No último vídeo introduzi à ideia
de regra de cadeias com derivadas parciais.
E dissemos, bem, se eu tenho uma função, psi, letra Grega,
psi, é uma função de x e y.
E se eu quisesse tirar a derivada parcial disso, em relação
a-- não, eu quero tirar a derivada, não a parcial--
a derivada disso, em relação a x, isso é igual a
parcial de psi, em relação a x, mais a parcial
de psi, em relação a y, vezes dy,dx.
E no último vídeo eu não provei isso para você, mas
espero ter te dado um pouco de intuição de que
você pode acreditar em mim.
Mas talvez um dia eu vá provar um pouco mais
rigorosamente, mais você pode encontrar provas na internet se estiver
interessado, para a regra da cadeia com derivadas parciais.
Então vamos esquecer isso e explorar outra propriedade
de derivadas parciais, e então estamos prontos para entender
a intuição por trás das equações exatas.
Porque você vai encontrar, é bastante simples de
resolver equações exatas, mas a intuição é um pouco
mais-- bem, eu não quero dizer que é difícil, porque se
você tem a intuição, você tem.
Então e se eu tivesse, digamos, essa função, psi, e eu fosse
tirar a derivada parcial de psi, em relação a x, primeiro.
Vou apenas escrever psi.
Eu não tenho que escrever x e y toda hora.
E então se eu tomasse a derivada parcial
em relação a y.
Então apenas como notação, isso você pode escrever como, você pode
ver isso como se estivesse multiplicando os operadores, então
isso poderia ser escrito assim.
A parcial delta ao quadrado vezes psi, ou delta ao quadrado psi, sobre
delta y delta, ou d encaracolado x.
E isso também pode ser escrito como-- e essa é minha notação
preferida, porque ela não tem todo esse lixo extra
por todo lado.
Você poderia dizer, bem, a parcial, nós tiramos a parcial,
em relação a x primeiro. Então isso apenas significa a parcial de
psi em relação a x.
E então tiramos a parcial em relação a y.
Então essa é uma situação a se considerar.
O que acontece quando tiramos a parcial em relação a x
e depois a y?
Então em relação a x, você mantém o y constante para pegar apenas
a parcial em relação a x.
Ignore o y lá.
E então você mantém o x constante, e tira a
parcial em relação a y.
Então qual é a diferença entre isso e se eu fosse
trocar a ordem?
O que aconteceria se eu fosse-- Vou fazer isso em uma cor
diferente-- se tivéssemos psi, e fôssemos tirar a parcial em relação
a y primeiro, e depois fôssemos tirar a parcial
em relação a x.
Então apenas a notação, apenas para você ficar confortável com ela
isso seria-- parcial de x, parcial de y.
E esse é o operador.
E pode parecer um pouco confuso aqui, entre
essas duas notações, mesmo que elas sejam a mesma coisa,
a ordem é misturada.
Isso acontece porque é apenas um jeito diferente de
pensar sobre isso.
Ele diz, OK, parcial primeiro, em relação a x, depois y.
Ele vê isso mais como o operador, então tiramos
a parcial de x primeiro, depois tiramos y, como se você estivesse
multiplicando os operadores.
Mas de qualquer forma, isso também pode ser escrito como a parcial de
y, em relação a x-- desculpa, a parcial de y, e então
tiramos a parcial daquilo em relação a x.
Agora, eu vou te dizer bem agora, que cada uma das
primeiras parciais são contínuas-- e a maioria das
funções com as quais lidamos em um domínio normal, desde que
não exista nenhuma descontinuidade, ou buracos, ou
algo estranho na definição da função, elas
são normalmente contínuas.
E especialmente em um curso de cálculo ou diferencial do
primeiro ano, vamos lidar provavelmente com funções
contínuas em nosso domínio.
Se ambas as funções são contínuas, se ambas as
primeiras parciais são contínuas, então essas duas serão
iguais.
então psi de xy será igual a psi de yx.
Agora, podemos usar esse conhecimento, que é a regra da
cadeia usando derivadas parciais, e esse
conhecimento para resolver certa classe de equações
diferenciais, equações diferenciais de primeira ordem, chamadas
equações exatas.
E como uma equação exata se parece?
Uma equação exata se parece com isso.
Escolher as cores é a parte difícil.
Então, digamos que essa é a minha equação diferencial.
Eu tenho uma função de x e y.
Então, sei lá, poderia ser x ao quadrado vezes
cosseno de y ou alguma coisa.
Sei lá, poderia ser qualquer função de x e de y.
Mais uma função de x e de y, vamos chamar isso de n, vezes dy vezes
dx é igual a zero.
Isso é-- bom, eu não sei se é uma equação exata ainda.
mas se você viu algo com esse formato, seu primeiro impulso
deve ser, oh-- bem, na verdade, seu primeiro
impulso é: isso é separável?
E você deveria tentar manipular a álgebra um
pouco para ver se é separável, porque essa é
sempre o caminho mais rápido.
Se não for separável, mas você ainda puder escrever dessa forma,
você pergunta, ei, isso não é uma equação exata?
E o que é uma equação exata?
Bom, veja.
Essa padrão aqui parece muito
com esse padrão.
E se M for a parcial de psi, em relação a x?
E se psi, em relação a x, for igual a M?
E se isso for psi em relação a x?
E se isso for psi em relação a y?
Então, psi em relação a y é igual a N.
E se?
Estou só dizendo, nós não temos certeza, certo?
Se você ver isso em algum lugar aleatório, você não saberá
com certeza que isso é a parcial de, em relação a x de alguma
função, e isso é a parcial em relação a y de
outra função.
Mas estamos apenas dizendo: e se?
Se isso fosse verdade, então poderíamos reescrever isso como a
parcial de psi em relação a x, mais a parcial de psi
em relação a y, vezes dy, dx, é igual a zero.
E isso aqui, o lado esquerdo aqui, isso é
a mesma coisa que isso, certo?
Isso é apenas a derivada de psi em relação a x, usando
a regra da cadeia para derivadas parciais.
Então você pode reescrever isso.
Você pode reescrever, isso é apenas a derivada de psi
em relação a x, dentro da função de x e y
é igual a zero.
Então se você ver uma equação diferencial, e ela tiver esse
formato, você diz, rapaz, eu não posso separar isso, mas talvez
seja uma equação exata.
E sinceramente, se isso for o que foi dado antes
antes do exame atual, isso provavelmente é uma equação exata.
Mas se você ver essa forma, e disser, rapaz, talvez
seja uma equação exata.
Se isso é uma equação exata-- e eu vou te mostrar como testar
isso em um segundo usando essa informação-- então isso pode ser
escrito como a derivada de uma função, psi, onde isso
é a parcial de psi em relação a x.
Isso é a parcial de psi em relação a y.
E então se você pode escrever isso assim, e você tira a
derivada dos dois lados-- desculpa, você tira a
antiderivada dos dois lados-- e você encontrar psi de x e y
é igual a C como solução.
Então existem duas coisas com as quais deveríamos nos importar.
Você poderia dizer, OK, Sal, você já passou por
psi's, e parciais, e tudo isso.
Primeiro, como eu sei que isso é uma equação exata?
E então, se for uma equação exata, que nos diga que
exista algum psi, então como eu resolvo para o psi?
Então o jeito de descobrir se isso é uma equação exata, é usar
essa informação aqui.
Sabemos que se psi e suas derivadas forem contínuos
sobre um domínio, que quando você tira a parcial em
relação a x e depois y, é a mesma coisa que fazer
isso na ordem contrária.
Então dissemos, isso é a parcial em
relação a x, certo?
E isso é a parcial em relação a y.
Então se isso é uma equação exata, se isso é a equação
exata, se formos tirar a parcial disso, em relação
a y, certo?
Se fôssemos tirar a parcial de M, em relação a y-- então
a parcial de psi, em relação a x, é igual a M.
Se fôssemos tirar a parcial daqueles, em relação a y--
Poderíamos apenas reescrever aquilo como aquilo-- aquilo deveria ser
igual a parcial de N em relação a x, certo?
A parcial de psi em relação a y é igual a N.
Então se tirarmos a parcial em relação a x, dessas
duas, saberemos por isso que elas devem ser iguais, se psi
e suas parciais forem contínuas sobre esse domínio.
Então isso também vai ser igual.
Então esse é o teste para testar se
isso é uma equação exata.
Então deixe-me reescrever tudo isso de novo e resumir isso
um pouco.
Então se você ver alguma coisa da forma, M de x, y mais N de x, y,
vezes dy, dx é igual a zero.
E você tirar a derivada parcial de M em relação
a y, e você tira a derivada parcial de N
em relação a x, e elas forem iguais, então --
e é na verdade se e somente se, então serve para os dois caminhos--
isso é uma equação exata, uma equação diferencial exata.
Isso é uma equação exata.
E se isso é uma equação exata, que nos diz que existe
um psi, tal que a derivada de psi de x, y é
igual a zero, ou psi de x, y é igual a C, é uma solução
dessa equação.
E a derivada parcial de psi, em relação a x, é
igual a M
E a derivada parcial de psi em relação a y é
igual a N.
E eu vou te mostrar no próximo vídeo como usar, de fato, essa
informação para resolver para psi.
Então aqui estão algumas coisas que eu quero salientar.
Isso vai ser a derivada parcial de psi,
em relação a x, mas quando tomarmos o tipo de teste exato,
tomamos isso em relação a y, porque queremos encontrar aquela
derivada mista.
Similarmente, isso vai ser a derivada parcial de psi,
em relação a y, mas quando fizermos o teste, tiramos
a parcial disso em relação a x para termos aquela derivada
mista.
Isso é em relação a y, e então em relação a
x, então você tem isso.
De qualquer forma, eu sei que pode estar um pouco envolvido, mas se
você entendeu tudo que eu fiz, eu acho que você tenha a
intuição por trás do porquê da metodologia
de equações exatas funciona.
Vejo você no próximo vídeo, onde iremos, de fato,
resolver algumas equações exatas.
Legendado por [Eduardo Rebelo] Revisado por [Marcia Yu]