WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.710
유클리드

00:00:00.710 --> 00:00:04.470
지난 비디오에서는 제가 부분미분방정식에 대해 Chain rule

00:00:04.470 --> 00:00:05.520
의 방법을 가르쳐 드렸습니다.

00:00:05.520 --> 00:00:10.080
그리고, 제가 psi, 그리스 숫자,라는 x와 y에 관한

00:00:10.080 --> 00:00:14.020
함수를 가지고 있을 때,

00:00:14.020 --> 00:00:16.770
그리고 만약 제가 이것의 부분미분을 하고 싶을 때,

00:00:16.770 --> 00:00:19.360
아니, 부분미분 말고 전체 미분을 하고 싶을 때

00:00:19.360 --> 00:00:23.430
X에 대한 전체 미분은, x에 대한 psi의 부분 미분 +

00:00:23.430 --> 00:00:29.540
Y에 대한 psi의 부분 미분 * dydx라는

00:00:29.540 --> 00:00:35.400
것입니다.

00:00:35.400 --> 00:00:37.630
그리고 지난 비디오에서 제가 이것을 증명하지는 않았지만,

00:00:37.630 --> 00:00:40.260
저는 약간의 직관력을 드렸고, 여러분들은 이것을

00:00:40.260 --> 00:00:40.740
믿어줬으면 합니다.

00:00:40.740 --> 00:00:43.030
하지만 언젠가는 제가 이것에 대해서 증명을 해줄 수도 있겠지만,

00:00:43.030 --> 00:00:46.120
관심이 있다면 웹상에서 찾아보는 것도 좋을 것 같습니다.

00:00:46.120 --> 00:00:49.960
부분미분과 Chain rule에 대해서 말이죠.

00:00:49.960 --> 00:00:52.760
그러면 이것을 한쪽으로 남겨두고, 다른 부분 미분의 성질에 대해서

00:00:52.760 --> 00:00:55.600
탐구해보고, 완전미분방정식에 있는 직관을 알아보도록

00:00:55.600 --> 00:00:57.080
합시다.

00:00:57.080 --> 00:00:59.070
완전미분방정식을 푸는 것은 꽤 명료하지만

00:00:59.070 --> 00:01:02.210
직관력이 약간 필요하긴 합니다

00:01:02.210 --> 00:01:05.140
사실, 이것을 난이도가 있다고 하는 것이 어려운게,

00:01:05.140 --> 00:01:06.890
약간의 직관을 가지고 있다면, 풀 수 있기 때문입니다.

00:01:06.890 --> 00:01:11.490
제가 이 함수 psi를 가지고 있고, 제가 이것의

00:01:11.490 --> 00:01:16.580
X에 대한 부분 미분을 취해야 한다면,

00:01:16.580 --> 00:01:17.510
먼저 저는 psi를 적도록 하겠습니다.

00:01:17.510 --> 00:01:19.640
저는 x와 y를 일일이 쓸 필요는 없습니다

00:01:19.640 --> 00:01:22.890
그리고 저는 y에 대한

00:01:22.890 --> 00:01:25.485
부분 미분을 취하려고 합니다

00:01:25.485 --> 00:01:28.920
.

00:01:28.920 --> 00:01:32.730
이렇게 쓸 수 있는데,

00:01:32.730 --> 00:01:34.620
당신은 이것을 operator를 곱하는 것으로 간주해도 되기 때문에,

00:01:34.620 --> 00:01:36.050
이것은 이렇게 쓰여도 될 것입니다.

00:01:36.050 --> 00:01:42.400
(칠판의 식을 참조해주세요)

00:01:42.400 --> 00:01:47.540
(칠판의 식을 참조해주세요)

00:01:47.540 --> 00:01:50.330
이렇게 쓸 수도 있는데 이것은 제가 더 선호하는 표현방식입니다.

00:01:50.330 --> 00:01:53.040
왜냐하면 이것은 이 추가로 필요없는 것들을 가지지

00:01:53.040 --> 00:01:53.800
않아도 되기 때문입니다.

00:01:53.800 --> 00:01:56.350
이렇게 말할 수 있겠네요. 우리가 x에 대한

00:01:56.350 --> 00:02:00.050
부분 미분 방정식을 취합니다. 이것은 psi의 x에 대한 부분미분방정식과

00:02:00.050 --> 00:02:01.240
같을 것입니다.

00:02:01.240 --> 00:02:04.060
그리고 나서 우리는 y에 대한 부분미분방정식을 취합니다.

00:02:04.060 --> 00:02:05.870
그것이 우리가 고려해야 하는 하나의 상황입니다.

00:02:05.870 --> 00:02:07.970
그렇다면 우리가 x에 대한 부분미분방정식을 취하고 난뒤

00:02:07.970 --> 00:02:08.650
y에 대한 부분미분방정식을 취하게 되면 어떻게 될까요?

00:02:08.650 --> 00:02:13.100
결국 ,x에 대해서는 y 상수를 두고 x에 대한 부분미분방정식을

00:02:13.100 --> 00:02:14.190
취하면 됩니다.

00:02:14.190 --> 00:02:15.000
그곳의 y을 무시하시면 됩니다.

00:02:15.000 --> 00:02:17.060
그리고 나서 x 상수를 두고 y에 대한 부분미분방정식을

00:02:17.060 --> 00:02:18.670
취하면 됩니다.

00:02:18.670 --> 00:02:21.480
그러면 이것의 순서를

00:02:21.480 --> 00:02:22.370
바꾸면 어떻게 될까요?

00:02:22.370 --> 00:02:24.970
다른 색깔로 쓰겠습니다. 그러면 만약에 우리가

00:02:24.970 --> 00:02:30.400
Y에 대한 부분미분방정식을 먼저 취하고 그다음에

00:02:30.400 --> 00:02:34.480
X에 대한 부분미분방정식을 취한다면

00:02:34.480 --> 00:02:36.510
어떻게 될까요?

00:02:36.510 --> 00:02:40.640
우리가 익숙하게 보았던 표시방법은

00:02:40.640 --> 00:02:44.660
부분미분 x, 부분미분 y일것입니다.

00:02:44.660 --> 00:02:46.360
이것이 바로 작용기입니다.

00:02:46.360 --> 00:02:48.750
여기서 이 두가지 표시 방법에 대해서 똑같은 것이지만, 순서가 다르기

00:02:48.750 --> 00:02:51.060
때문에 약간 헷갈릴 수가 있습니다.

00:02:51.060 --> 00:02:52.740
이것은 바로

00:02:52.740 --> 00:02:54.250
생각하는 방법이 다르기

00:02:54.250 --> 00:02:54.910
때문입니다.

00:02:54.910 --> 00:02:57.990
이것은, x에 대한 부분미분방정식을 먼저 한 후 y를 하자고 보는 것입니다.

00:02:57.990 --> 00:03:00.160
이것은 작용기(operator)로 보는 것인데 그래서,

00:03:00.160 --> 00:03:03.000
X에 대한 부분미분을 먼저하고, y를 하는 것입니다.

00:03:03.000 --> 00:03:04.950
작용기를 곱하는 것 처럼요.

00:03:04.950 --> 00:03:08.840
하지만 어쨌든, 이것은 y의 x에 대한 부분 미분으로 쓸 수 있을 것이고

00:03:08.840 --> 00:03:13.070
이후 y에대한 부분미분을 이후 우리가 x에 대한 부분 미분으로

00:03:13.070 --> 00:03:14.910
취할 수 있을 것입니다

00:03:14.910 --> 00:03:17.980
그래서 제가 지금 말씀드리는 것은

00:03:17.980 --> 00:03:20.840
각각의 첫 부분미분들은 연속적이라는 것이고

00:03:20.840 --> 00:03:24.510
우리가 다루었던 대부분의 함수들은 일반적인 정의역에서 이루어 지며

00:03:24.510 --> 00:03:26.780
그들 중 꺾인 부분, 구멍이 없거나

00:03:26.780 --> 00:03:29.070
또는 함수의 정의에서 이상한 것이 있지 않다면,

00:03:29.070 --> 00:03:30.290
그들은 대부분 연속적입니다.

00:03:30.290 --> 00:03:32.990
그리고 특히 미적분 시작하는 시기에,

00:03:32.990 --> 00:03:35.810
우리는 우리의 연속함수에서의 정의역에 대해서

00:03:35.810 --> 00:03:37.620
다루어 볼 것입니다.

00:03:37.620 --> 00:03:40.480
만약에 이 두 함수가 모두 연속적이고,

00:03:40.480 --> 00:03:45.410
이 첫 부분 미분 두 개가 연속적이라면, 이 두 개는

00:03:45.410 --> 00:03:47.170
서로에 동등할 것입니다.

00:03:47.170 --> 00:03:54.950
그래서 xy의 psi는 yx의 psi와 같을 것입니다.

00:03:54.950 --> 00:04:01.220
그래서 우리는 부분미분에서의

00:04:01.220 --> 00:04:04.870
chain rule을 이용해서

00:04:04.870 --> 00:04:09.060
미분방정식의 특정한 무리를 풀 때

00:04:09.060 --> 00:04:13.060
특히 완전미분방정식이라고 일차 미분방정식에서,

00:04:13.060 --> 00:04:14.270
이 지식을 이용하게 됩니다.

00:04:14.270 --> 00:04:17.860
그러면 완전미분방정식은 어떻게 생겼을까요?

00:04:17.860 --> 00:04:21.990
완전미분방정식은 이렇게 생겼습니다.

00:04:21.990 --> 00:04:23.710
색깔고르는게 힘들었습니다

00:04:23.710 --> 00:04:26.290
그러면 이것이 제 미분방정식이라고 합시다

00:04:26.290 --> 00:04:29.550
저는 x와 y에 대한 어떤 함수를 가지고 있습니다.

00:04:29.550 --> 00:04:31.830
모르지만, 이것은 x제곱*y와 같은 형태가

00:04:31.830 --> 00:04:32.920
될 수 있습니다.

00:04:32.920 --> 00:04:34.650
이것은 x와 y에 관한 어떤 함수 더하기

00:04:34.650 --> 00:04:40.350
X와 y에 관한 어떤 함수가 될 것이고, 이것을 n*dydx=0이라고

00:04:40.350 --> 00:04:44.900
부를 수 있겠네요.

00:04:44.900 --> 00:04:47.520
이것이 완전미분방정식인지 아닌지는 잘 모르지만,

00:04:47.520 --> 00:04:50.880
이러한 형태의 것을 처음 보면

00:04:50.880 --> 00:04:52.990
당신의 첫 생각은, 이 방정식이 과연

00:04:52.990 --> 00:04:54.500
분리가능한지 아닌지 일것입니다.

00:04:54.500 --> 00:04:56.180
그리고 당신은 약간의 대수를 이용해서 ㄴ

00:04:56.180 --> 00:04:57.620
이것이 분리가능한지 확인할 수 있는데,

00:04:57.620 --> 00:04:59.210
왜냐하면 이것이 가장 명료한 방법이기 때문입니다.

00:04:59.210 --> 00:05:01.770
만약 이것이 분리가 불가능하다면 이 형태로 계속 둘 수가 있고,

00:05:01.770 --> 00:05:04.460
이것이 완전미분방정식인지 물어볼 수 있을 것입니다.

00:05:04.460 --> 00:05:06.340
그렇다면 완전미분방정식은 무엇일까요?

00:05:06.340 --> 00:05:07.270
음, 바로 볼 때

00:05:07.270 --> 00:05:11.600
여기 있는 이 형태는 이 패턴 처럼 끔찍하게

00:05:11.600 --> 00:05:14.000
보이는데,

00:05:14.000 --> 00:05:18.210
만약 M이 psi의 x에 대한 부분미분이라면 어떡할까요?

00:05:18.210 --> 00:05:24.920
만약 x에 대한 psi가 M과 같으면 어떡할까요?

00:05:24.920 --> 00:05:26.710
만약 이것이 x에 대한 psi라면?

00:05:26.710 --> 00:05:29.570
그리고 이것이 만약 y에 대한 psi라면?

00:05:29.570 --> 00:05:32.500
그래서 y에 대한 psi는 N과 같은 것입니다.

00:05:32.500 --> 00:05:32.950
만일?

00:05:32.950 --> 00:05:34.670
그냥 말하는 건데, 확실히 모른다면 어떻할까요?

00:05:34.670 --> 00:05:37.500
랜덤하게 이곳어딘가를 보면,

00:05:37.500 --> 00:05:40.200
이것이 x에 대한 부분 미분이라는 것과

00:05:40.200 --> 00:05:43.060
이것이 y에 대한 부분 미분이라는 것을

00:05:43.060 --> 00:05:43.830
확실하게 알 수 없을 것입니다.

00:05:43.830 --> 00:05:45.810
그런데 만일?

00:05:45.810 --> 00:05:49.650
이것이 맞았다면, 이것을 우리는

00:05:49.650 --> 00:05:52.870
x에 대한 psidml 부분미분 더하기

00:05:52.870 --> 00:05:58.680
y에 대한 psi의 부분미분 곱하기 dy/dx 는 0으로 쓸수 있습니다.

00:05:58.680 --> 00:06:02.050
그리고 여기, 좌변은

00:06:02.050 --> 00:06:04.790
이것과 같습니다, 맞죠?

00:06:04.790 --> 00:06:09.040
이것은 단지 x에 대한 psi 의 도함수를

00:06:09.040 --> 00:06:10.940
연쇄법칙에 의해서 나온 것입니다.

00:06:10.940 --> 00:06:12.710
그래서 이것을 다시 쓸 수 있습니다.

00:06:12.710 --> 00:06:17.130
이것이 x와 y의 함수안에 있는

00:06:17.130 --> 00:06:20.480
x에 대한 psi의 도함수

00:06:20.480 --> 00:06:23.410
는 0으로 쓸 수 있습니다.

00:06:23.410 --> 00:06:27.730
그래서 이런 형태를 가진 미분 방정식을 보면

00:06:27.730 --> 00:06:31.070
이것을 나눌 수는 없지만

00:06:31.070 --> 00:06:32.030
완전미분방정식이라는 것을 알 수 있습니다.

00:06:32.030 --> 00:06:35.940
그리고 사실, 만약 이것이 시험전에 나온다면

00:06:35.940 --> 00:06:38.800
완전미분방정식일 것입니다.

00:06:38.800 --> 00:06:40.940
하지만 지금은 이런한 형태는

00:06:40.940 --> 00:06:42.070
완전미분방정식일 것입니다.

00:06:42.070 --> 00:06:44.580
만일 이것이 완전미분방정식이라면 -

00:06:44.580 --> 00:06:48.350
그리고 이것을 판단하는 방법을 이따가 알려줄것인데-

00:06:48.350 --> 00:06:52.550
그러면 어떤 psi에 대한 도함수로 볼수 있고

00:06:52.550 --> 00:06:54.840
그 psi의 x에 대한 부분미분으로 볼 수 있습니다.

00:06:54.840 --> 00:06:57.720
이것이 y에 대한 psi의 부분미분입니다.

00:06:57.720 --> 00:06:59.655
그리고 만일 이것과 같이 다시 쓴다면,

00:06:59.655 --> 00:07:01.370
양쪽의 도함수를 쓴다면 - 죄송합니다,

00:07:01.370 --> 00:07:06.890
양쪽의 역도함수를 쓴다면, psi의 x,y는

00:07:06.890 --> 00:07:10.070
c가 나옵니다.

00:07:10.070 --> 00:07:12.770
그래서 고려할 것이 두개 있습니다.

00:07:12.770 --> 00:07:16.470
그러면 psi들과 부분들 등을

00:07:16.470 --> 00:07:19.550
모두 다 했다고 볼수 있습니다.

00:07:19.550 --> 00:07:22.020
그런데 하나, 완전미분방정식이라는 것을 어떻게 알 수 있을까요?

00:07:22.020 --> 00:07:24.590
그리고, 이것이 psi에 대한 완전미분방정식이라면

00:07:24.590 --> 00:07:28.290
psi에 대해 어떻게 풀까요?

00:07:28.290 --> 00:07:32.380
이것이 완전미분방정식이란 것을 알아내기 위해

00:07:32.380 --> 00:07:34.690
이곳에 있는 정보들을 씁니다.

00:07:34.690 --> 00:07:38.150
우리는 psi와 도함수들이 연속적이라는 것을 알고

00:07:38.150 --> 00:07:42.100
x, 그다음 y에 대한 부분을 보면

00:07:42.100 --> 00:07:45.760
그것이 반대 순서로 해도

00:07:45.760 --> 00:07:46.980
같다는 것을 알 수 있습니다.

00:07:46.980 --> 00:07:48.930
그래서 저는 이것이

00:07:48.930 --> 00:07:50.180
x에 대한 부분미분 이라는 것을 알 수 있습니다.

00:07:50.180 --> 00:07:52.610
.

00:07:52.610 --> 00:07:55.920
그리고 이것은 y에 대한 부분미분입니다.

00:07:55.920 --> 00:07:59.880
그래서 이것은 완전미분방정식이라면

00:07:59.880 --> 00:08:03.250
y에 대한 부분미분

00:08:03.250 --> 00:08:05.330
입니다, 맞죠?

00:08:05.330 --> 00:08:11.600
M의 y에대한 부분미분을 쓴다면

00:08:11.600 --> 00:08:15.560
-그것은 x에 대한 psi의 부분미분이겠죠- 는 M입니다

00:08:15.560 --> 00:08:18.490
y에 대한 부분함수를 쓴다면

00:08:18.490 --> 00:08:22.450
이것을 저것으로 다시 쓸 수 있습니다.

00:08:22.450 --> 00:08:28.090
그러면 x에 대한 N의 부분미분으로 볼 수 있습니다.

00:08:28.090 --> 00:08:31.976
y에 대한 psi의 부분미분은 N입니다.

00:08:31.976 --> 00:08:34.760
그래서 만일 양쪽에 x에 대한 부분함수를 쓴다면

00:08:34.760 --> 00:08:40.964
우리는 여기로부터

00:08:40.964 --> 00:08:44.400
psi와 그 부분미분들은 정의역에 대해 연속적일 때 같다는 것을 알 수 있습니다.

00:08:44.400 --> 00:08:49.320
그래서 이것 또한 같을 것입니다.

00:08:49.320 --> 00:08:51.990
그래서 이것은 와전미분방정식인가를

00:08:51.990 --> 00:08:53.930
확인하는 테스트입니다.

00:08:53.930 --> 00:08:56.300
그래서 제가 이것을 다시 쓰고

00:08:56.300 --> 00:08:56.690
정리해 보겠습니다.

00:08:56.690 --> 00:09:04.870
그래서 이곳을 보면 x,y에 대한 M 더하기 x,y에 대한 N

00:09:04.870 --> 00:09:09.580
곱하기 dy/dx 는 0이 나옵니다.

00:09:09.580 --> 00:09:13.110
그리고 y에 대한 M의 부분도함수를 보면,

00:09:13.110 --> 00:09:18.280
그리고 x에 대한 N에 대한 부분도함수를 보면

00:09:18.280 --> 00:09:24.030
그리고 그 둘은 같습니다.

00:09:24.030 --> 00:09:26.410
그리고 그것은 오직 만약입니다.

00:09:26.410 --> 00:09:30.930
둘다 완전미분방정식입니다.

00:09:30.930 --> 00:09:32.410
이것은 완전미분방정식입니다.

00:09:32.410 --> 00:09:35.510
그리고 만약 이것이 완전미분방정식이라면

00:09:35.510 --> 00:09:47.140
x,y 에 대한 psi의 도함수가 0인

00:09:47.140 --> 00:09:52.200
psi가 존재하거나 그 함수가

00:09:52.200 --> 00:09:53.050
c라는 것이 존재한다는 것입니다.

00:09:53.050 --> 00:09:58.480
그리고 x에 대한 psi의 부분미분은

00:09:58.480 --> 00:09:59.740
M입니다.

00:09:59.740 --> 00:10:03.760
그리고 y에 대한 psi의 부분미분도함수는

00:10:03.760 --> 00:10:05.340
N입니다.

00:10:05.340 --> 00:10:07.550
그리고 제가 다음 영상에서

00:10:07.550 --> 00:10:09.810
이것이 psi를 구할 때 다시 이용된다는 것을 보여드릴 것입니다.

00:10:09.810 --> 00:10:11.640
그래서 여기 제가 기억하길 바라는 것이 몇가지 있습니다.

00:10:11.640 --> 00:10:13.720
이것은 x에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

00:10:13.720 --> 00:10:17.620
하지만 진짜 시험에서는

00:10:17.620 --> 00:10:19.590
y에 대해 구합니다.

00:10:19.590 --> 00:10:21.080
왜냐하면 우리는 섞인 도함수를 구하고 싶기 때문입니다.

00:10:21.080 --> 00:10:23.410
비슷하게 이것은 y에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

00:10:23.410 --> 00:10:27.030
하지만 시험에서는 x에 대해서 구하여

00:10:27.030 --> 00:10:29.500
섞이 도함수를

00:10:29.500 --> 00:10:30.730
구합니다.

00:10:30.730 --> 00:10:32.570
이것은 y에 대해, 그 다음

00:10:32.570 --> 00:10:33.920
x에 대해 구합니다.

00:10:33.920 --> 00:10:36.300
그나저나, 이것이 약간 포함될 수도 있지만

00:10:36.300 --> 00:10:38.360
제가 말한 것을 다 이해했다면,

00:10:38.360 --> 00:10:41.390
완전미분방정식의 방법론에 대한

00:10:41.390 --> 00:10:43.470
직관을 가질것이라고 생각합니다.

00:10:43.470 --> 00:10:45.950
다음 영상에서는

00:10:45.950 --> 00:10:49.400
완전미분방정식을 실제로 풀어볼 것입니다.

00:10:49.400 --> 00:10:50.500
다음 영상에서 봅시다!