0:00:00.000,0:00:00.710
유클리드

0:00:00.710,0:00:04.470
지난 비디오에서는 제가 부분미분방정식에 대해 Chain rule

0:00:04.470,0:00:05.520
의 방법을 가르쳐 드렸습니다.

0:00:05.520,0:00:10.080
그리고, 제가 psi, 그리스 숫자,라는 x와 y에 관한

0:00:10.080,0:00:14.020
함수를 가지고 있을 때,

0:00:14.020,0:00:16.770
그리고 만약 제가 이것의 부분미분을 하고 싶을 때,

0:00:16.770,0:00:19.360
아니, 부분미분 말고 전체 미분을 하고 싶을 때

0:00:19.360,0:00:23.430
X에 대한 전체 미분은, x에 대한 psi의 부분 미분 +

0:00:23.430,0:00:29.540
Y에 대한 psi의 부분 미분 * dydx라는

0:00:29.540,0:00:35.400
것입니다.

0:00:35.400,0:00:37.630
그리고 지난 비디오에서 제가 이것을 증명하지는 않았지만,

0:00:37.630,0:00:40.260
저는 약간의 직관력을 드렸고, 여러분들은 이것을

0:00:40.260,0:00:40.740
믿어줬으면 합니다.

0:00:40.740,0:00:43.030
하지만 언젠가는 제가 이것에 대해서 증명을 해줄 수도 있겠지만,

0:00:43.030,0:00:46.120
관심이 있다면 웹상에서 찾아보는 것도 좋을 것 같습니다.

0:00:46.120,0:00:49.960
부분미분과 Chain rule에 대해서 말이죠.

0:00:49.960,0:00:52.760
그러면 이것을 한쪽으로 남겨두고, 다른 부분 미분의 성질에 대해서

0:00:52.760,0:00:55.600
탐구해보고, 완전미분방정식에 있는 직관을 알아보도록

0:00:55.600,0:00:57.080
합시다.

0:00:57.080,0:00:59.070
완전미분방정식을 푸는 것은 꽤 명료하지만

0:00:59.070,0:01:02.210
직관력이 약간 필요하긴 합니다

0:01:02.210,0:01:05.140
사실, 이것을 난이도가 있다고 하는 것이 어려운게,

0:01:05.140,0:01:06.890
약간의 직관을 가지고 있다면, 풀 수 있기 때문입니다.

0:01:06.890,0:01:11.490
제가 이 함수 psi를 가지고 있고, 제가 이것의

0:01:11.490,0:01:16.580
X에 대한 부분 미분을 취해야 한다면,

0:01:16.580,0:01:17.510
먼저 저는 psi를 적도록 하겠습니다.

0:01:17.510,0:01:19.640
저는 x와 y를 일일이 쓸 필요는 없습니다

0:01:19.640,0:01:22.890
그리고 저는 y에 대한

0:01:22.890,0:01:25.485
부분 미분을 취하려고 합니다

0:01:25.485,0:01:28.920
.

0:01:28.920,0:01:32.730
이렇게 쓸 수 있는데,

0:01:32.730,0:01:34.620
당신은 이것을 operator를 곱하는 것으로 간주해도 되기 때문에,

0:01:34.620,0:01:36.050
이것은 이렇게 쓰여도 될 것입니다.

0:01:36.050,0:01:42.400
(칠판의 식을 참조해주세요)

0:01:42.400,0:01:47.540
(칠판의 식을 참조해주세요)

0:01:47.540,0:01:50.330
이렇게 쓸 수도 있는데 이것은 제가 더 선호하는 표현방식입니다.

0:01:50.330,0:01:53.040
왜냐하면 이것은 이 추가로 필요없는 것들을 가지지

0:01:53.040,0:01:53.800
않아도 되기 때문입니다.

0:01:53.800,0:01:56.350
이렇게 말할 수 있겠네요. 우리가 x에 대한

0:01:56.350,0:02:00.050
부분 미분 방정식을 취합니다. 이것은 psi의 x에 대한 부분미분방정식과

0:02:00.050,0:02:01.240
같을 것입니다.

0:02:01.240,0:02:04.060
그리고 나서 우리는 y에 대한 부분미분방정식을 취합니다.

0:02:04.060,0:02:05.870
그것이 우리가 고려해야 하는 하나의 상황입니다.

0:02:05.870,0:02:07.970
그렇다면 우리가 x에 대한 부분미분방정식을 취하고 난뒤

0:02:07.970,0:02:08.650
y에 대한 부분미분방정식을 취하게 되면 어떻게 될까요?

0:02:08.650,0:02:13.100
결국 ,x에 대해서는 y 상수를 두고 x에 대한 부분미분방정식을

0:02:13.100,0:02:14.190
취하면 됩니다.

0:02:14.190,0:02:15.000
그곳의 y을 무시하시면 됩니다.

0:02:15.000,0:02:17.060
그리고 나서 x 상수를 두고 y에 대한 부분미분방정식을

0:02:17.060,0:02:18.670
취하면 됩니다.

0:02:18.670,0:02:21.480
그러면 이것의 순서를

0:02:21.480,0:02:22.370
바꾸면 어떻게 될까요?

0:02:22.370,0:02:24.970
다른 색깔로 쓰겠습니다. 그러면 만약에 우리가

0:02:24.970,0:02:30.400
Y에 대한 부분미분방정식을 먼저 취하고 그다음에

0:02:30.400,0:02:34.480
X에 대한 부분미분방정식을 취한다면

0:02:34.480,0:02:36.510
어떻게 될까요?

0:02:36.510,0:02:40.640
우리가 익숙하게 보았던 표시방법은

0:02:40.640,0:02:44.660
부분미분 x, 부분미분 y일것입니다.

0:02:44.660,0:02:46.360
이것이 바로 작용기입니다.

0:02:46.360,0:02:48.750
여기서 이 두가지 표시 방법에 대해서 똑같은 것이지만, 순서가 다르기

0:02:48.750,0:02:51.060
때문에 약간 헷갈릴 수가 있습니다.

0:02:51.060,0:02:52.740
이것은 바로

0:02:52.740,0:02:54.250
생각하는 방법이 다르기

0:02:54.250,0:02:54.910
때문입니다.

0:02:54.910,0:02:57.990
이것은, x에 대한 부분미분방정식을 먼저 한 후 y를 하자고 보는 것입니다.

0:02:57.990,0:03:00.160
이것은 작용기(operator)로 보는 것인데 그래서,

0:03:00.160,0:03:03.000
X에 대한 부분미분을 먼저하고, y를 하는 것입니다.

0:03:03.000,0:03:04.950
작용기를 곱하는 것 처럼요.

0:03:04.950,0:03:08.840
하지만 어쨌든, 이것은 y의 x에 대한 부분 미분으로 쓸 수 있을 것이고

0:03:08.840,0:03:13.070
이후 y에대한 부분미분을 이후 우리가 x에 대한 부분 미분으로

0:03:13.070,0:03:14.910
취할 수 있을 것입니다

0:03:14.910,0:03:17.980
그래서 제가 지금 말씀드리는 것은

0:03:17.980,0:03:20.840
각각의 첫 부분미분들은 연속적이라는 것이고

0:03:20.840,0:03:24.510
우리가 다루었던 대부분의 함수들은 일반적인 정의역에서 이루어 지며

0:03:24.510,0:03:26.780
그들 중 꺾인 부분, 구멍이 없거나

0:03:26.780,0:03:29.070
또는 함수의 정의에서 이상한 것이 있지 않다면,

0:03:29.070,0:03:30.290
그들은 대부분 연속적입니다.

0:03:30.290,0:03:32.990
그리고 특히 미적분 시작하는 시기에,

0:03:32.990,0:03:35.810
우리는 우리의 연속함수에서의 정의역에 대해서

0:03:35.810,0:03:37.620
다루어 볼 것입니다.

0:03:37.620,0:03:40.480
만약에 이 두 함수가 모두 연속적이고,

0:03:40.480,0:03:45.410
이 첫 부분 미분 두 개가 연속적이라면, 이 두 개는

0:03:45.410,0:03:47.170
서로에 동등할 것입니다.

0:03:47.170,0:03:54.950
그래서 xy의 psi는 yx의 psi와 같을 것입니다.

0:03:54.950,0:04:01.220
그래서 우리는 부분미분에서의

0:04:01.220,0:04:04.870
chain rule을 이용해서

0:04:04.870,0:04:09.060
미분방정식의 특정한 무리를 풀 때

0:04:09.060,0:04:13.060
특히 완전미분방정식이라고 일차 미분방정식에서,

0:04:13.060,0:04:14.270
이 지식을 이용하게 됩니다.

0:04:14.270,0:04:17.860
그러면 완전미분방정식은 어떻게 생겼을까요?

0:04:17.860,0:04:21.990
완전미분방정식은 이렇게 생겼습니다.

0:04:21.990,0:04:23.710
색깔고르는게 힘들었습니다

0:04:23.710,0:04:26.290
그러면 이것이 제 미분방정식이라고 합시다

0:04:26.290,0:04:29.550
저는 x와 y에 대한 어떤 함수를 가지고 있습니다.

0:04:29.550,0:04:31.830
모르지만, 이것은 x제곱*y와 같은 형태가

0:04:31.830,0:04:32.920
될 수 있습니다.

0:04:32.920,0:04:34.650
이것은 x와 y에 관한 어떤 함수 더하기

0:04:34.650,0:04:40.350
X와 y에 관한 어떤 함수가 될 것이고, 이것을 n*dydx=0이라고

0:04:40.350,0:04:44.900
부를 수 있겠네요.

0:04:44.900,0:04:47.520
이것이 완전미분방정식인지 아닌지는 잘 모르지만,

0:04:47.520,0:04:50.880
이러한 형태의 것을 처음 보면

0:04:50.880,0:04:52.990
당신의 첫 생각은, 이 방정식이 과연

0:04:52.990,0:04:54.500
분리가능한지 아닌지 일것입니다.

0:04:54.500,0:04:56.180
그리고 당신은 약간의 대수를 이용해서 ㄴ

0:04:56.180,0:04:57.620
이것이 분리가능한지 확인할 수 있는데,

0:04:57.620,0:04:59.210
왜냐하면 이것이 가장 명료한 방법이기 때문입니다.

0:04:59.210,0:05:01.770
만약 이것이 분리가 불가능하다면 이 형태로 계속 둘 수가 있고,

0:05:01.770,0:05:04.460
이것이 완전미분방정식인지 물어볼 수 있을 것입니다.

0:05:04.460,0:05:06.340
그렇다면 완전미분방정식은 무엇일까요?

0:05:06.340,0:05:07.270
음, 바로 볼 때

0:05:07.270,0:05:11.600
여기 있는 이 형태는 이 패턴 처럼 끔찍하게

0:05:11.600,0:05:14.000
보이는데,

0:05:14.000,0:05:18.210
만약 M이 psi의 x에 대한 부분미분이라면 어떡할까요?

0:05:18.210,0:05:24.920
만약 x에 대한 psi가 M과 같으면 어떡할까요?

0:05:24.920,0:05:26.710
만약 이것이 x에 대한 psi라면?

0:05:26.710,0:05:29.570
그리고 이것이 만약 y에 대한 psi라면?

0:05:29.570,0:05:32.500
그래서 y에 대한 psi는 N과 같은 것입니다.

0:05:32.500,0:05:32.950
만일?

0:05:32.950,0:05:34.670
그냥 말하는 건데, 확실히 모른다면 어떻할까요?

0:05:34.670,0:05:37.500
랜덤하게 이곳어딘가를 보면,

0:05:37.500,0:05:40.200
이것이 x에 대한 부분 미분이라는 것과

0:05:40.200,0:05:43.060
이것이 y에 대한 부분 미분이라는 것을

0:05:43.060,0:05:43.830
확실하게 알 수 없을 것입니다.

0:05:43.830,0:05:45.810
그런데 만일?

0:05:45.810,0:05:49.650
이것이 맞았다면, 이것을 우리는

0:05:49.650,0:05:52.870
x에 대한 psidml 부분미분 더하기

0:05:52.870,0:05:58.680
y에 대한 psi의 부분미분 곱하기 dy/dx 는 0으로 쓸수 있습니다.

0:05:58.680,0:06:02.050
그리고 여기, 좌변은

0:06:02.050,0:06:04.790
이것과 같습니다, 맞죠?

0:06:04.790,0:06:09.040
이것은 단지 x에 대한 psi 의 도함수를

0:06:09.040,0:06:10.940
연쇄법칙에 의해서 나온 것입니다.

0:06:10.940,0:06:12.710
그래서 이것을 다시 쓸 수 있습니다.

0:06:12.710,0:06:17.130
이것이 x와 y의 함수안에 있는

0:06:17.130,0:06:20.480
x에 대한 psi의 도함수

0:06:20.480,0:06:23.410
는 0으로 쓸 수 있습니다.

0:06:23.410,0:06:27.730
그래서 이런 형태를 가진 미분 방정식을 보면

0:06:27.730,0:06:31.070
이것을 나눌 수는 없지만

0:06:31.070,0:06:32.030
완전미분방정식이라는 것을 알 수 있습니다.

0:06:32.030,0:06:35.940
그리고 사실, 만약 이것이 시험전에 나온다면

0:06:35.940,0:06:38.800
완전미분방정식일 것입니다.

0:06:38.800,0:06:40.940
하지만 지금은 이런한 형태는

0:06:40.940,0:06:42.070
완전미분방정식일 것입니다.

0:06:42.070,0:06:44.580
만일 이것이 완전미분방정식이라면 -

0:06:44.580,0:06:48.350
그리고 이것을 판단하는 방법을 이따가 알려줄것인데-

0:06:48.350,0:06:52.550
그러면 어떤 psi에 대한 도함수로 볼수 있고

0:06:52.550,0:06:54.840
그 psi의 x에 대한 부분미분으로 볼 수 있습니다.

0:06:54.840,0:06:57.720
이것이 y에 대한 psi의 부분미분입니다.

0:06:57.720,0:06:59.655
그리고 만일 이것과 같이 다시 쓴다면,

0:06:59.655,0:07:01.370
양쪽의 도함수를 쓴다면 - 죄송합니다,

0:07:01.370,0:07:06.890
양쪽의 역도함수를 쓴다면, psi의 x,y는

0:07:06.890,0:07:10.070
c가 나옵니다.

0:07:10.070,0:07:12.770
그래서 고려할 것이 두개 있습니다.

0:07:12.770,0:07:16.470
그러면 psi들과 부분들 등을

0:07:16.470,0:07:19.550
모두 다 했다고 볼수 있습니다.

0:07:19.550,0:07:22.020
그런데 하나, 완전미분방정식이라는 것을 어떻게 알 수 있을까요?

0:07:22.020,0:07:24.590
그리고, 이것이 psi에 대한 완전미분방정식이라면

0:07:24.590,0:07:28.290
psi에 대해 어떻게 풀까요?

0:07:28.290,0:07:32.380
이것이 완전미분방정식이란 것을 알아내기 위해

0:07:32.380,0:07:34.690
이곳에 있는 정보들을 씁니다.

0:07:34.690,0:07:38.150
우리는 psi와 도함수들이 연속적이라는 것을 알고

0:07:38.150,0:07:42.100
x, 그다음 y에 대한 부분을 보면

0:07:42.100,0:07:45.760
그것이 반대 순서로 해도

0:07:45.760,0:07:46.980
같다는 것을 알 수 있습니다.

0:07:46.980,0:07:48.930
그래서 저는 이것이

0:07:48.930,0:07:50.180
x에 대한 부분미분 이라는 것을 알 수 있습니다.

0:07:50.180,0:07:52.610
.

0:07:52.610,0:07:55.920
그리고 이것은 y에 대한 부분미분입니다.

0:07:55.920,0:07:59.880
그래서 이것은 완전미분방정식이라면

0:07:59.880,0:08:03.250
y에 대한 부분미분

0:08:03.250,0:08:05.330
입니다, 맞죠?

0:08:05.330,0:08:11.600
M의 y에대한 부분미분을 쓴다면

0:08:11.600,0:08:15.560
-그것은 x에 대한 psi의 부분미분이겠죠- 는 M입니다

0:08:15.560,0:08:18.490
y에 대한 부분함수를 쓴다면

0:08:18.490,0:08:22.450
이것을 저것으로 다시 쓸 수 있습니다.

0:08:22.450,0:08:28.090
그러면 x에 대한 N의 부분미분으로 볼 수 있습니다.

0:08:28.090,0:08:31.976
y에 대한 psi의 부분미분은 N입니다.

0:08:31.976,0:08:34.760
그래서 만일 양쪽에 x에 대한 부분함수를 쓴다면

0:08:34.760,0:08:40.964
우리는 여기로부터

0:08:40.964,0:08:44.400
psi와 그 부분미분들은 정의역에 대해 연속적일 때 같다는 것을 알 수 있습니다.

0:08:44.400,0:08:49.320
그래서 이것 또한 같을 것입니다.

0:08:49.320,0:08:51.990
그래서 이것은 와전미분방정식인가를

0:08:51.990,0:08:53.930
확인하는 테스트입니다.

0:08:53.930,0:08:56.300
그래서 제가 이것을 다시 쓰고

0:08:56.300,0:08:56.690
정리해 보겠습니다.

0:08:56.690,0:09:04.870
그래서 이곳을 보면 x,y에 대한 M 더하기 x,y에 대한 N

0:09:04.870,0:09:09.580
곱하기 dy/dx 는 0이 나옵니다.

0:09:09.580,0:09:13.110
그리고 y에 대한 M의 부분도함수를 보면,

0:09:13.110,0:09:18.280
그리고 x에 대한 N에 대한 부분도함수를 보면

0:09:18.280,0:09:24.030
그리고 그 둘은 같습니다.

0:09:24.030,0:09:26.410
그리고 그것은 오직 만약입니다.

0:09:26.410,0:09:30.930
둘다 완전미분방정식입니다.

0:09:30.930,0:09:32.410
이것은 완전미분방정식입니다.

0:09:32.410,0:09:35.510
그리고 만약 이것이 완전미분방정식이라면

0:09:35.510,0:09:47.140
x,y 에 대한 psi의 도함수가 0인

0:09:47.140,0:09:52.200
psi가 존재하거나 그 함수가

0:09:52.200,0:09:53.050
c라는 것이 존재한다는 것입니다.

0:09:53.050,0:09:58.480
그리고 x에 대한 psi의 부분미분은

0:09:58.480,0:09:59.740
M입니다.

0:09:59.740,0:10:03.760
그리고 y에 대한 psi의 부분미분도함수는

0:10:03.760,0:10:05.340
N입니다.

0:10:05.340,0:10:07.550
그리고 제가 다음 영상에서

0:10:07.550,0:10:09.810
이것이 psi를 구할 때 다시 이용된다는 것을 보여드릴 것입니다.

0:10:09.810,0:10:11.640
그래서 여기 제가 기억하길 바라는 것이 몇가지 있습니다.

0:10:11.640,0:10:13.720
이것은 x에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

0:10:13.720,0:10:17.620
하지만 진짜 시험에서는

0:10:17.620,0:10:19.590
y에 대해 구합니다.

0:10:19.590,0:10:21.080
왜냐하면 우리는 섞인 도함수를 구하고 싶기 때문입니다.

0:10:21.080,0:10:23.410
비슷하게 이것은 y에 대한 psi의 부분도함수가 될 것이고

0:10:23.410,0:10:27.030
하지만 시험에서는 x에 대해서 구하여

0:10:27.030,0:10:29.500
섞이 도함수를

0:10:29.500,0:10:30.730
구합니다.

0:10:30.730,0:10:32.570
이것은 y에 대해, 그 다음

0:10:32.570,0:10:33.920
x에 대해 구합니다.

0:10:33.920,0:10:36.300
그나저나, 이것이 약간 포함될 수도 있지만

0:10:36.300,0:10:38.360
제가 말한 것을 다 이해했다면,

0:10:38.360,0:10:41.390
완전미분방정식의 방법론에 대한

0:10:41.390,0:10:43.470
직관을 가질것이라고 생각합니다.

0:10:43.470,0:10:45.950
다음 영상에서는

0:10:45.950,0:10:49.400
완전미분방정식을 실제로 풀어볼 것입니다.

0:10:49.400,0:10:50.500
다음 영상에서 봅시다!