WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.710
先の

00:00:00.710 --> 00:00:04.470
ビデオでは、

00:00:04.470 --> 00:00:05.520
偏導関数と連鎖律の概念を紹介しました。

00:00:05.520 --> 00:00:10.080
xとyの関数である

00:00:10.080 --> 00:00:14.020
psi があるとします。

00:00:14.020 --> 00:00:16.770
このxに関する微分を得たい場合、

00:00:16.770 --> 00:00:19.360
このxに関する微分を得たい場合、

00:00:19.360 --> 00:00:23.430
このxに関する微分を得たい場合、

00:00:23.430 --> 00:00:29.540
xに関する偏微分に
yに関する’偏微分にdy／dxを掛けたものを

00:00:29.540 --> 00:00:35.400
加えます。

00:00:35.400 --> 00:00:37.630
先のビデオでは、これを証明していませんが、

00:00:37.630 --> 00:00:40.260
直感的に

00:00:40.260 --> 00:00:40.740
理解してもらえていると思います。

00:00:40.740 --> 00:00:43.030
後日、より詳しく証明したいと思います。

00:00:43.030 --> 00:00:46.120
興味のある人は、インターネットで

00:00:46.120 --> 00:00:49.960
偏導関数と連鎖律の概念の証明を見つけることもできると思います。

00:00:49.960 --> 00:00:52.760
それでは、それを脇に置いて、
他の偏導関数の特性について見てみましょう

00:00:52.760 --> 00:00:55.600
完全方程式に関する概念を

00:00:55.600 --> 00:00:57.080
扱いましょう。

00:00:57.080 --> 00:00:59.070
完全方程式は

00:00:59.070 --> 00:01:02.210
直感的に解くことができます。

00:01:02.210 --> 00:01:05.140
理解していれば、

00:01:05.140 --> 00:01:06.890
難しい問題ではありません。

00:01:06.890 --> 00:01:11.490
そこでは、まず、この関数、psi の

00:01:11.490 --> 00:01:16.580
xに関しての偏微分を取ると、

00:01:16.580 --> 00:01:17.510
psi を記述します。

00:01:17.510 --> 00:01:19.640
x と y をいちいち書きません。

00:01:19.640 --> 00:01:22.890
yに関する偏微分を取ると

00:01:22.890 --> 00:01:25.485
yに関する偏微分を取ると

00:01:25.485 --> 00:01:28.920
yに関する偏微分を取ると

00:01:28.920 --> 00:01:32.730
これを書く際

00:01:32.730 --> 00:01:34.620
演算子を掛けあわせのように見て、

00:01:34.620 --> 00:01:36.050
このように記述できます。

00:01:36.050 --> 00:01:42.400
psi の偏微分の2乗を

00:01:42.400 --> 00:01:47.540
∂yと∂xで割ったもので

00:01:47.540 --> 00:01:50.330
書き換えると

00:01:50.330 --> 00:01:53.040
簡素化し

00:01:53.040 --> 00:01:53.800
簡素化し

00:01:53.800 --> 00:01:56.350
まず、psi のxに関する偏微分をとり

00:01:56.350 --> 00:02:00.050
まず、psi のxに関する偏微分をとり

00:02:00.050 --> 00:02:01.240
まず、psi のxに関する偏微分をとり

00:02:01.240 --> 00:02:04.060
次に、yに関して偏微分を取ったものです。

00:02:04.060 --> 00:02:05.870
ちょっと考えてみてください。

00:02:05.870 --> 00:02:07.970
ここでは

00:02:07.970 --> 00:02:08.650
何が起こっていますか？

00:02:08.650 --> 00:02:13.100
xに関して偏微分を取る際は

00:02:13.100 --> 00:02:14.190
yを定数とし

00:02:14.190 --> 00:02:15.000
ここのyは無視されます。

00:02:15.000 --> 00:02:17.060
yに関し偏微分を取る際は

00:02:17.060 --> 00:02:18.670
xが定数とされます。

00:02:18.670 --> 00:02:21.480
これと、その順序を変えた際の

00:02:21.480 --> 00:02:22.370
違いは何でしょう？

00:02:22.370 --> 00:02:24.970
では、色をかえて、

00:02:24.970 --> 00:02:30.400
まず、psi のyに関する偏微分を取り、

00:02:30.400 --> 00:02:34.480
次にxに関する偏微分をとると

00:02:34.480 --> 00:02:36.510
どうなるでしょう。

00:02:36.510 --> 00:02:40.640
これを書き換えると、

00:02:40.640 --> 00:02:44.660
∂x∂yです。

00:02:44.660 --> 00:02:46.360
これは演算子です。

00:02:46.360 --> 00:02:48.750
そこし混乱する可能性があります。

00:02:48.750 --> 00:02:51.060
これらの 2 つ表記は、同じことをしているにもかかわらず、

00:02:51.060 --> 00:02:52.740
順序を混合します。

00:02:52.740 --> 00:02:54.250
ちょっと考え方を変えただけです。

00:02:54.250 --> 00:02:54.910
ちょっと考え方を変えただけです。

00:02:54.910 --> 00:02:57.990
これは、xに関する偏微分をとり、次にyに関し偏微分を取ります。

00:02:57.990 --> 00:03:00.160
これを演算子としてみれば、

00:03:00.160 --> 00:03:03.000
xが先で、次にyです。

00:03:03.000 --> 00:03:04.950
乗算演算子のようなものです。

00:03:04.950 --> 00:03:08.840
とにかく、これは

00:03:08.840 --> 00:03:13.070
yの偏微分の後、xの偏微分をとったものとも書けます。

00:03:13.070 --> 00:03:14.910
yの偏微分の後、xの偏微分をとったものとも書けます。

00:03:14.910 --> 00:03:17.980
ここで、

00:03:17.980 --> 00:03:20.840
最初の偏微分が継続している場合、

00:03:20.840 --> 00:03:24.510
通常のドメイン内で、

00:03:24.510 --> 00:03:26.780
関数に不継続部分や

00:03:26.780 --> 00:03:29.070
穴がない限り、

00:03:29.070 --> 00:03:30.290
継続していると言えます。

00:03:30.290 --> 00:03:32.990
最初の年の微積分のクラスで扱うものは

00:03:32.990 --> 00:03:35.810
おそらく連続した関数でしょう。

00:03:35.810 --> 00:03:37.620
おそらく連続した関数でしょう。

00:03:37.620 --> 00:03:40.480
これら両方の関数が継続したものである場合

00:03:40.480 --> 00:03:45.410
一階の偏微分が継続しているものである場合

00:03:45.410 --> 00:03:47.170
この２つは等しくなります。

00:03:47.170 --> 00:03:54.950
だから xy の psi と yx のpsi は等しくなります。

00:03:54.950 --> 00:04:01.220
これで、

00:04:01.220 --> 00:04:04.870
偏導関数と連鎖律の知識を利用し、

00:04:04.870 --> 00:04:09.060
他の特定のクラスの一階微分を解くことができます。

00:04:09.060 --> 00:04:13.060
これは、

00:04:13.060 --> 00:04:14.270
完全方程式と呼ばれるものです。

00:04:14.270 --> 00:04:17.860
完全方程式とはどのようなものでしょう？

00:04:17.860 --> 00:04:21.990
完全方程式とはこのようなものです。

00:04:21.990 --> 00:04:23.710
色を変えます。

00:04:23.710 --> 00:04:26.290
それでは、これが、微分方程式です。

00:04:26.290 --> 00:04:29.550
x とyのいくつかの関数があります。

00:04:29.550 --> 00:04:31.830
x の2乗掛けるコサインのyか、何か

00:04:31.830 --> 00:04:32.920
このようなもにです。

00:04:32.920 --> 00:04:34.650
任意のxとyの関数です。

00:04:34.650 --> 00:04:40.350
これに、何かのxとyの関数を足し、nとします。

00:04:40.350 --> 00:04:44.900
これに掛けるdy／dxは、０です。

00:04:44.900 --> 00:04:47.520
これが完全方程式かどうかまだわかりません。

00:04:47.520 --> 00:04:50.880
しかし、この形を見ると、

00:04:50.880 --> 00:04:52.990
まず、分離可能かどうか

00:04:52.990 --> 00:04:54.500
考えるでしょう。

00:04:54.500 --> 00:04:56.180
分離可能かどうか、

00:04:56.180 --> 00:04:57.620
代数学を用い考えてみましょう。

00:04:57.620 --> 00:04:59.210
それが、最も簡単な方法です。

00:04:59.210 --> 00:05:01.770
それは分離できないもの場合は、

00:05:01.770 --> 00:05:04.460
次に完全方程式かどうか考えます。

00:05:04.460 --> 00:05:06.340
完全方程式は何でしょう。

00:05:06.340 --> 00:05:07.270
まあ、見てください。

00:05:07.270 --> 00:05:11.600
このパターンは、非常に

00:05:11.600 --> 00:05:14.000
このパターンに似ています。

00:05:14.000 --> 00:05:18.210
M x が psi のxに関する偏微分ならどうでしょう？

00:05:18.210 --> 00:05:24.920
xに関しての psi がMと等しいと
どうなるでしょう？

00:05:24.920 --> 00:05:26.710
これが x に関してpsiならどうなるでしょう？

00:05:26.710 --> 00:05:29.570
そして、これが xyに関してpsiならどうなるでしょう？

00:05:29.570 --> 00:05:32.500
yに関してpsi は、N に等しいと

00:05:32.500 --> 00:05:32.950
どうしよう。

00:05:32.950 --> 00:05:34.670
これが正しいかどうか、まだわかっていません。

00:05:34.670 --> 00:05:37.500
どこかランダムに見た場合、

00:05:37.500 --> 00:05:40.200
これに関していくつかの x の偏微分であるか、

00:05:40.200 --> 00:05:43.060
また、これが、yに関する偏微分であるか

00:05:43.060 --> 00:05:43.830
はっきりわかりません。

00:05:43.830 --> 00:05:45.810
例えばの話です。

00:05:45.810 --> 00:05:49.650
これが本当なら、このように書き直すことができます。

00:05:49.650 --> 00:05:52.870
∂psi/∂y+∂psi/∂y*dy/dx=0

00:05:52.870 --> 00:05:58.680
∂psi/∂y+∂psi/∂y*dy/dx=0

00:05:58.680 --> 00:06:02.050
これは、左側と

00:06:02.050 --> 00:06:04.790
同じものです。いいですか？

00:06:04.790 --> 00:06:09.040
偏微分の連鎖律を使用した
xに関するpsi の偏導関数です。

00:06:09.040 --> 00:06:10.940
偏微分の連鎖律を使用した
xに関するpsi の偏導関数です。

00:06:10.940 --> 00:06:12.710
だからそれを書き直すことができます。

00:06:12.710 --> 00:06:17.130
書き直すことができます、 psi のxに関する偏微分

00:06:17.130 --> 00:06:20.480
xとyの関数の psi のxに関する偏微分

00:06:20.480 --> 00:06:23.410
これが０になります。

00:06:23.410 --> 00:06:27.730
微分方程式が、この形で、

00:06:27.730 --> 00:06:31.070
分離できない場合は、

00:06:31.070 --> 00:06:32.030
完全方程式であるかもしれません。

00:06:32.030 --> 00:06:35.940
率直に言って、

00:06:35.940 --> 00:06:38.800
それはおそらく完全方程式でしょう。

00:06:38.800 --> 00:06:40.940
この形があえば、

00:06:40.940 --> 00:06:42.070
それは、完全方程式であり得ます。

00:06:42.070 --> 00:06:44.580
それが、完全方程式かどうか、この知識により見分ける方法を

00:06:44.580 --> 00:06:48.350
紹介します。

00:06:48.350 --> 00:06:52.550
完全方程式であれば、これは

00:06:52.550 --> 00:06:54.840
psi のxに関する偏微分として表現できます。

00:06:54.840 --> 00:06:57.720
これは、psi の yに関して偏微分です。

00:06:57.720 --> 00:06:59.655
このように書けば、

00:06:59.655 --> 00:07:01.370
両側の不定積分を取り、

00:07:01.370 --> 00:07:06.890
psi （x、y）＝cが答えとして得られます。

00:07:06.890 --> 00:07:10.070
psi （x、y）＝cが答えとして得られます。

00:07:10.070 --> 00:07:12.770
２つ気をつけることがあります。

00:07:12.770 --> 00:07:16.470
これらをすべて説明してきましたが、

00:07:16.470 --> 00:07:19.550
これらをすべて説明してきましたが、

00:07:19.550 --> 00:07:22.020
完全方程式かどうかどうやって判断すればいいでしょう？

00:07:22.020 --> 00:07:24.590
また、完全方程式であれば、

00:07:24.590 --> 00:07:28.290
いくつかの psi があり、それらのpsi ををどのように解けばいいでしょう？

00:07:28.290 --> 00:07:32.380
完全方程式かどうかは、

00:07:32.380 --> 00:07:34.690
利用します。

00:07:34.690 --> 00:07:38.150
Psi とその微分が連続的な場合、

00:07:38.150 --> 00:07:42.100
xとyに関する偏微分は、どちらを先にとっても

00:07:42.100 --> 00:07:45.760
xとyに関する偏微分は、どちらを先にとっても

00:07:45.760 --> 00:07:46.980
同じです。

00:07:46.980 --> 00:07:48.930
これを

00:07:48.930 --> 00:07:50.180
x に関する偏微分とします。

00:07:50.180 --> 00:07:52.610
いいですか？

00:07:52.610 --> 00:07:55.920
そしてこれが、yに関するものです。

00:07:55.920 --> 00:07:59.880
これが完全方程式の場合は、

00:07:59.880 --> 00:08:03.250
yに関する偏微分をとれば、

00:08:03.250 --> 00:08:05.330
yに関する偏微分をとれば、

00:08:05.330 --> 00:08:11.600
yに関するMの偏微分を取れば、

00:08:11.600 --> 00:08:15.560
xに関しての psi の偏微分は、Mに等しいです。

00:08:15.560 --> 00:08:18.490
yに関してのこれらの偏微分を取れば、

00:08:18.490 --> 00:08:22.450
書き換えれば、

00:08:22.450 --> 00:08:28.090
これは、xに関するNの偏微分と等しくなります。

00:08:28.090 --> 00:08:31.976
yに関しての psi の偏微分が N と等しいです。

00:08:31.976 --> 00:08:34.760
だから xに関して の両方の偏微分を取ると

00:08:34.760 --> 00:08:40.964
psi とその微分が連続的な場合、

00:08:40.964 --> 00:08:44.400
これらは等しくなります。

00:08:44.400 --> 00:08:49.320
これも等しくなります。

00:08:49.320 --> 00:08:51.990
だから、これは、完全方程式かどうかのテストです。

00:08:51.990 --> 00:08:53.930
だから、これは、完全方程式かどうかのテストです。

00:08:53.930 --> 00:08:56.300
これを書き換えて、それを要約しましょう。

00:08:56.300 --> 00:08:56.690
これを書き換えて、それを要約しましょう。

00:08:56.690 --> 00:09:04.870
M（x、y）＋N（x、y）dy／dx＝０

00:09:04.870 --> 00:09:09.580
M（x、y）＋N（x、y）dy／dx＝０

00:09:09.580 --> 00:09:13.110
yに関するM の偏微分を取り、

00:09:13.110 --> 00:09:18.280
y に関する N の偏微分を取り

00:09:18.280 --> 00:09:24.030
それが等しい場合は

00:09:24.030 --> 00:09:26.410
それが等しい場合は

00:09:26.410 --> 00:09:30.930
完全微分方程式です。

00:09:30.930 --> 00:09:32.410
これは、完全微分方程式です。

00:09:32.410 --> 00:09:35.510
完全方程式の場合

00:09:35.510 --> 00:09:47.140
psi （x、y）の微分が、０または定数Cとなる

00:09:47.140 --> 00:09:52.200
psi （x、y）の微分が、０または定数Cとなる

00:09:52.200 --> 00:09:53.050
答えが得られます。

00:09:53.050 --> 00:09:58.480
Xに関しての psi の偏微分は

00:09:58.480 --> 00:09:59.740
Mに等しく

00:09:59.740 --> 00:10:03.760
yに関しての psi の偏微分は

00:10:03.760 --> 00:10:05.340
N に等しくなります。

00:10:05.340 --> 00:10:07.550
次のビデオを

00:10:07.550 --> 00:10:09.810
実際に問題を解いてみましょう。

00:10:09.810 --> 00:10:11.640
いくつかの点を指摘しておきます。

00:10:11.640 --> 00:10:13.720
これは、psi のxに関する偏微分ですが、

00:10:13.720 --> 00:10:17.620
完全方程式のテストでは、

00:10:17.620 --> 00:10:19.590
混合した微分を求めたいので

00:10:19.590 --> 00:10:21.080
これをyに関して微分します。

00:10:21.080 --> 00:10:23.410
同様にこれはyに関する偏微分ですが

00:10:23.410 --> 00:10:27.030
混合の微分を得るため

00:10:27.030 --> 00:10:29.500
xに関する微分を取ります。

00:10:29.500 --> 00:10:30.730
xに関する微分を取ります。

00:10:30.730 --> 00:10:32.570
これは 、yに関する

00:10:32.570 --> 00:10:33.920
これは、xに関するものを取ります。

00:10:33.920 --> 00:10:36.300
少し、難しいかもしれませんが、

00:10:36.300 --> 00:10:38.360
これらの行程がすべて理解できれば、

00:10:38.360 --> 00:10:41.390
完全方程式がどんなものか

00:10:41.390 --> 00:10:43.470
わかると思います。

00:10:43.470 --> 00:10:45.950
では、次のビデオで実際に

00:10:45.950 --> 00:10:49.400
いくつかの完全方程式を解いてみましょう。

00:10:49.400 --> 00:10:50.500
いくつかの完全方程式を解いてみましょう。