göre sonra y ye göre.
Önce x in kısmi türevini
sonra ynin kısmi türevini aldık sanki ikisini
çarpar gibi.
Neyse bu aynı zamanda şöyle yazılabilir y nin x e
göre kısmi --pardon ,y nin kısmi türevi vesonra
bunun x e göre kısmi türevi.
Ş imdi size şunu söylicem--eğer bu ilk kısmi türevler
sürekli ise--ki şimdiye kadar uğraştığımız
denklemler
arada kopukluk,delikler
ya da fonksiyon tanımında bir gariplik olmadığı sürece
süreklidirler.
Bilhassa kalkülüs va da diferansiyel konusunda ilk
sene sadece sürekli denklemlerle
uğraşıcağız.
Eğer bu fonksiyonların ikisi de sürekli ise, eğer ilk kısmiler
de sürekli ise o zaman bu ikisi birbirine
eşit olacaktır.
Ve xy nin psi si , yx in psi sine eşit olacaktır.
Şimdi bu bilgiyi kullanabiliriz ki bu kısmi türevlerin
zincir kuralıdır, ve bir tür differansiyel
,denklemleri bununla çözebiliriz.
Birinci derece diferansiyel denklemler ki bunlara
tam denklemler diyoruz.
Tam denklem neye benzer?
Tam denklem şöyledir.
Bu renk seçmek işin zor kısmı.
Diyelim ki diferansiyel denklemimiz bu.
Bir x ve y fonksiyonum var.
Ne biliim,x kare çarpı
kosinüs y ya da başka bişi.
Bilmiyorum,herhangi bir x y fonksiyonu olabilir.
artı bir x y fonksiyonu,buna N dicez,çarpı dy,
dx eşittir sıfır.
Bu--daha tam denklem olup olmadığını bilmiyorum,
ama bu şekilde bir denklem görürseniz,ilk tepkiniz,
evet ilk sorunuz
bu ayrılabilir mi?
ve biraz cebir kullanarak ayrılabilir olup olmadığını
görebilirsiniz çünkü
bu her zaman en kolay yoldur.
Eğer ayrılabilir değilse,ama yine de bu şekle sokabiliyorsanız,
o zaman dersiniz ki hey,bu bir tam denklem mi?
Tam denklem ne demek?
Eveet derhal bakın.
Bu şekil çok fazla
burdaki şekle benziyor.
Eğer M psi nin x e göre kısmi türeviyse?
Ya x e göre psi eşittir M ise?
Ya da x e göre psi bu ise?
Ya da y ye göre psi bu ise
y ye göre psi eşittir N
ya da
Demek istediğim tam olarak bilmiyoruz tamam mı?
Eğer bunu herhangi bir yerde görürseniz
tam olarak bilemezsiniz ki bu bir fonksiyonun x e göre kısmi türevidir
ve de bu bir fonksiyonun y ye göre kısmi
türevidir.
Biz diyoruz ki ya olsaydı?
Eğer bu doğruysa,şu şekilde yazabiliriz
psi nin x e göre kısmi türevi artı psi nin
y ye göre kısmi türevi çarpı dy,dx eşittir sıfır.
Ve bu burda,sol taraf orda,bununla
aynı şey değil mi?
Bu sadece psi nin x e göre kısmi türevi,
kısmi türevler için zincir kuralını kullanarak.
Böylece yeniden yazabilirsiniz
Yeniden yazarken bu sadece psi nin x e göre türevi,
içersi x in bir fonksiyonu,
y eşittir 0.
Eğer bir differansiyel denklem görürseniz ve
bu şekildeyse,diyebilisiniz ki,ben bunu ayıramam ama belki
bir tam denklemdir.
Gerçekten eğer bu sınavdan önce işlediğimizse
belki de bir gerçek denklemdir.
Ama bu şekli görünce diyebilirsiniz ki
belki de tam denklemdir.
Eğer tam denklemse-- ve size bu bilgiyi kullanarak nasıl test edeceğinizi
göstericem o zaman bunu şöyle yazabiliriz--bir fonksiyon psi nin
türevi ,burda bu psi nin x e göre
kısmisi oluyor.
Bu psinin y ye göre kısmisi oluyor.
Ve sonra da bunu şöyle yazabilirseniz,
ve iki tarafın da türevini alırsanız,pardon
iki tarafın da integralini alırsanız-- psi x,y eşittir
c çözümüne ulaşırsınız.
İki şey hakkında sizin dikkatinizi çekmek isterim.
Diyebilirsiniz ki bana tamam Sal psi ler,kısmiler
bunları işledin.
Birincisi,tam denklem olduğunu nerden biliyorsun?
Eğer tam denklemse bir psi olması gerekiyor
ve bu psi yi nasıl çözücez?
Tam denklem olup olmadığını bulmak için
bu bilgiyi kullanmamız gerekir.
Eğer psi ve onun türevleri sürekli ise
önce x ve sonra y ye göre kısmisini alırsak
bu diğer sırayla almakla
aynı şeydir.
Dedik ki bu x e göre
kısmi dir tamam mı?
Bu da y ye göre kısmidir.
Bu bir tam denklemse,bu o tam denklemse,
ve bunun y ye göre kısmisini
alıyorsak?
Eğer Mnin y ye göre kısmisini alıyorsak
psi nin x e göre kısmisi eşittir M.
Eğer bunların y ye göre kısmisini alıyorsak
o zaman bunu tekrardan şöyle yazabiliriz--o zaman
bu Nnin x e göre kısmisine eşit olur.
Psi nin y ye göre kısmisi eşittir N.
Bu ikisinin x e göre kısmisini alırsak ,bu ikisinin,
bunlar eşit olmalı,eğer psi ve kısmileri o domain de
sürekli ise.
O zaman bu da eşit olur.
O zaman bu tam denklem olup olmadığını
bulmak için bir testtir.
Bunun tümünü tekrar yazıp
biraz da özetliyeyim.
Eğer şu şekilde birşey görürseniz,M x y cinsinden,artı N x,y
cinsinden,çarpı dy,dx eşittir 0.
Sonra Mnin y ye göre kısmisini alır,
Nnin x e göre kısmisini alırsanız
ve birbirine eşitse
bu ancak ve ancak
denklem tam ise olur,tam diferansiyel denklemse.
Bu bir tam denklem.
Eğer bu tam denklemse bir psi vardır ki
bu psi nin x,y ye göre türevi
eşittir 0 ya da psi eşittir c,
bu denklemin bir çözümüdür.
Ve psi nin x e göre kısmi türevi
eşittir M.
Ve psi nin ye göre kısmi türevi eşittir
N.
Ve bir sonraki videoda bu bilgiyi
psi yi çözmede nasıl kullanacağınızı göstericem.
Bazı şeylere dikkatinizi çekmek istiyorum.
Bu psi nin x e göre kısmisi olacak fakat
tam denklem testi için
y ye göre türev alıyoruz çünkü karışık
türev almak istiyoruz.
Aynı şekilde bu da psi nin y ye göre türevi olacak ama
testi yapmak için
x e göre türev alıyoruz ki
karışık türev alalım.
Bu y ye göre ve sonra x e göre
ve bunu elde ediyorsunuz.
Bu biraz derin gelebilir ama
yaptığım herşeyi anladıysanız
tam denklemlerin nasıl çalıştığıyla ilgili
sezginiz oluşmuştur.
Gelecek videoda bazı tam denklemleri
çözeceğiz.Görüşmek üzere...