-
ในวิดีโอที่แล้ว ผมได้แนะนำแนวคิดเรื่อง กฏลูกโซ่
ใช้กับอนุพันธ์ย่อยไป
และเราบอกว่า, อืม, ถ้าผมมีฟังก์ชัน, ไซ, ตัวอักษรกรีก,
ไซ, มันเป็นฟังก์ชันของ x กับ y
และถ้าผมอยากหาอนุพันธ์ย่อยของเจ้านี่, เทียบกับ
-- ไม่สิ, ผมอยากหาอนุพันธ์, ไม่ใช่อนุพันธ์ย่อย --
อนุพันธ์ของเจ้านี่, เทียบกับ x, นี่จะเท่ากับ
อนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, บวกอนุพันธ์ย่อย
ของไซ, เทียบกับ y, คูณ dy, dx
และในวิดีโอที่แล้ว ผมไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู, แต่
ผมหวังว่าคุณจะได้สัญชาตญาณพอ จนคุณ
เชื่อผมแล้ว
แต่บางที ผมอาจจะพิสูจน์ให้รัดกุม
กว่านี้ในอนาคต, แต่คุณสามารถหาบทพิสูจน์ในเว็บต่างๆ ได้ ถ้าคุณ
สนใจ, หากฏลูกโซ่กับอนุพันธ์ย่อยดู
ลองพักเรื่องนั้นไว้ แล้วสำรวจสมบัติอีกอย่างหนึ่ง
ของอนุพันธ์ย่อยกัน, แล้วเราจะได้เข้าใจสัญชาตญาณ
เบื่องหลังสมการแม่นตรง
เพราะคุณจะพบว่า, การแก้สมการแม่นตรง
เป็นเรื่องตรงไปตรงมา, แต่สัญชาตญาณมักจะยุ่ง
-- อืม, ผมไม่อยากบอกว่ายาก, เพราะถ้าคุณ
ได้สัญชาตญาณแล้ว, คุณก็ได้ไปเลย
แล้วถ้าผมบอกว่า, อย่างเช่น, ฟังก์ชันนี้, ไซ, และผมอยากหา
อนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, อันแรก
ผมจะเขียนว่า ไซ
ผมไม่อยากเขียน x กับ y ทุกครั้ง
แล้วผมหาอนุพันธ์ย่อยเทียบ
กับ y
-
ตามสัญลักษณ์, อันนี้คุณสามารถเขียนเป็น, คุณสามาร
มองมันเหมือนกับคุณคูณโอเปอเรเตอร์เข้าไป, มัน
จึงสามารถเขียนแบบนี้ได้
อนุพันธ์ย่อย เดล กำลังสอง คูณ ไซ, หรือเดลกำลังสอง ไซ, ส่วน
เดล y เดล, หรือ d โค้ง x
และนั่นสามารถเขียนได้เป็น -- และนี่เป็นสัญลักษณ์
ที่ผมชอบ, เพราะมันไม่มีทิ้งอะไร
เกะกะไปหมด
คุณก็บอกได้ว่า, อนุพันธ์ย่อย, เราหาอนุพันธ์ย่อย,
เทียบกับ x ก่อน. นั่นก็หมายความว่าอนุพันธ์ย่อยของ
ไซ, เทียบกับ x
แล้วเราก็หาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y
นั่นคือกรณีแรกที่ต้องคิด
เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราหาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ x, แล้ว
ค่อยเทียบกับ y?
ตอนเทียบกับ x, คุณจับ y คงที่เพื่อให้
ได้อนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ x
ไม่สน y ตรงนี้
แล้วคุณก็จับ x คงที่, แล้วคุณ
ก็หาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y
แล้วมันต่างกันไหม ถ้าเราสลับ
ลำดับ?
เกิดอะไรขึ้นถ้าเรา -- ผมจะใช้อีกสีนะ
-- ถ้าเรามี ไซ, และเราหาอนุพันธ์ย่อย,
เทียบกับ y ก่อน, แล้วเราค่อยหาอนุพันธ์ย่อย,
เทียบกับ x?
มันแค่่สัญลักษณ์, เพื่อให้คุณคุ้นเคยกับมัน,
มันก็คือ -- อนุพันธ์ย่อย x, อนุพันธ์ย่อย y
และนี่คือโอเปอเรเตอร์
มันอาจน่าสับสนหน่อย, ระหว่าง
สัญลักษณ์สองตัวนี้, ถึงแม้ว่ามันจะเหมือนกันก็ตาม,
แต่ลำดับสลับกัน
นั่นเป็นเพราะเราคิด
ถึงมันต่างกัน
นี่บอกว่า, โอเค, อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ก่อน, แล้วค่อย y
นี่มองมันเป็นเหมือนโอเปอรเรเตอร์มากกว่า, เราจึง
หาอนุพันธ์ย่อยของ x ก่อน, แล้วเราค่อยหา y, ถ้าคุณ
คูณโอเปอเรเตอร์นั้น
แต่ช่างเถอะ, นี่ก็สามารถเขียนเป็น อนุพันธ์ย่อย
ของ y, เทียบกับ x -- ขอโทษที, อนุพันธ์ย่อยของ Y, แล้ว
เราค่อยหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x
ตอนนี้, ผมจะบอกคุณตอนนี้, ว่าถ้าอนุพันธ์ย่อย
แต่ละตัวนั้นต่อเนื่อง -- และฟังก์ชัน
ส่วนใหญที่เรายุ่งเกี่ยวในโดเมนทั่วไป, ตราบใดที่มัน
ไม่มีความไม่ต่อเนื่อง, หรือรู, หรือ
อะไรประหลาดๆ ในนิยามฟังก์ชัน, พวกมัน
มักจะต่อเนื่องกัน
และโดยเฉพาะในแคลคูลัสปีหนึ่ง หรือวิชา
ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส, เรายุ่งกับฟังก์ชัน
ต่อเนื่องโดยส่วนใหญ่, โดเมนของเรา
ถ้าฟังก์ชันทั้งสองต่อเนื่อง, ถ้าอนุพันธ์ย่อย
ทั้งคู่ต่อเนื่อง, แล้วสองตัวนี้จะ
เท่ากัน
ดังนั้นไซ ของ xy เท่ากับ ไซของ yx
ตอนนี้, เราสามารถใช้ความรู้นี้, ซึ่งก็คือ
กฏลูกโซ่ใช้กับอนุพันธ์ย่อย, และความรู้นี้
เพื่อแก้สมการอนุพันธ์ชุดหนึ่ง
สมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, ประเภทที่เรียกว่า
สมการแม่นตรง
แล้วสมการแม่นตรงหน้าตาเป็นอย่างไร?
สมการแม่นตรงเป็นแบบนี้
การเลือกสีนี่เป็นเรื่องยากนะ
สมมุติว่านี่คือสมการอนุพันธ์ของผม
ผมมีฟังก์ชันของ x กับ y
ไม่รู้สฺล มันอาจเป็น x กำลังสอง คูณ
โคไซน์ของ y อะไรสกัอย่าง
ไม่รู้เหมือนกัน, มันเป็นฟังก์ชันใดๆ ของ x กับ y
บวกฟังก์ชันของ x กับ y อีกตัว, เราจะเรียกมันว่า n, คูณ dy,
dx เท่ากับ 0
นี่คือ -- ตอนนี้, ผมยังไม่รู้ว่ามันเป็นสมการแม่นตรงหรือเปล่า
แต่ถ้าคุณเห็นอะไรในรูปนี้, ปฏิกิริยาแรกของคุณ
ควรเป็น, โอ้ -- อืม, ปฏิกริยาแรกของคุณ
น่าจะเป็นว่า, มันแยกตัวแปรได้หรือเปล่า?
และคุณควรลองเล่นกับพีชคณิตสักหน่อย
เพื่อดูว่าแยกได้หรือเปล่า, เพราะมัน
เป็นวิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุด
ถ้ามันแยกตัวแปรไม่ได้, แต่คุณยังสามารถเขียนในรูปนี้ได้,
คุณก็บอกว่า, เฮ้, มันเป็นสมการแม่นตรงหรือเปล่า?
แล้วสมการแม่นตรงคืออะไร?
ทีนี้, ดูตรงนี้
รูปแบบนี่ตรงนี้ ดูเหมือนกับ
รูปแบบนี้มาก
ถ้าเกิด M เป็นอนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x ล่ะ?
ถ้าเกิด ไซ, เทียบกับ x, เท่ากับ M ล่ะ?
ถ้าเกิดนี่คือไซ, เทียบกับ x ล่ะ?
แล้วถ้า นี่คือไซ, เทียบกับ y ล่ะ?
ไซ, เทียบกับ y, เท่ากับ N
ถ้าเกิดใช่ล่ะ?
ผมบอกว่า, เราไม่รู้แน่ชัด, จริงไหม?
และคุณจะเห็นนี่บางโอกาส, คุณไม่มีทางรู้
ชัดว่านี่คืออนุพันธ์ย่อยของ, เทียบกับ x ของ
ฟังก์ชันสักตัว, และนี่คืออนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y ของ
ฟังก์ชันสักตัว
แต่ถ้าเราบอกว่า, ถ้าใช่ล่ะ?
ถ้านี่เป็นจริงล เราก็สามารถเขียนนี่ใหม่
ว่าอนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, บวกอนุพันธ์ย่อยของไซ
เทียบกับ y, คูณ dy dx, เท่ากับ 0
แล้วเจ้านี่ตรงนี้, ทางซ้ายมือตรงนี้, นั่น
ก็เหมือนกับเจ้านี่, จริงไหม?
นี่ก็แค่อนุพันธ์ของไซ, เทียบกับ x, โดยใช้
กฎลูกโซ่ที่มีอนุพันธ์ย่อย
คุณจึงเขียนมันใหม่ได้
คุณสามารถเขียนมันใหม่ได้, นี่ก็แค่อนุพันธ์ของไซ,
เทียบกับ x, ข้างในฟังก์ชันของ x
y, เท่ากับ 0
แล้วถ้าคุณเห็นสมการอนุพันธ์อีกอัน, และมันอยู่
ในรูปนี้, คุณก็บอกว่า, นาย, ฉันแยกตัวแปรไม่ได้, แต่บางที
มันอาจเป็นสมการแม่นตรงก็ได้
และว่ากันตามตรง, ถ้ามันปรากฏอยู่ใน
ข้อสอบ, มันก็น่าจะเป็นสมการแม่นตรง
แต่ถ้าคุณเห็นรูปนี้, คุณก็บอกว่า, นาย, บางที
มันอาจเป็นสมการแม่นตรง
และถ้านี่คือสมการแม่นตรง -- และผมจะบอกวิธี
ทดสอบมันในไม่ช้าโดยใช้ข้อมูลนี้ -- แล้วนี่สามารถ
เขียนได้เป็น อนุพันธ์ของฟังก์ชันล ไซ, โดย
นี่คืออนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x
นี่คืออนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ y
แล้วถ้าคุณเขียนมันแบบนี้, และคุณหา
อนุพันธ์ของทั้งสองด้าน -- ขอโทษที, คุณหา
แอนติเดริเวทีฟทั้งสองด้าน, คุณควรได้ ไซของ x, y
เท่ากับ c เป็นคำตอบ
มันมีสองอย่างที่เราควรสนใจ
คูณอาจบอกว่า, โอเค, ซาล, คุรบอกเรื่อง
ไซ, อนุพันธ์ย่อย, ทั้งหมดนี้มา
หนึ่ง, ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่ามันเป็นสมการแม่นตรง?
แล้วก็, ถ้ามันสมการแม่นตรง, แล้วเราจะ
อยู่ได้อย่างไรว่าไซคืออะไร ฉันจะแก้หาไซได้อย่างไร?
ทีนี้วิธีหาว่ามันเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่, เราใช้
ข้อมูลนี่ตรงนี้
เรารู้ว่าถ้า ไซ กับอนุพันธ์ของมันต่อเนื่อง
ตลอดทั้งโดเมน, แล้วเมื่อคุณหาอนุพันธ์ย่อย,
เทียบกับ x แล้วก็ y, นั่นจะเหมือนกับ
การหากลับลำกับกัน
เราจึงบอกว่า, นี่คืออนุพันธ์ย่อย,
เทียบกับ x, จริงไหม?
-
และนี่คืออนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y
แล้วถ้านี่คือสมการแม่นตรง, ถ้านี่คือสมการ
แม่นตรง, ถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อยของเจ้านี่, เทียบ
กับ y, จริงไหม?
ถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อยของ M, เทียบกับ y --
อนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, เท่ากับ M
ถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อยของพวกนั้น, เทียบกับ y --
เราก็เขียนมันใหม่ได้ว่า -- มันควรเท่ากับ
อนุพันธ์ย่อยของ N เทียบกับ x, จริงไหม?
อนุพันธ์ย่อยของ ไซ, เทียบกับ y, เท่ากับ N
แล้วถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ x, ของ
ทั้งสองตัวนี้, เรารู้จากอันนี้ ว่า พวกมันควรเท่ากัน, ถ้าไซ
กับอนุพันธ์ย่อยของมันต่อเนื่องตลอดโดเมนนั้น
นี่ควรเท่ากัน
นี่จึงเป็นวิธีเพื่อทดสอบว่า
นี่เป็นสมการแม่นตรงหรือไม่
ขอผมเขียนพวกนี้ใหม่ทั้งหมด และสรุป
มันหน่อย
ถ้าคุณอะไรสักอย่างในรูปนี้, M ของ x, y บวก N ของ x,
y, คูณ dy dx เท่ากับ 0
แล้วคุณหาอนุพันธ์ย่อยของ M เทียบกับ y,
แล้วคุณหาอนุพันธ์ย่อยของ N,
เทียบกับ x, แล้วพวกมันเท่ากัน, แล้ว --
ที่จริงแล้วคือ ก็ต่อเมื่อ, มันไปทั้งสองทาง --
นี่คือสมการแม่นตรง, เป็นสมการอนุพันธ์แบบแม่นตรง
นี่ก็คือสมการแม่นตรง
และถ้ามันเป็นสมการแม่นตรง, นั่นบอกเราว่า มันมี
ไซ, ที่มีอนุพันธ์ของไซ x,y
เท่ากับ 0, หรือไซของ x, y เท่ากับ c, เป็นคำตอบ
ของสมการนี้
แล้วอนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x
เท่ากับ M
และอนุพันธ์ย่อยของไซ เทียบกับ y
เท่ากับ N
และผมจะแสดงให้ดูในวิดีโอหน้า ว่าเราจะใช้ข้อมูลนี้
เพื่อแก้หาไซได้อย่างไร
ตรงนี้ มีบางอย่างที่ผมอยากชี้ให้เห็น
นี่จะเป็นอนุพันธ์ย่อยของไซ,
เทียบกับ x, แต่ตอนเราทดสอบความแม่นตรง,
เราหามันเทียบกับ y, เพราะเราอยากได้
อนุพันธ์ย่อยผสม
เช่นเดียวกัน, นี่จะเท่ากับอนุพันธ์ย่อยของไซ
เทียบกับ y, แต่ตอนเราทดสอบ, เราจะ
หาอนุพันธ์ย่อยของมันเทียบกับ x เราถึงจะได้
อนุพันธ์ย่อยผสม
นี่คือเทียบกับ y, แล้วเทียบกับ
x, คุณจะได้อันนี้
เอาล่ะ, ผมรู้ว่ามันซับซ้อนหน่อย, แต่ถ้า
คุณเข้าใจทุกอย่างที่ผมทำ, ผมว่าคุณน่าจะ
มีสัญชาตญาณแล้วว่าทำไมวิธีการของ
สมการแม่นตรงถึงใช้ได้
ผมจะพบคุณใหม่ในวิดีโอหน้า, โดยเราจะ
แก้สมการแม่นตรงกันจริงๆ แล้วเจอกันครับ
-