0:00:00.710,0:00:04.470
No último vídeo introduzi à ideia[br]

0:00:04.470,0:00:05.520
de regra de cadeias com[br]derivadas parciais.

0:00:05.520,0:00:10.080
E dissemos, bem, se eu tenho uma função,[br]psi, letra Grega,

0:00:10.080,0:00:14.020
psi, é uma função de x e y.

0:00:14.020,0:00:16.770
E se eu quisesse tirar a derivada[br]parcial disso, em relação

0:00:16.770,0:00:19.360
a-- não, eu quero tirar a derivada, não[br]a parcial--

0:00:19.360,0:00:23.430
a derivada disso, em relação a x, [br]isso é igual a

0:00:23.430,0:00:29.540
parcial de psi, em relação a x,[br]mais a parcial

0:00:29.540,0:00:35.400
de psi, em relação a y, vezes dy,dx.

0:00:35.400,0:00:37.630
E no último vídeo eu não[br]provei isso para você, mas

0:00:37.630,0:00:39.610
espero ter te dado um pouco[br]de intuição de que

0:00:39.610,0:00:40.740
você pode acreditar em mim.

0:00:40.740,0:00:43.030
Mas talvez um dia eu vá provar[br]um pouco mais

0:00:43.030,0:00:46.120
rigorosamente, mais você pode encontrar[br]provas na internet se estiver

0:00:46.120,0:00:49.960
interessado, para a regra da cadeia com[br]derivadas parciais.

0:00:49.960,0:00:52.760
Então vamos esquecer isso e [br]explorar outra propriedade

0:00:52.760,0:00:55.600
de derivadas parciais, e então [br]estamos prontos para entender

0:00:55.600,0:00:57.080
a intuição por trás das[br]equações exatas.

0:00:57.080,0:00:59.070
Porque você vai encontrar,[br]é bastante simples de[br]

0:00:59.070,0:01:02.210
resolver equações exatas, mas a [br]intuição é um pouco

0:01:02.210,0:01:05.140
mais-- bem, eu não quero dizer que [br]é difícil, porque se

0:01:05.140,0:01:06.890
você tem a intuição,[br]você tem.

0:01:06.890,0:01:11.490
Então e se eu tivesse, digamos, essa[br]função, psi, e eu fosse

0:01:11.490,0:01:16.580
tirar a derivada parcial de psi,[br]em relação a x, primeiro.

0:01:16.580,0:01:17.510
Vou apenas escrever psi.

0:01:17.510,0:01:19.640
Eu não tenho que escrever x e y [br]toda hora.

0:01:19.640,0:01:22.890
E então se eu tomasse a [br]derivada parcial

0:01:22.890,0:01:25.485
em relação a y.

0:01:28.920,0:01:32.730
Então apenas como notação, isso você[br]pode escrever como, você pode

0:01:32.730,0:01:34.620
ver isso como se estivesse [br]multiplicando os operadores, então

0:01:34.620,0:01:36.050
isso poderia ser escrito assim.

0:01:36.050,0:01:42.400
A parcial delta ao quadrado vezes[br]psi, ou delta ao quadrado psi, sobre

0:01:42.400,0:01:47.540
delta y delta, ou d encaracolado x.

0:01:47.540,0:01:50.330
E isso também pode ser escrito[br]como-- e essa é minha notação

0:01:50.330,0:01:53.040
preferida, porque ela não[br]tem todo esse lixo extra

0:01:53.040,0:01:53.800
por todo lado.

0:01:53.800,0:01:56.350
Você poderia dizer, bem, a parcial,[br]nós tiramos a parcial,

0:01:56.350,0:02:00.050
em relação a x primeiro. Então[br]isso apenas significa a parcial de

0:02:00.050,0:02:01.240
psi em relação a x.

0:02:01.240,0:02:04.060
E então tiramos a parcial em[br]relação a y.

0:02:04.060,0:02:05.870
Então essa é uma situação[br]a se considerar.

0:02:05.870,0:02:07.970
O que acontece quando tiramos [br]a parcial em relação a x

0:02:07.970,0:02:08.650
e depois a y?

0:02:08.650,0:02:13.100
Então em relação a x, você[br]mantém o y constante para pegar apenas

0:02:13.100,0:02:14.190
a parcial em relação a x.

0:02:14.190,0:02:15.000
Ignore o y lá.

0:02:15.000,0:02:17.060
E então você mantém o x[br]constante, e tira a

0:02:17.060,0:02:18.670
parcial em relação a y.

0:02:18.670,0:02:21.480
Então qual é a diferença entre isso[br]e se eu fosse

0:02:21.480,0:02:22.370
trocar a ordem?

0:02:22.370,0:02:24.970
O que aconteceria se eu fosse--[br]Vou fazer isso em uma cor

0:02:24.970,0:02:30.400
diferente-- se tivéssemos psi, e[br]fôssemos tirar a parcial em relação

0:02:30.400,0:02:34.480
a y primeiro, e depois fôssemos[br]tirar a parcial

0:02:34.480,0:02:36.510
em relação a x.

0:02:36.510,0:02:40.640
Então apenas a notação,[br]apenas para você ficar confortável com ela

0:02:40.640,0:02:44.660
isso seria-- parcial de x, [br]parcial de y.

0:02:44.660,0:02:46.360
E esse é o operador.

0:02:46.360,0:02:48.750
E pode parecer um pouco[br]confuso aqui, entre

0:02:48.750,0:02:51.060
essas duas notações, mesmo que[br]elas sejam a mesma coisa,

0:02:51.060,0:02:52.740
a ordem é misturada.

0:02:52.740,0:02:54.250
Isso acontece porque é[br]apenas um jeito diferente de

0:02:54.250,0:02:54.910
pensar sobre isso.

0:02:54.910,0:02:57.990
Ele diz, OK, parcial primeiro,[br]em relação a x, depois y.

0:02:57.990,0:03:00.160
Ele vê isso mais como o[br]operador, então tiramos

0:03:00.160,0:03:03.000
a parcial de x primeiro, depois[br]tiramos y, como se você estivesse

0:03:03.000,0:03:04.950
multiplicando os operadores.

0:03:04.950,0:03:08.840
Mas de qualquer forma, isso também[br]pode ser escrito como a parcial de

0:03:08.840,0:03:13.070
y, em relação a x-- desculpa,[br]a parcial de y, e então

0:03:13.070,0:03:14.910
tiramos a parcial daquilo[br]em relação a x.

0:03:14.910,0:03:17.980
Agora, eu vou te dizer bem[br]agora, que cada uma das

0:03:17.980,0:03:20.840
primeiras parciais são contínuas--[br]e a maioria das

0:03:20.840,0:03:24.510
funções com as quais lidamos[br]em um domínio normal, desde que

0:03:24.510,0:03:26.780
não exista nenhuma[br]descontinuidade, ou buracos, ou

0:03:26.780,0:03:29.070
algo estranho na [br]definição da função, elas

0:03:29.070,0:03:30.290
são normalmente contínuas.

0:03:30.290,0:03:32.990
E especialmente em um curso de[br]cálculo ou diferencial do

0:03:32.990,0:03:35.810
primeiro ano, vamos lidar provavelmente[br]com funções

0:03:35.810,0:03:37.620
contínuas em nosso domínio.

0:03:37.620,0:03:40.480
Se ambas as funções são [br]contínuas, se ambas as

0:03:40.480,0:03:45.410
primeiras parciais são contínuas, [br]então essas duas serão

0:03:45.410,0:03:47.170
iguais.

0:03:47.170,0:03:54.950
então psi de xy será [br]igual a psi de yx.

0:03:54.950,0:04:01.220
Agora, podemos usar esse conhecimento,[br]que é a regra da

0:04:01.220,0:04:04.870
cadeia usando derivadas parciais,[br]e esse

0:04:04.870,0:04:09.060
conhecimento para resolver certa [br]classe de equações

0:04:09.060,0:04:13.060
diferenciais, equações diferenciais[br]de primeira ordem, chamadas

0:04:13.060,0:04:14.270
equações exatas.

0:04:14.270,0:04:17.860
E como uma equação exata se parece?

0:04:17.860,0:04:21.990
Uma equação exata se parece com isso.

0:04:21.990,0:04:23.710
Escolher as cores é a parte difícil.

0:04:23.710,0:04:26.290
Então, digamos que essa é[br]a minha equação diferencial.

0:04:26.290,0:04:29.550
Eu tenho uma função de x e y.

0:04:29.550,0:04:31.830
Então, sei lá, poderia ser[br]x ao quadrado vezes

0:04:31.830,0:04:32.920
cosseno de y ou alguma coisa.

0:04:32.920,0:04:34.650
Sei lá, poderia ser qualquer[br]função de x e de y.

0:04:34.650,0:04:40.350
Mais uma função de x e de y, vamos [br]chamar isso de n, vezes dy vezes

0:04:40.350,0:04:44.900
dx é igual a zero.

0:04:44.900,0:04:47.520
Isso é-- bom, eu não sei se[br]é uma equação exata ainda.

0:04:47.520,0:04:50.880
mas se você viu algo com esse[br]formato, seu primeiro impulso

0:04:50.880,0:04:52.990
deve ser, oh-- bem, na verdade,[br]seu primeiro

0:04:52.990,0:04:54.500
impulso é: isso é separável?

0:04:54.500,0:04:56.180
E você deveria tentar manipular[br]a álgebra um

0:04:56.180,0:04:57.620
pouco para ver se é separável,[br]porque essa é

0:04:57.620,0:04:59.210
sempre o caminho mais rápido.

0:04:59.210,0:05:01.770
Se não for separável, mas você[br]ainda puder escrever dessa forma,

0:05:01.770,0:05:04.460
você pergunta, ei, isso não é [br]uma equação exata?

0:05:04.460,0:05:06.340
E o que é uma equação exata?

0:05:06.340,0:05:07.270
Bom, veja.

0:05:07.270,0:05:11.600
Essa padrão aqui [br]parece muito

0:05:11.600,0:05:14.000
com esse padrão.

0:05:14.000,0:05:18.210
E se M for a parcial de psi,[br]em relação a x?

0:05:18.210,0:05:24.920
E se psi, em relação [br]a x, for igual a M?

0:05:24.920,0:05:26.710
E se isso for psi em[br]relação a x?

0:05:26.710,0:05:29.570
E se isso for psi em [br]relação a y?

0:05:29.570,0:05:32.500
Então, psi em relação [br]a y é igual a N.

0:05:32.500,0:05:32.950
E se?

0:05:32.950,0:05:34.670
Estou só dizendo, nós não[br]temos certeza, certo?

0:05:34.670,0:05:37.500
Se você ver isso em algum lugar[br]aleatório, você não saberá

0:05:37.500,0:05:40.200
com certeza que isso é a parcial[br]de, em relação a x de alguma

0:05:40.200,0:05:43.060
função, e isso é a parcial em relação[br]a y de

0:05:43.060,0:05:43.830
outra função.

0:05:43.830,0:05:45.810
Mas estamos apenas dizendo: e se?

0:05:45.810,0:05:49.650
Se isso fosse verdade, então[br]poderíamos reescrever isso como a

0:05:49.650,0:05:52.870
parcial de psi em relação a x, [br]mais a parcial de psi

0:05:52.870,0:05:58.680
em relação a y, vezes dy, dx, [br]é igual a zero.

0:05:58.680,0:06:02.050
E isso aqui, o lado esquerdo[br]aqui, isso é

0:06:02.050,0:06:04.790
a mesma coisa que isso, certo?

0:06:04.790,0:06:09.040
Isso é apenas a derivada de [br]psi em relação a x, usando

0:06:09.040,0:06:10.940
a regra da cadeia para[br]derivadas parciais.

0:06:10.940,0:06:12.710
Então você pode reescrever isso.

0:06:12.710,0:06:17.130
Você pode reescrever, isso é apenas[br]a derivada de psi

0:06:17.130,0:06:20.480
em relação a x, dentro[br]da função de x e y

0:06:20.480,0:06:23.410
é igual a zero.

0:06:23.410,0:06:27.730
Então se você ver uma equação[br]diferencial, e ela tiver esse

0:06:27.730,0:06:31.070
formato, você diz, rapaz, eu não posso[br]separar isso, mas talvez

0:06:31.070,0:06:32.030
seja uma equação exata.

0:06:32.030,0:06:35.940
E sinceramente, se isso for o que foi[br]dado antes

0:06:35.940,0:06:38.800
antes do exame atual, isso provavelmente[br]é uma equação exata.

0:06:38.800,0:06:40.940
Mas se você ver essa forma, [br]e disser, rapaz, talvez[br]

0:06:40.940,0:06:42.070
seja uma equação exata.

0:06:42.070,0:06:44.580
Se isso é uma equação exata-- e[br]eu vou te mostrar como testar

0:06:44.580,0:06:48.350
isso em um segundo usando essa[br]informação-- então isso pode ser

0:06:48.350,0:06:52.550
escrito como a derivada de[br]uma função, psi, onde isso

0:06:52.550,0:06:54.840
é a parcial de psi[br]em relação a x.

0:06:54.840,0:06:57.720
Isso é a parcial de psi[br]em relação a y.

0:06:57.720,0:06:59.655
E então se você pode escrever isso[br]assim, e você tira a

0:06:59.655,0:07:01.370
derivada dos dois lados-- [br]desculpa, você tira a

0:07:01.370,0:07:06.890
antiderivada dos dois lados--[br]e você encontrar psi de x e y

0:07:06.890,0:07:10.070
é igual a C como solução.

0:07:10.070,0:07:12.770
Então existem duas coisas com as quais[br]deveríamos nos importar.

0:07:12.770,0:07:16.470
Você poderia dizer, OK, [br]Sal, você já passou por

0:07:16.470,0:07:19.550
psi's, e parciais, [br]e tudo isso.

0:07:19.550,0:07:22.020
Primeiro, como eu sei que isso[br]é uma equação exata?

0:07:22.020,0:07:24.590
E então, se for uma equação[br]exata, que nos diga que

0:07:24.590,0:07:28.290
exista algum psi, então[br]como eu resolvo para o psi?

0:07:28.290,0:07:32.380
Então o jeito de descobrir se[br]isso é uma equação exata, é usar

0:07:32.380,0:07:34.690
essa informação aqui.

0:07:34.690,0:07:38.150
Sabemos que se psi e suas [br]derivadas forem contínuos

0:07:38.150,0:07:42.100
sobre um domínio, que quando[br]você tira a parcial em[br]

0:07:42.100,0:07:45.760
relação a x e depois y, é [br]a mesma coisa que fazer

0:07:45.760,0:07:46.980
isso na ordem contrária.

0:07:46.980,0:07:48.930
Então dissemos, isso é[br]a parcial em

0:07:48.930,0:07:50.180
relação a x, certo?

0:07:52.610,0:07:55.920
E isso é a parcial em [br]relação a y.

0:07:55.920,0:07:59.880
Então se isso é uma equação exata,[br]se isso é a equação

0:07:59.880,0:08:03.250
exata, se formos tirar a[br]parcial disso, em relação

0:08:03.250,0:08:05.330
a y, certo?

0:08:05.330,0:08:11.600
Se fôssemos tirar a parcial de M,[br]em relação a y-- então

0:08:11.600,0:08:15.560
a parcial de psi, em relação[br]a x, é igual a M.

0:08:15.560,0:08:18.490
Se fôssemos tirar a parcial[br]daqueles, em relação a y--

0:08:18.490,0:08:22.450
Poderíamos apenas reescrever aquilo[br]como aquilo-- aquilo deveria ser

0:08:22.450,0:08:28.090
igual a parcial de N[br]em relação a x, certo?

0:08:28.090,0:08:31.976
A parcial de psi em relação a y[br]é igual a N.

0:08:31.976,0:08:34.760
Então se tirarmos a parcial em[br]relação a x, dessas [br]

0:08:34.760,0:08:40.964
duas, saberemos por isso que[br]elas devem ser iguais, se psi

0:08:40.964,0:08:44.400
e suas parciais forem contínuas[br]sobre esse domínio.

0:08:44.400,0:08:49.320
Então isso também[br]vai ser igual.

0:08:49.320,0:08:51.990
Então esse é o teste[br]para testar se

0:08:51.990,0:08:53.930
isso é uma equação exata.

0:08:53.930,0:08:56.300
Então deixe-me reescrever tudo isso[br]de novo e resumir isso

0:08:56.300,0:08:56.690
um pouco.

0:08:56.690,0:09:04.870
Então se você ver alguma coisa da[br]forma, M de x, y mais N de x, y,

0:09:04.870,0:09:09.580
vezes dy, dx é igual a zero.

0:09:09.580,0:09:13.110
E você tirar a derivada[br]parcial de M em relação

0:09:13.110,0:09:18.280
a y, e você tira a derivada[br]parcial de N

0:09:18.280,0:09:24.030
em relação a x, e elas forem[br]iguais, então --

0:09:24.030,0:09:26.410
e é na verdade se e somente[br]se, então serve para os dois caminhos--

0:09:26.410,0:09:30.930
isso é uma equação exata, uma[br]equação diferencial exata.

0:09:30.930,0:09:32.410
Isso é uma equação exata.

0:09:32.410,0:09:35.510
E se isso é uma equação exata,[br]que nos diz que existe

0:09:35.510,0:09:47.140
um psi, tal que a derivada[br]de psi de x, y é

0:09:47.140,0:09:52.200
igual a zero, ou psi de x, y é [br]igual a C, é uma solução

0:09:52.200,0:09:53.050
dessa equação.

0:09:53.050,0:09:58.480
E a derivada parcial de psi,[br]em relação a x, é

0:09:58.480,0:09:59.740
igual a M

0:09:59.740,0:10:03.760
E a derivada parcial de [br]psi em relação a y é

0:10:03.760,0:10:05.340
igual a N.

0:10:05.340,0:10:07.550
E eu vou te mostrar no próximo[br]vídeo como usar, de fato, essa

0:10:07.550,0:10:09.810
informação para resolver para psi.

0:10:09.810,0:10:11.640
Então aqui estão algumas coisas[br]que eu quero salientar.

0:10:11.640,0:10:13.720
Isso vai ser a derivada[br]parcial de psi,

0:10:13.720,0:10:17.620
em relação a x, mas quando [br]tomarmos o tipo de teste exato,

0:10:17.620,0:10:19.590
tomamos isso em relação a y,[br]porque queremos encontrar aquela

0:10:19.590,0:10:21.080
derivada mista.

0:10:21.080,0:10:23.410
Similarmente, isso vai ser a [br]derivada parcial de psi,

0:10:23.410,0:10:27.030
em relação a y, mas quando fizermos[br]o teste, tiramos

0:10:27.030,0:10:29.500
a parcial disso em relação[br]a x para termos aquela derivada

0:10:29.500,0:10:30.730
mista.

0:10:30.730,0:10:32.570
Isso é em relação a y,[br]e então em relação a

0:10:32.570,0:10:33.920
x, então você tem isso.

0:10:33.920,0:10:36.300
De qualquer forma, eu sei que pode estar[br]um pouco envolvido, mas se

0:10:36.300,0:10:38.360
você entendeu tudo que eu fiz,[br]eu acho que você tenha a

0:10:38.360,0:10:41.390
intuição por trás do [br]porquê da metodologia

0:10:41.390,0:10:43.470
de equações exatas funciona.

0:10:43.470,0:10:45.950
Vejo você no próximo vídeo, onde [br]iremos, de fato,

0:10:45.950,0:10:49.400
resolver algumas equações exatas.

0:10:49.400,0:10:50.500
Legendado por [Eduardo Rebelo][br]Revisado por [Marcia Yu]