WEBVTT

00:00:00.710 --> 00:00:04.470
No último vídeo introduzi à ideia


00:00:04.470 --> 00:00:05.520
de regra de cadeias com
derivadas parciais.

00:00:05.520 --> 00:00:10.080
E dissemos, bem, se eu tenho uma função,
psi, letra Grega,

00:00:10.080 --> 00:00:14.020
psi, é uma função de x e y.

00:00:14.020 --> 00:00:16.770
E se eu quisesse tirar a derivada
parcial disso, em relação

00:00:16.770 --> 00:00:19.360
a-- não, eu quero tirar a derivada, não
a parcial--

00:00:19.360 --> 00:00:23.430
a derivada disso, em relação a x, 
isso é igual a

00:00:23.430 --> 00:00:29.540
parcial de psi, em relação a x,
mais a parcial

00:00:29.540 --> 00:00:35.400
de psi, em relação a y, vezes dy,dx.

00:00:35.400 --> 00:00:37.630
E no último vídeo eu não
provei isso para você, mas

00:00:37.630 --> 00:00:39.610
espero ter te dado um pouco
de intuição de que

00:00:39.610 --> 00:00:40.740
você pode acreditar em mim.

00:00:40.740 --> 00:00:43.030
Mas talvez um dia eu vá provar
um pouco mais

00:00:43.030 --> 00:00:46.120
rigorosamente, mais você pode encontrar
provas na internet se estiver

00:00:46.120 --> 00:00:49.960
interessado, para a regra da cadeia com
derivadas parciais.

00:00:49.960 --> 00:00:52.760
Então vamos esquecer isso e 
explorar outra propriedade

00:00:52.760 --> 00:00:55.600
de derivadas parciais, e então 
estamos prontos para entender

00:00:55.600 --> 00:00:57.080
a intuição por trás das
equações exatas.

00:00:57.080 --> 00:00:59.070
Porque você vai encontrar,
é bastante simples de


00:00:59.070 --> 00:01:02.210
resolver equações exatas, mas a 
intuição é um pouco

00:01:02.210 --> 00:01:05.140
mais-- bem, eu não quero dizer que 
é difícil, porque se

00:01:05.140 --> 00:01:06.890
você tem a intuição,
você tem.

00:01:06.890 --> 00:01:11.490
Então e se eu tivesse, digamos, essa
função, psi, e eu fosse

00:01:11.490 --> 00:01:16.580
tirar a derivada parcial de psi,
em relação a x, primeiro.

00:01:16.580 --> 00:01:17.510
Vou apenas escrever psi.

00:01:17.510 --> 00:01:19.640
Eu não tenho que escrever x e y 
toda hora.

00:01:19.640 --> 00:01:22.890
E então se eu tomasse a 
derivada parcial

00:01:22.890 --> 00:01:25.485
em relação a y.

00:01:28.920 --> 00:01:32.730
Então apenas como notação, isso você
pode escrever como, você pode

00:01:32.730 --> 00:01:34.620
ver isso como se estivesse 
multiplicando os operadores, então

00:01:34.620 --> 00:01:36.050
isso poderia ser escrito assim.

00:01:36.050 --> 00:01:42.400
A parcial delta ao quadrado vezes
psi, ou delta ao quadrado psi, sobre

00:01:42.400 --> 00:01:47.540
delta y delta, ou d encaracolado x.

00:01:47.540 --> 00:01:50.330
E isso também pode ser escrito
como-- e essa é minha notação

00:01:50.330 --> 00:01:53.040
preferida, porque ela não
tem todo esse lixo extra

00:01:53.040 --> 00:01:53.800
por todo lado.

00:01:53.800 --> 00:01:56.350
Você poderia dizer, bem, a parcial,
nós tiramos a parcial,

00:01:56.350 --> 00:02:00.050
em relação a x primeiro. Então
isso apenas significa a parcial de

00:02:00.050 --> 00:02:01.240
psi em relação a x.

00:02:01.240 --> 00:02:04.060
E então tiramos a parcial em
relação a y.

00:02:04.060 --> 00:02:05.870
Então essa é uma situação
a se considerar.

00:02:05.870 --> 00:02:07.970
O que acontece quando tiramos 
a parcial em relação a x

00:02:07.970 --> 00:02:08.650
e depois a y?

00:02:08.650 --> 00:02:13.100
Então em relação a x, você
mantém o y constante para pegar apenas

00:02:13.100 --> 00:02:14.190
a parcial em relação a x.

00:02:14.190 --> 00:02:15.000
Ignore o y lá.

00:02:15.000 --> 00:02:17.060
E então você mantém o x
constante, e tira a

00:02:17.060 --> 00:02:18.670
parcial em relação a y.

00:02:18.670 --> 00:02:21.480
Então qual é a diferença entre isso
e se eu fosse

00:02:21.480 --> 00:02:22.370
trocar a ordem?

00:02:22.370 --> 00:02:24.970
O que aconteceria se eu fosse--
Vou fazer isso em uma cor

00:02:24.970 --> 00:02:30.400
diferente-- se tivéssemos psi, e
fôssemos tirar a parcial em relação

00:02:30.400 --> 00:02:34.480
a y primeiro, e depois fôssemos
tirar a parcial

00:02:34.480 --> 00:02:36.510
em relação a x.

00:02:36.510 --> 00:02:40.640
Então apenas a notação,
apenas para você ficar confortável com ela

00:02:40.640 --> 00:02:44.660
isso seria-- parcial de x, 
parcial de y.

00:02:44.660 --> 00:02:46.360
E esse é o operador.

00:02:46.360 --> 00:02:48.750
E pode parecer um pouco
confuso aqui, entre

00:02:48.750 --> 00:02:51.060
essas duas notações, mesmo que
elas sejam a mesma coisa,

00:02:51.060 --> 00:02:52.740
a ordem é misturada.

00:02:52.740 --> 00:02:54.250
Isso acontece porque é
apenas um jeito diferente de

00:02:54.250 --> 00:02:54.910
pensar sobre isso.

00:02:54.910 --> 00:02:57.990
Ele diz, OK, parcial primeiro,
em relação a x, depois y.

00:02:57.990 --> 00:03:00.160
Ele vê isso mais como o
operador, então tiramos

00:03:00.160 --> 00:03:03.000
a parcial de x primeiro, depois
tiramos y, como se você estivesse

00:03:03.000 --> 00:03:04.950
multiplicando os operadores.

00:03:04.950 --> 00:03:08.840
Mas de qualquer forma, isso também
pode ser escrito como a parcial de

00:03:08.840 --> 00:03:13.070
y, em relação a x-- desculpa,
a parcial de y, e então

00:03:13.070 --> 00:03:14.910
tiramos a parcial daquilo
em relação a x.

00:03:14.910 --> 00:03:17.980
Agora, eu vou te dizer bem
agora, que cada uma das

00:03:17.980 --> 00:03:20.840
primeiras parciais são contínuas--
e a maioria das

00:03:20.840 --> 00:03:24.510
funções com as quais lidamos
em um domínio normal, desde que

00:03:24.510 --> 00:03:26.780
não exista nenhuma
descontinuidade, ou buracos, ou

00:03:26.780 --> 00:03:29.070
algo estranho na 
definição da função, elas

00:03:29.070 --> 00:03:30.290
são normalmente contínuas.

00:03:30.290 --> 00:03:32.990
E especialmente em um curso de
cálculo ou diferencial do

00:03:32.990 --> 00:03:35.810
primeiro ano, vamos lidar provavelmente
com funções

00:03:35.810 --> 00:03:37.620
contínuas em nosso domínio.

00:03:37.620 --> 00:03:40.480
Se ambas as funções são 
contínuas, se ambas as

00:03:40.480 --> 00:03:45.410
primeiras parciais são contínuas, 
então essas duas serão

00:03:45.410 --> 00:03:47.170
iguais.

00:03:47.170 --> 00:03:54.950
então psi de xy será 
igual a psi de yx.

00:03:54.950 --> 00:04:01.220
Agora, podemos usar esse conhecimento,
que é a regra da

00:04:01.220 --> 00:04:04.870
cadeia usando derivadas parciais,
e esse

00:04:04.870 --> 00:04:09.060
conhecimento para resolver certa 
classe de equações

00:04:09.060 --> 00:04:13.060
diferenciais, equações diferenciais
de primeira ordem, chamadas

00:04:13.060 --> 00:04:14.270
equações exatas.

00:04:14.270 --> 00:04:17.860
E como uma equação exata se parece?

00:04:17.860 --> 00:04:21.990
Uma equação exata se parece com isso.

00:04:21.990 --> 00:04:23.710
Escolher as cores é a parte difícil.

00:04:23.710 --> 00:04:26.290
Então, digamos que essa é
a minha equação diferencial.

00:04:26.290 --> 00:04:29.550
Eu tenho uma função de x e y.

00:04:29.550 --> 00:04:31.830
Então, sei lá, poderia ser
x ao quadrado vezes

00:04:31.830 --> 00:04:32.920
cosseno de y ou alguma coisa.

00:04:32.920 --> 00:04:34.650
Sei lá, poderia ser qualquer
função de x e de y.

00:04:34.650 --> 00:04:40.350
Mais uma função de x e de y, vamos 
chamar isso de n, vezes dy vezes

00:04:40.350 --> 00:04:44.900
dx é igual a zero.

00:04:44.900 --> 00:04:47.520
Isso é-- bom, eu não sei se
é uma equação exata ainda.

00:04:47.520 --> 00:04:50.880
mas se você viu algo com esse
formato, seu primeiro impulso

00:04:50.880 --> 00:04:52.990
deve ser, oh-- bem, na verdade,
seu primeiro

00:04:52.990 --> 00:04:54.500
impulso é: isso é separável?

00:04:54.500 --> 00:04:56.180
E você deveria tentar manipular
a álgebra um

00:04:56.180 --> 00:04:57.620
pouco para ver se é separável,
porque essa é

00:04:57.620 --> 00:04:59.210
sempre o caminho mais rápido.

00:04:59.210 --> 00:05:01.770
Se não for separável, mas você
ainda puder escrever dessa forma,

00:05:01.770 --> 00:05:04.460
você pergunta, ei, isso não é 
uma equação exata?

00:05:04.460 --> 00:05:06.340
E o que é uma equação exata?

00:05:06.340 --> 00:05:07.270
Bom, veja.

00:05:07.270 --> 00:05:11.600
Essa padrão aqui 
parece muito

00:05:11.600 --> 00:05:14.000
com esse padrão.

00:05:14.000 --> 00:05:18.210
E se M for a parcial de psi,
em relação a x?

00:05:18.210 --> 00:05:24.920
E se psi, em relação 
a x, for igual a M?

00:05:24.920 --> 00:05:26.710
E se isso for psi em
relação a x?

00:05:26.710 --> 00:05:29.570
E se isso for psi em 
relação a y?

00:05:29.570 --> 00:05:32.500
Então, psi em relação 
a y é igual a N.

00:05:32.500 --> 00:05:32.950
E se?

00:05:32.950 --> 00:05:34.670
Estou só dizendo, nós não
temos certeza, certo?

00:05:34.670 --> 00:05:37.500
Se você ver isso em algum lugar
aleatório, você não saberá

00:05:37.500 --> 00:05:40.200
com certeza que isso é a parcial
de, em relação a x de alguma

00:05:40.200 --> 00:05:43.060
função, e isso é a parcial em relação
a y de

00:05:43.060 --> 00:05:43.830
outra função.

00:05:43.830 --> 00:05:45.810
Mas estamos apenas dizendo: e se?

00:05:45.810 --> 00:05:49.650
Se isso fosse verdade, então
poderíamos reescrever isso como a

00:05:49.650 --> 00:05:52.870
parcial de psi em relação a x, 
mais a parcial de psi

00:05:52.870 --> 00:05:58.680
em relação a y, vezes dy, dx, 
é igual a zero.

00:05:58.680 --> 00:06:02.050
E isso aqui, o lado esquerdo
aqui, isso é

00:06:02.050 --> 00:06:04.790
a mesma coisa que isso, certo?

00:06:04.790 --> 00:06:09.040
Isso é apenas a derivada de 
psi em relação a x, usando

00:06:09.040 --> 00:06:10.940
a regra da cadeia para
derivadas parciais.

00:06:10.940 --> 00:06:12.710
Então você pode reescrever isso.

00:06:12.710 --> 00:06:17.130
Você pode reescrever, isso é apenas
a derivada de psi

00:06:17.130 --> 00:06:20.480
em relação a x, dentro
da função de x e y

00:06:20.480 --> 00:06:23.410
é igual a zero.

00:06:23.410 --> 00:06:27.730
Então se você ver uma equação
diferencial, e ela tiver esse

00:06:27.730 --> 00:06:31.070
formato, você diz, rapaz, eu não posso
separar isso, mas talvez

00:06:31.070 --> 00:06:32.030
seja uma equação exata.

00:06:32.030 --> 00:06:35.940
E sinceramente, se isso for o que foi
dado antes

00:06:35.940 --> 00:06:38.800
antes do exame atual, isso provavelmente
é uma equação exata.

00:06:38.800 --> 00:06:40.940
Mas se você ver essa forma, 
e disser, rapaz, talvez


00:06:40.940 --> 00:06:42.070
seja uma equação exata.

00:06:42.070 --> 00:06:44.580
Se isso é uma equação exata-- e
eu vou te mostrar como testar

00:06:44.580 --> 00:06:48.350
isso em um segundo usando essa
informação-- então isso pode ser

00:06:48.350 --> 00:06:52.550
escrito como a derivada de
uma função, psi, onde isso

00:06:52.550 --> 00:06:54.840
é a parcial de psi
em relação a x.

00:06:54.840 --> 00:06:57.720
Isso é a parcial de psi
em relação a y.

00:06:57.720 --> 00:06:59.655
E então se você pode escrever isso
assim, e você tira a

00:06:59.655 --> 00:07:01.370
derivada dos dois lados-- 
desculpa, você tira a

00:07:01.370 --> 00:07:06.890
antiderivada dos dois lados--
e você encontrar psi de x e y

00:07:06.890 --> 00:07:10.070
é igual a C como solução.

00:07:10.070 --> 00:07:12.770
Então existem duas coisas com as quais
deveríamos nos importar.

00:07:12.770 --> 00:07:16.470
Você poderia dizer, OK, 
Sal, você já passou por

00:07:16.470 --> 00:07:19.550
psi's, e parciais, 
e tudo isso.

00:07:19.550 --> 00:07:22.020
Primeiro, como eu sei que isso
é uma equação exata?

00:07:22.020 --> 00:07:24.590
E então, se for uma equação
exata, que nos diga que

00:07:24.590 --> 00:07:28.290
exista algum psi, então
como eu resolvo para o psi?

00:07:28.290 --> 00:07:32.380
Então o jeito de descobrir se
isso é uma equação exata, é usar

00:07:32.380 --> 00:07:34.690
essa informação aqui.

00:07:34.690 --> 00:07:38.150
Sabemos que se psi e suas 
derivadas forem contínuos

00:07:38.150 --> 00:07:42.100
sobre um domínio, que quando
você tira a parcial em


00:07:42.100 --> 00:07:45.760
relação a x e depois y, é 
a mesma coisa que fazer

00:07:45.760 --> 00:07:46.980
isso na ordem contrária.

00:07:46.980 --> 00:07:48.930
Então dissemos, isso é
a parcial em

00:07:48.930 --> 00:07:50.180
relação a x, certo?

00:07:52.610 --> 00:07:55.920
E isso é a parcial em 
relação a y.

00:07:55.920 --> 00:07:59.880
Então se isso é uma equação exata,
se isso é a equação

00:07:59.880 --> 00:08:03.250
exata, se formos tirar a
parcial disso, em relação

00:08:03.250 --> 00:08:05.330
a y, certo?

00:08:05.330 --> 00:08:11.600
Se fôssemos tirar a parcial de M,
em relação a y-- então

00:08:11.600 --> 00:08:15.560
a parcial de psi, em relação
a x, é igual a M.

00:08:15.560 --> 00:08:18.490
Se fôssemos tirar a parcial
daqueles, em relação a y--

00:08:18.490 --> 00:08:22.450
Poderíamos apenas reescrever aquilo
como aquilo-- aquilo deveria ser

00:08:22.450 --> 00:08:28.090
igual a parcial de N
em relação a x, certo?

00:08:28.090 --> 00:08:31.976
A parcial de psi em relação a y
é igual a N.

00:08:31.976 --> 00:08:34.760
Então se tirarmos a parcial em
relação a x, dessas 


00:08:34.760 --> 00:08:40.964
duas, saberemos por isso que
elas devem ser iguais, se psi

00:08:40.964 --> 00:08:44.400
e suas parciais forem contínuas
sobre esse domínio.

00:08:44.400 --> 00:08:49.320
Então isso também
vai ser igual.

00:08:49.320 --> 00:08:51.990
Então esse é o teste
para testar se

00:08:51.990 --> 00:08:53.930
isso é uma equação exata.

00:08:53.930 --> 00:08:56.300
Então deixe-me reescrever tudo isso
de novo e resumir isso

00:08:56.300 --> 00:08:56.690
um pouco.

00:08:56.690 --> 00:09:04.870
Então se você ver alguma coisa da
forma, M de x, y mais N de x, y,

00:09:04.870 --> 00:09:09.580
vezes dy, dx é igual a zero.

00:09:09.580 --> 00:09:13.110
E você tirar a derivada
parcial de M em relação

00:09:13.110 --> 00:09:18.280
a y, e você tira a derivada
parcial de N

00:09:18.280 --> 00:09:24.030
em relação a x, e elas forem
iguais, então --

00:09:24.030 --> 00:09:26.410
e é na verdade se e somente
se, então serve para os dois caminhos--

00:09:26.410 --> 00:09:30.930
isso é uma equação exata, uma
equação diferencial exata.

00:09:30.930 --> 00:09:32.410
Isso é uma equação exata.

00:09:32.410 --> 00:09:35.510
E se isso é uma equação exata,
que nos diz que existe

00:09:35.510 --> 00:09:47.140
um psi, tal que a derivada
de psi de x, y é

00:09:47.140 --> 00:09:52.200
igual a zero, ou psi de x, y é 
igual a C, é uma solução

00:09:52.200 --> 00:09:53.050
dessa equação.

00:09:53.050 --> 00:09:58.480
E a derivada parcial de psi,
em relação a x, é

00:09:58.480 --> 00:09:59.740
igual a M

00:09:59.740 --> 00:10:03.760
E a derivada parcial de 
psi em relação a y é

00:10:03.760 --> 00:10:05.340
igual a N.

00:10:05.340 --> 00:10:07.550
E eu vou te mostrar no próximo
vídeo como usar, de fato, essa

00:10:07.550 --> 00:10:09.810
informação para resolver para psi.

00:10:09.810 --> 00:10:11.640
Então aqui estão algumas coisas
que eu quero salientar.

00:10:11.640 --> 00:10:13.720
Isso vai ser a derivada
parcial de psi,

00:10:13.720 --> 00:10:17.620
em relação a x, mas quando 
tomarmos o tipo de teste exato,

00:10:17.620 --> 00:10:19.590
tomamos isso em relação a y,
porque queremos encontrar aquela

00:10:19.590 --> 00:10:21.080
derivada mista.

00:10:21.080 --> 00:10:23.410
Similarmente, isso vai ser a 
derivada parcial de psi,

00:10:23.410 --> 00:10:27.030
em relação a y, mas quando fizermos
o teste, tiramos

00:10:27.030 --> 00:10:29.500
a parcial disso em relação
a x para termos aquela derivada

00:10:29.500 --> 00:10:30.730
mista.

00:10:30.730 --> 00:10:32.570
Isso é em relação a y,
e então em relação a

00:10:32.570 --> 00:10:33.920
x, então você tem isso.

00:10:33.920 --> 00:10:36.300
De qualquer forma, eu sei que pode estar
um pouco envolvido, mas se

00:10:36.300 --> 00:10:38.360
você entendeu tudo que eu fiz,
eu acho que você tenha a

00:10:38.360 --> 00:10:41.390
intuição por trás do 
porquê da metodologia

00:10:41.390 --> 00:10:43.470
de equações exatas funciona.

00:10:43.470 --> 00:10:45.950
Vejo você no próximo vídeo, onde 
iremos, de fato,

00:10:45.950 --> 00:10:49.400
resolver algumas equações exatas.

00:10:49.400 --> 00:10:50.500
Legendado por [Eduardo Rebelo]
Revisado por [Marcia Yu]