1
00:00:00,000 --> 00:00:00,710
유클리드

2
00:00:00,710 --> 00:00:04,470
지난 비디오에서는 제가 부분미분방정식에 대해 Chain rule

3
00:00:04,470 --> 00:00:05,520
의 방법을 가르쳐 드렸습니다.

4
00:00:05,520 --> 00:00:10,080
그리고, 제가 psi, 그리스 숫자,라는 x와 y에 관한

5
00:00:10,080 --> 00:00:14,020
함수를 가지고 있을 때,

6
00:00:14,020 --> 00:00:16,770
그리고 만약 제가 이것의 부분미분을 하고 싶을 때,

7
00:00:16,770 --> 00:00:19,360
아니, 부분미분 말고 전체 미분을 하고 싶을 때

8
00:00:19,360 --> 00:00:23,430
X에 대한 전체 미분은, x에 대한 psi의 부분 미분 +

9
00:00:23,430 --> 00:00:29,540
Y에 대한 psi의 부분 미분 * dydx라는

10
00:00:29,540 --> 00:00:35,400
것입니다.

11
00:00:35,400 --> 00:00:37,630
그리고 지난 비디오에서 제가 이것을 증명하지는 않았지만,

12
00:00:37,630 --> 00:00:40,260
저는 약간의 직관력을 드렸고, 여러분들은 이것을

13
00:00:40,260 --> 00:00:40,740
믿어줬으면 합니다.

14
00:00:40,740 --> 00:00:43,030
하지만 언젠가는 제가 이것에 대해서 증명을 해줄 수도 있겠지만,

15
00:00:43,030 --> 00:00:46,120
관심이 있다면 웹상에서 찾아보는 것도 좋을 것 같습니다.

16
00:00:46,120 --> 00:00:49,960
부분미분과 Chain rule에 대해서 말이죠.

17
00:00:49,960 --> 00:00:52,760
그러면 이것을 한쪽으로 남겨두고, 다른 부분 미분의 성질에 대해서

18
00:00:52,760 --> 00:00:55,600
탐구해보고, 완전미분방정식에 있는 직관을 알아보도록

19
00:00:55,600 --> 00:00:57,080
합시다.

20
00:00:57,080 --> 00:00:59,070
완전미분방정식을 푸는 것은 꽤 명료하지만

21
00:00:59,070 --> 00:01:02,210
직관력이 약간 필요하긴 합니다

22
00:01:02,210 --> 00:01:05,140
사실, 이것을 난이도가 있다고 하는 것이 어려운게,

23
00:01:05,140 --> 00:01:06,890
약간의 직관을 가지고 있다면, 풀 수 있기 때문입니다.

24
00:01:06,890 --> 00:01:11,490
제가 이 함수 psi를 가지고 있고, 제가 이것의

25
00:01:11,490 --> 00:01:16,580
X에 대한 부분 미분을 취해야 한다면,

26
00:01:16,580 --> 00:01:17,510
먼저 저는 psi를 적도록 하겠습니다.

27
00:01:17,510 --> 00:01:19,640
저는 x와 y를 일일이 쓸 필요는 없습니다

28
00:01:19,640 --> 00:01:22,890
그리고 저는 y에 대한

29
00:01:22,890 --> 00:01:25,485
부분 미분을 취하려고 합니다

30
00:01:25,485 --> 00:01:28,920
.

31
00:01:28,920 --> 00:01:32,730
이렇게 쓸 수 있는데,

32
00:01:32,730 --> 00:01:34,620
당신은 이것을 operator를 곱하는 것으로 간주해도 되기 때문에,

33
00:01:34,620 --> 00:01:36,050
이것은 이렇게 쓰여도 될 것입니다.

34
00:01:36,050 --> 00:01:42,400
(칠판의 식을 참조해주세요)

35
00:01:42,400 --> 00:01:47,540
(칠판의 식을 참조해주세요)

36
00:01:47,540 --> 00:01:50,330
이렇게 쓸 수도 있는데 이것은 제가 더 선호하는 표현방식입니다.

37
00:01:50,330 --> 00:01:53,040
왜냐하면 이것은 이 추가로 필요없는 것들을 가지지

38
00:01:53,040 --> 00:01:53,800
않아도 되기 때문입니다.

39
00:01:53,800 --> 00:01:56,350
이렇게 말할 수 있겠네요. 우리가 x에 대한

40
00:01:56,350 --> 00:02:00,050
부분 미분 방정식을 취합니다. 이것은 psi의 x에 대한 부분미분방정식과

41
00:02:00,050 --> 00:02:01,240
같을 것입니다.

42
00:02:01,240 --> 00:02:04,060
그리고 나서 우리는 y에 대한 부분미분방정식을 취합니다.

43
00:02:04,060 --> 00:02:05,870
그것이 우리가 고려해야 하는 하나의 상황입니다.

44
00:02:05,870 --> 00:02:07,970
그렇다면 우리가 x에 대한 부분미분방정식을 취하고 난뒤

45
00:02:07,970 --> 00:02:08,650
y에 대한 부분미분방정식을 취하게 되면 어떻게 될까요?

46
00:02:08,650 --> 00:02:13,100
결국 ,x에 대해서는 y 상수를 두고 x에 대한 부분미분방정식을

47
00:02:13,100 --> 00:02:14,190
취하면 됩니다.

48
00:02:14,190 --> 00:02:15,000
그곳의 y을 무시하시면 됩니다.

49
00:02:15,000 --> 00:02:17,060
그리고 나서 x 상수를 두고 y에 대한 부분미분방정식을

50
00:02:17,060 --> 00:02:18,670
취하면 됩니다.

51
00:02:18,670 --> 00:02:21,480
그러면 이것의 순서를

52
00:02:21,480 --> 00:02:22,370
바꾸면 어떻게 될까요?

53
00:02:22,370 --> 00:02:24,970
다른 색깔로 쓰겠습니다. 그러면 만약에 우리가

54
00:02:24,970 --> 00:02:30,400
Y에 대한 부분미분방정식을 먼저 취하고 그다음에

55
00:02:30,400 --> 00:02:34,480
X에 대한 부분미분방정식을 취한다면

56
00:02:34,480 --> 00:02:36,510
어떻게 될까요?

57
00:02:36,510 --> 00:02:40,640
우리가 익숙하게 보았던 표시방법은

58
00:02:40,640 --> 00:02:44,660
부분미분 x, 부분미분 y일것입니다.

59
00:02:44,660 --> 00:02:46,360
이것이 바로 작용기입니다.

60
00:02:46,360 --> 00:02:48,750
여기서 이 두가지 표시 방법에 대해서 똑같은 것이지만, 순서가 다르기

61
00:02:48,750 --> 00:02:51,060
때문에 약간 헷갈릴 수가 있습니다.

62
00:02:51,060 --> 00:02:52,740
이것은 바로

63
00:02:52,740 --> 00:02:54,250
생각하는 방법이 다르기

64
00:02:54,250 --> 00:02:54,910
때문입니다.

65
00:02:54,910 --> 00:02:57,990
이것은, x에 대한 부분미분방정식을 먼저 한 후 y를 하자고 보는 것입니다.

66
00:02:57,990 --> 00:03:00,160
이것은 작용기(operator)로 보는 것인데 그래서,

67
00:03:00,160 --> 00:03:03,000
X에 대한 부분미분을 먼저하고, y를 하는 것입니다.

68
00:03:03,000 --> 00:03:04,950
작용기를 곱하는 것 처럼요.

69
00:03:04,950 --> 00:03:08,840
하지만 어쨌든, 이것은 y의 x에 대한 부분 미분으로 쓸 수 있을 것이고

70
00:03:08,840 --> 00:03:13,070
이후 y에대한 부분미분을 이후 우리가 x에 대한 부분 미분으로

71
00:03:13,070 --> 00:03:14,910
취할 수 있을 것입니다

72
00:03:14,910 --> 00:03:17,980
그래서 제가 지금 말씀드리는 것은

73
00:03:17,980 --> 00:03:20,840
각각의 첫 부분미분들은 연속적이라는 것이고

74
00:03:20,840 --> 00:03:24,510
우리가 다루었던 대부분의 함수들은 일반적인 정의역에서 이루어 지며

75
00:03:24,510 --> 00:03:26,780
그들 중 꺾인 부분, 구멍이 없거나

76
00:03:26,780 --> 00:03:29,070
또는 함수의 정의에서 이상한 것이 있지 않다면,

77
00:03:29,070 --> 00:03:30,290
그들은 대부분 연속적입니다.

78
00:03:30,290 --> 00:03:32,990
그리고 특히 미적분 시작하는 시기에,

79
00:03:32,990 --> 00:03:35,810
우리는 우리의 연속함수에서의 정의역에 대해서

80
00:03:35,810 --> 00:03:37,620
다루어 볼 것입니다.

81
00:03:37,620 --> 00:03:40,480
만약에 이 두 함수가 모두 연속적이고,

82
00:03:40,480 --> 00:03:45,410
이 첫 부분 미분 두 개가 연속적이라면, 이 두 개는

83
00:03:45,410 --> 00:03:47,170
서로에 동등할 것입니다.

84
00:03:47,170 --> 00:03:54,950
그래서 xy의 psi는 yx의 psi와 같을 것입니다.

85
00:03:54,950 --> 00:04:01,220
그래서 우리는 부분미분에서의

86
00:04:01,220 --> 00:04:04,870
chain rule을 이용해서

87
00:04:04,870 --> 00:04:09,060
미분방정식의 특정한 무리를 풀 때

88
00:04:09,060 --> 00:04:13,060
특히 완전미분방정식이라고 일차 미분방정식에서,

89
00:04:13,060 --> 00:04:14,270
이 지식을 이용하게 됩니다.

90
00:04:14,270 --> 00:04:17,860
그러면 완전미분방정식은 어떻게 생겼을까요?

91
00:04:17,860 --> 00:04:21,990
완전미분방정식은 이렇게 생겼습니다.

92
00:04:21,990 --> 00:04:23,710
색깔고르는게 힘들었습니다

93
00:04:23,710 --> 00:04:26,290
그러면 이것이 제 미분방정식이라고 합시다

94
00:04:26,290 --> 00:04:29,550
저는 x와 y에 대한 어떤 함수를 가지고 있습니다.

95
00:04:29,550 --> 00:04:31,830
모르지만, 이것은 x제곱*y와 같은 형태가

96
00:04:31,830 --> 00:04:32,920
될 수 있습니다.

97
00:04:32,920 --> 00:04:34,650
이것은 x와 y에 관한 어떤 함수 더하기

98
00:04:34,650 --> 00:04:40,350
X와 y에 관한 어떤 함수가 될 것이고, 이것을 n*dydx=0이라고

99
00:04:40,350 --> 00:04:44,900
부를 수 있겠네요.

100
00:04:44,900 --> 00:04:47,520
이것이 완전미분방정식인지 아닌지는 잘 모르지만,

101
00:04:47,520 --> 00:04:50,880
이러한 형태의 것을 처음 보면

102
00:04:50,880 --> 00:04:52,990
당신의 첫 생각은, 이 방정식이 과연

103
00:04:52,990 --> 00:04:54,500
분리가능한지 아닌지 일것입니다.

104
00:04:54,500 --> 00:04:56,180
그리고 당신은 약간의 대수를 이용해서 ㄴ

105
00:04:56,180 --> 00:04:57,620
이것이 분리가능한지 확인할 수 있는데,

106
00:04:57,620 --> 00:04:59,210
왜냐하면 이것이 가장 명료한 방법이기 때문입니다.

107
00:04:59,210 --> 00:05:01,770
만약 이것이 분리가 불가능하다면 이 형태로 계속 둘 수가 있고,

108
00:05:01,770 --> 00:05:04,460
이것이 완전미분방정식인지 물어볼 수 있을 것입니다.

109
00:05:04,460 --> 00:05:06,340
그렇다면 완전미분방정식은 무엇일까요?

110
00:05:06,340 --> 00:05:07,270
음, 바로 볼 때

111
00:05:07,270 --> 00:05:11,600
여기 있는 이 형태는 이 패턴 처럼 끔찍하게

112
00:05:11,600 --> 00:05:14,000
보이는데,

113
00:05:14,000 --> 00:05:18,210
만약 M이 psi의 x에 대한 부분미분이라면 어떡할까요?

114
00:05:18,210 --> 00:05:24,920
만약 x에 대한 psi가 M과 같으면 어떡할까요?

115
00:05:24,920 --> 00:05:26,710
만약 이것이 x에 대한 psi라면?

116
00:05:26,710 --> 00:05:29,570
그리고 이것이 만약 y에 대한 psi라면?

117
00:05:29,570 --> 00:05:32,500
그래서 y에 대한 psi는 N과 같은 것입니다.

118
00:05:32,500 --> 00:05:32,950
만일?

119
00:05:32,950 --> 00:05:34,670
그냥 말하는 건데, 확실히 모른다면 어떻할까요?

120
00:05:34,670 --> 00:05:37,500
랜덤하게 이곳어딘가를 보면,

121
00:05:37,500 --> 00:05:40,200
이것이 x에 대한 부분 미분이라는 것과

122
00:05:40,200 --> 00:05:43,060
이것이 y에 대한 부분 미분이라는 것을

123
00:05:43,060 --> 00:05:43,830
확실하게 알 수 없을 것입니다.

124
00:05:43,830 --> 00:05:45,810
그런데 만일?

125
00:05:45,810 --> 00:05:49,650
이것이 맞았다면, 이것을 우리는

126
00:05:49,650 --> 00:05:52,870
x에 대한 psidml 부분미분 더하기

127
00:05:52,870 --> 00:05:58,680
y에 대한 psi의 부분미분 곱하기 dy/dx 는 0으로 쓸수 있습니다.

128
00:05:58,680 --> 00:06:02,050
그리고 여기, 좌변은

129
00:06:02,050 --> 00:06:04,790
이것과 같습니다, 맞죠?

130
00:06:04,790 --> 00:06:09,040
이것은 단지 x에 대한 psi 의 도함수를

131
00:06:09,040 --> 00:06:10,940
연쇄법칙에 의해서 나온 것입니다.

132
00:06:10,940 --> 00:06:12,710
그래서 이것을 다시 쓸 수 있습니다.

133
00:06:12,710 --> 00:06:17,130
이것이 x와 y의 함수안에 있는

134
00:06:17,130 --> 00:06:20,480
x에 대한 psi의 도함수

135
00:06:20,480 --> 00:06:23,410
는 0으로 쓸 수 있습니다.

136
00:06:23,410 --> 00:06:27,730
그래서 이런 형태를 가진 미분 방정식을 보면

137
00:06:27,730 --> 00:06:31,070
이것을 나눌 수는 없지만

138
00:06:31,070 --> 00:06:32,030
완전미분방정식이라는 것을 알 수 있습니다.

139
00:06:32,030 --> 00:06:35,940
그리고 사실, 만약 이것이 시험전에 나온다면

140
00:06:35,940 --> 00:06:38,800
완전미분방정식일 것입니다.

141
00:06:38,800 --> 00:06:40,940
하지만 지금은 이런한 형태는

142
00:06:40,940 --> 00:06:42,070
완전미분방정식일 것입니다.

143
00:06:42,070 --> 00:06:44,580
만일 이것이 완전미분방정식이라면 -

144
00:06:44,580 --> 00:06:48,350
그리고 이것을 판단하는 방법을 이따가 알려줄것인데-

145
00:06:48,350 --> 00:06:52,550
그러면 어떤 psi에 대한 도함수로 볼수 있고

146
00:06:52,550 --> 00:06:54,840
그 psi의 x에 대한 부분미분으로 볼 수 있습니다.

147
00:06:54,840 --> 00:06:57,720
이것이 y에 대한 psi의 부분미분입니다.

148
00:06:57,720 --> 00:06:59,655
그리고 만일 이것과 같이 다시 쓴다면,

149
00:06:59,655 --> 00:07:01,370
양쪽의 도함수를 쓴다면 - 죄송합니다,

150
00:07:01,370 --> 00:07:06,890
양쪽의 역도함수를 쓴다면, psi의 x,y는

151
00:07:06,890 --> 00:07:10,070
c가 나옵니다.

152
00:07:10,070 --> 00:07:12,770
그래서 고려할 것이 두개 있습니다.

153
00:07:12,770 --> 00:07:16,470
그러면 psi들과 부분들 등을

154
00:07:16,470 --> 00:07:19,550
모두 다 했다고 볼수 있습니다.

155
00:07:19,550 --> 00:07:22,020
그런데 하나, 완전미분방정식이라는 것을 어떻게 알 수 있을까요?

156
00:07:22,020 --> 00:07:24,590
그리고, 이것이 psi에 대한 완전미분방정식이라면

157
00:07:24,590 --> 00:07:28,290
psi에 대해 어떻게 풀까요?

158
00:07:28,290 --> 00:07:32,380
이것이 완전미분방정식이란 것을 알아내기 위해

159
00:07:32,380 --> 00:07:34,690
이곳에 있는 정보들을 씁니다.

160
00:07:34,690 --> 00:07:38,150
우리는 psi와 도함수들이 연속적이라는 것을 알고

161
00:07:38,150 --> 00:07:42,100
x, 그다음 y에 대한 부분을 보면

162
00:07:42,100 --> 00:07:45,760
그것이 반대 순서로 해도

163
00:07:45,760 --> 00:07:46,980
같다는 것을 알 수 있습니다.

164
00:07:46,980 --> 00:07:48,930
그래서 저는 이것이

165
00:07:48,930 --> 00:07:50,180
x에 대한 부분미분 이라는 것을 알 수 있습니다.

166
00:07:50,180 --> 00:07:52,610
.

167
00:07:52,610 --> 00:07:55,920
그리고 이것은 y에 대한 부분미분입니다.

168
00:07:55,920 --> 00:07:59,880
그래서 이것은 완전미분방정식이라면

169
00:07:59,880 --> 00:08:03,250
y에 대한 부분미분

170
00:08:03,250 --> 00:08:05,330
입니다, 맞죠?

171
00:08:05,330 --> 00:08:11,600
M의 y에대한 부분미분을 쓴다면

172
00:08:11,600 --> 00:08:15,560
-그것은 x에 대한 psi의 부분미분이겠죠- 는 M입니다

173
00:08:15,560 --> 00:08:18,490
y에 대한 부분함수를 쓴다면

174
00:08:18,490 --> 00:08:22,450
이것을 저것으로 다시 쓸 수 있습니다.

175
00:08:22,450 --> 00:08:28,090
그러면 x에 대한 N의 부분미분으로 볼 수 있습니다.

176
00:08:28,090 --> 00:08:31,976
y에 대한 psi의 부분미분은 N입니다.

177
00:08:31,976 --> 00:08:34,760
그래서 만일 양쪽에 x에 대한 부분함수를 쓴다면

178
00:08:34,760 --> 00:08:40,964
우리는 여기로부터

179
00:08:40,964 --> 00:08:44,400
psi와 그 부분미분들은 정의역에 대해 연속적일 때 같다는 것을 알 수 있습니다.

180
00:08:44,400 --> 00:08:49,320
그래서 이것 또한 같을 것입니다.

181
00:08:49,320 --> 00:08:51,990
그래서 이것은 와전미분방정식인가를

182
00:08:51,990 --> 00:08:53,930
확인하는 테스트입니다.

183
00:08:53,930 --> 00:08:56,300
그래서 제가 이것을 다시 쓰고

184
00:08:56,300 --> 00:08:56,690
정리해 보겠습니다.

185
00:08:56,690 --> 00:09:04,870
그래서 이곳을 보면 x,y에 대한 M 더하기 x,y에 대한 N

186
00:09:04,870 --> 00:09:09,580
곱하기 dy/dx 는 0이 나옵니다.

187
00:09:09,580 --> 00:09:13,110
그리고 y에 대한 M의 부분도함수를 보면,

188
00:09:13,110 --> 00:09:18,280
그리고 x에 대한 N에 대한 부분도함수를 보면

189
00:09:18,280 --> 00:09:24,030
그리고 그 둘은 같습니다.

190
00:09:24,030 --> 00:09:26,410
그리고 그것은 오직 만약입니다.

191
00:09:26,410 --> 00:09:30,930
둘다 완전미분방정식입니다.

192
00:09:30,930 --> 00:09:32,410
이것은 완전미분방정식입니다.

193
00:09:32,410 --> 00:09:35,510
그리고 만약 이것이 완전미분방정식이라면

194
00:09:35,510 --> 00:09:47,140
x,y 에 대한 psi의 도함수가 0인

195
00:09:47,140 --> 00:09:52,200
psi가 존재하거나 그 함수가

196
00:09:52,200 --> 00:09:53,050
c라는 것이 존재한다는 것입니다.

197
00:09:53,050 --> 00:09:58,480
그리고 x에 대한 psi의 부분미분은

198
00:09:58,480 --> 00:09:59,740
M입니다.

199
00:09:59,740 --> 00:10:03,760
그리고 y에 대한 psi의 부분미분도함수는

200
00:10:03,760 --> 00:10:05,340
N입니다.

201
00:10:05,340 --> 00:10:07,550
그리고 제가 다음 영상에서

202
00:10:07,550 --> 00:10:09,810
이것이 psi를 구할 때 다시 이용된다는 것을 보여드릴 것입니다.

203
00:10:09,810 --> 00:10:11,640
그래서 여기 제가 기억하길 바라는 것이 몇가지 있습니다.

204
00:10:11,640 --> 00:10:13,720
이것은 x에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

205
00:10:13,720 --> 00:10:17,620
하지만 진짜 시험에서는

206
00:10:17,620 --> 00:10:19,590
y에 대해 구합니다.

207
00:10:19,590 --> 00:10:21,080
왜냐하면 우리는 섞인 도함수를 구하고 싶기 때문입니다.

208
00:10:21,080 --> 00:10:23,410
비슷하게 이것은 y에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

209
00:10:23,410 --> 00:10:27,030
하지만 시험에서는 x에 대해서 구하여

210
00:10:27,030 --> 00:10:29,500
섞이 도함수를

211
00:10:29,500 --> 00:10:30,730
구합니다.

212
00:10:30,730 --> 00:10:32,570
이것은 y에 대해, 그 다음

213
00:10:32,570 --> 00:10:33,920
x에 대해 구합니다.

214
00:10:33,920 --> 00:10:36,300
그나저나, 이것이 약간 포함될 수도 있지만

215
00:10:36,300 --> 00:10:38,360
제가 말한 것을 다 이해했다면,

216
00:10:38,360 --> 00:10:41,390
완전미분방정식의 방법론에 대한

217
00:10:41,390 --> 00:10:43,470
직관을 가질것이라고 생각합니다.

218
00:10:43,470 --> 00:10:45,950
다음 영상에서는

219
00:10:45,950 --> 00:10:49,400
완전미분방정식을 실제로 풀어볼 것입니다.

220
00:10:49,400 --> 00:10:50,500
다음 영상에서 봅시다!