WEBVTT 00:00:00.710 --> 00:00:04.470 Eelmises videos rääkisin teile mitme muutuja funktsiooni tuletisest. 00:00:04.470 --> 00:00:05.520 Eelmises videos rääkisin teile mitme muutuja funktsiooni tuletisest. 00:00:05.520 --> 00:00:11.865 Me nägime, et kui meil on fuktsioon psii, kreeka täht psii, 00:00:11.865 --> 00:00:14.805 mis on funktsioon x-ist ja y-ist, 00:00:14.805 --> 00:00:17.385 siis selle osatuletis-- 00:00:17.385 --> 00:00:20.083 ei, ma tahan selle tuletist, mitte osatuletist. 00:00:20.083 --> 00:00:23.430 Selle tuletis x-i järgi võrdub 00:00:23.430 --> 00:00:28.432 psii osatuletis x-i järgi 00:00:28.432 --> 00:00:36.000 pluss psii osatuletis y-i järgi korda dy dx. 00:00:36.000 --> 00:00:38.445 Viimases videos ma ei tõestanud seda ära, 00:00:38.445 --> 00:00:40.260 aga loodetavasti saite intuitiivselt aru, 00:00:40.260 --> 00:00:41.832 et see võiks tõepoolest kehtida. 00:00:41.832 --> 00:00:45.153 Kunagi ma võib-olla tõestan selle formaalsemalt ära, 00:00:45.153 --> 00:00:46.120 aga te võite selle tõestusi internetist otsida, kui teid huvitab. 00:00:46.120 --> 00:00:50.837 aga te võite selle tõestusi internetist otsida, kui teid huvitab. 00:00:50.837 --> 00:00:54.345 Vaatame nüüd ühte teist osatuletiste omadust 00:00:54.345 --> 00:00:55.600 ja siis saame täisdiferentsiaalvõrrandite juurde minna. 00:00:55.600 --> 00:00:57.942 ja siis saame täisdiferentsiaalvõrrandite juurde minna. 00:00:57.942 --> 00:01:00.132 Täisdiferentsiaalvõrrandite lahendamine on üsna kerge, 00:01:00.132 --> 00:01:03.395 aga mõista, miks neid niimoodi lahendada saab-- 00:01:03.395 --> 00:01:05.525 ma ei taha öelda, et see on keeruline, 00:01:05.525 --> 00:01:07.690 sest kui te ühe korra aru saate, siis on korras. 00:01:07.690 --> 00:01:11.952 Olgu meil siis funktsioon psii 00:01:11.952 --> 00:01:16.580 ja ma võtan selle osatuletise x-i järgi, alustuseks. 00:01:16.580 --> 00:01:18.156 Ma kirjutan lihtsalt psii, 00:01:18.156 --> 00:01:20.440 ma ei pea iga kord x ja y kirjutama. 00:01:20.440 --> 00:01:22.890 Ja siis võtan selle osatuletise y-i järgi. 00:01:22.890 --> 00:01:27.070 Ja siis võtan selle osatuletise y-i järgi. 00:01:28.920 --> 00:01:32.730 Tähistuse mõttes on see täpselt sama, kui-- 00:01:32.730 --> 00:01:35.589 mõttes need operaatorid läbi korrutada, 00:01:35.589 --> 00:01:37.351 ja kirjutada selliselt: 00:01:37.351 --> 00:01:42.400 d ruudus korda psii, 00:01:42.400 --> 00:01:47.540 jagatud dy dx. 00:01:47.540 --> 00:01:51.499 Ja mina eelistan seda tähistada hoopis nii, 00:01:51.499 --> 00:01:53.040 sest siis ei ole üleliigset kirjutamist. 00:01:53.040 --> 00:01:54.585 sest siis ei ole üleliigset kirjutamist. 00:01:54.585 --> 00:01:57.488 Me võime lihtsalt kirjutada osatuletis x-i järgi, 00:01:57.488 --> 00:02:00.050 kuna me võtsime alguses x-i järgi. See tähendabki 00:02:00.050 --> 00:02:02.271 psii osatuletist x-i järgi. 00:02:02.271 --> 00:02:04.860 Ja siis võtsime osatuletise y-i järgi 00:02:04.860 --> 00:02:06.516 See on üks võimalus. 00:02:06.516 --> 00:02:08.662 Mis juhtub, kui me võtame osatuletise x-i järgi, 00:02:08.662 --> 00:02:09.912 ja siis y-i järgi? 00:02:09.912 --> 00:02:13.100 x-i järgi võttes loeme y-i konstandiks ja saame 00:02:13.100 --> 00:02:14.513 osatuletise x-i järgi. 00:02:14.513 --> 00:02:15.767 Ignoreerime y-it. 00:02:15.767 --> 00:02:17.629 Ja siis loeme x-i konstandiks 00:02:17.629 --> 00:02:20.316 ja võtame y-i järgi osatuletise. 00:02:20.316 --> 00:02:21.480 Ja mis muutub, kui me seda järjekorda muudame? 00:02:21.480 --> 00:02:23.801 Ja mis muutub, kui me seda järjekorda muudame? 00:02:23.801 --> 00:02:26.693 Ma kirjutan selle teise värviga. 00:02:26.693 --> 00:02:30.400 Kui meil on psii ja me võtame alguses y-i järgi osatuletise, 00:02:30.400 --> 00:02:34.480 Kui meil on psii ja me võtame alguses y-i järgi osatuletise, 00:02:34.480 --> 00:02:37.295 ja siis x-i järgi osatuletise? 00:02:37.295 --> 00:02:41.194 Nii et tähistame seda niimoodi: 00:02:41.194 --> 00:02:44.814 Osatuletis x-i ja siis y-i järgi. 00:02:44.814 --> 00:02:47.545 Ja see on operaator. 00:02:47.545 --> 00:02:49.642 Need tähistused võivad natuke segadust tekitada, 00:02:49.642 --> 00:02:51.614 sest kuigi nad on sama asi, 00:02:51.614 --> 00:02:53.217 siis järjekord on erinev. 00:02:53.217 --> 00:02:54.250 See on lihtsalt teistsugune tähistus. 00:02:54.250 --> 00:02:55.818 See on lihtsalt teistsugune tähistus. 00:02:55.818 --> 00:02:58.783 See ütleb, et esiteks osatuletis x-i, ja siis y-i järgi. 00:02:58.783 --> 00:03:00.883 Siin vaadeldakse seda pigem operaaatorina, 00:03:00.883 --> 00:03:03.600 ehk alguses võtsime x-i osatuletise ja siis y-i, 00:03:03.600 --> 00:03:05.719 ja operaatorid on korrutatud. 00:03:05.719 --> 00:03:10.948 Seda saab siis kirjutada ka kui osatuletis y-i järgi, 00:03:10.948 --> 00:03:13.070 ja siis võtame selle osatuletise x-i järgi. 00:03:13.070 --> 00:03:15.448 ja siis võtame selle osatuletise x-i järgi. 00:03:15.448 --> 00:03:20.118 Ma ütlen teile kohe, et kui mõlemad osatuletised on pidevad-- 00:03:20.118 --> 00:03:23.578 ja enamiku funktsioonide puhul, mida me näinud oleme, 00:03:23.578 --> 00:03:26.910 kui neil pole katkevuskohti või auke 00:03:26.910 --> 00:03:28.626 või midagi muud imelikku, 00:03:28.626 --> 00:03:29.126 siis nad on üldiselt pidevad. 00:03:29.126 --> 00:03:31.321 siis nad on üldiselt pidevad. 00:03:31.321 --> 00:03:33.867 Esimese aasta analüüsi ja diferentsiaalvõrrandite 00:03:33.867 --> 00:03:35.810 kursustel me üldiselt tegeleme pidevate funktsioonidega. 00:03:35.810 --> 00:03:38.420 kursustel me üldiselt tegeleme pidevate funktsioonidega. 00:03:38.420 --> 00:03:41.311 Kui mõlemad need funktsioonid on pidevad 00:03:41.311 --> 00:03:45.410 ja kui esimesed osatuletised on pidevad, 00:03:45.410 --> 00:03:47.755 siis need kaks on võrdsed. 00:03:47.755 --> 00:03:55.750 Nii et psii xy-ist võrdub psii yx-ist. 00:03:55.750 --> 00:04:01.220 Nüüd me saame seda teadmist, 00:04:01.220 --> 00:04:03.847 mitme muutuja funktsiooni tuletist, 00:04:03.847 --> 00:04:06.486 ja seda tulemust kasutada, et 00:04:06.486 --> 00:04:10.217 lahendada teatavat tüüpi diferentsiaalvõrrandeid, 00:04:10.217 --> 00:04:13.147 esimest järku diferentsiaalvõrrandeid, 00:04:13.147 --> 00:04:13.647 mida kutsutakse täisdiferentsiaalvõrranditeks. 00:04:13.647 --> 00:04:15.055 mida kutsutakse täisdiferentsiaalvõrranditeks. 00:04:15.055 --> 00:04:17.860 Ja kuidas näeb välja täisdiferentsiaalvõrrand? 00:04:17.860 --> 00:04:21.990 See näeb välja selline. 00:04:21.990 --> 00:04:23.710 Raske on värvi valida. 00:04:23.710 --> 00:04:27.105 Ütleme, et see on minu diferentsiaalvõrrand. 00:04:27.105 --> 00:04:30.335 Mul on mingi funktsioon x-ist ja y-ist. 00:04:30.335 --> 00:04:31.830 Näiteks x ruudus korda koosinus y-ist. 00:04:31.830 --> 00:04:33.551 Näiteks x ruudus korda koosinus y-ist. 00:04:33.551 --> 00:04:35.835 Ükskõik milline funktsioon x-ist ja y-ist. 00:04:35.835 --> 00:04:40.350 Pliss mingi funktsioon x-ist ja y-ist, tähistame selle N, 00:04:40.350 --> 00:04:44.900 korda dy dx võrdub 0. 00:04:44.900 --> 00:04:48.135 Me ei tea veel, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand, 00:04:48.135 --> 00:04:50.880 aga kui te midagi sellist näete, siis-- 00:04:50.880 --> 00:04:53.667 esimene reaktsioon võiks olla, 00:04:53.667 --> 00:04:55.362 et kas see on eraldatavate muutujatega võrrand? 00:04:55.362 --> 00:04:57.046 Ja peaks proovima seda natuke teisendada, 00:04:57.046 --> 00:04:58.838 ja püüdma muutujaid eraldada, sest 00:04:58.838 --> 00:05:00.231 see on kõige lihtsam moodus. 00:05:00.231 --> 00:05:03.185 Aga kui muutujaid ei saa eraldada, aga ta on sellisel kujul, 00:05:03.185 --> 00:05:05.414 siis kas ta on täisdiferentsiaalvõrrand? 00:05:05.414 --> 00:05:07.463 Mis on täisdiferentsiaalvõrrand? 00:05:07.463 --> 00:05:08.702 Vaadake seda. 00:05:08.702 --> 00:05:11.938 See muster siin on väga sarnane selle mustriga. 00:05:11.938 --> 00:05:14.000 See muster siin on väga sarnane selle mustriga. 00:05:14.000 --> 00:05:18.472 Äkki M on psii osatuletis x-i järgi? 00:05:18.472 --> 00:05:24.920 Äkki psii osatuletis x-i järgi on võrdne M-iga? 00:05:24.920 --> 00:05:27.125 Mis siis, kui see oleks psii x-i järgi, 00:05:27.125 --> 00:05:30.139 ja see oleks psii y-i järgi? 00:05:30.139 --> 00:05:32.669 Psii y-i järgi võrdub N. 00:05:32.669 --> 00:05:33.785 Mis siis juhtuks? 00:05:33.785 --> 00:05:35.239 Me ju ei tea tegelikult kindlalt. 00:05:35.239 --> 00:05:38.500 Kui sa näed sellist asja, siis sa ei saa kohe kindel olla, 00:05:38.500 --> 00:05:41.877 et see on mingi funktsiooni osatuletis x-i järgi, 00:05:41.877 --> 00:05:43.060 ja see on osatuletis y-i järgi. 00:05:43.060 --> 00:05:44.768 ja see on osatuletis y-i järgi. 00:05:44.768 --> 00:05:45.810 Aga kui see oleks nii? 00:05:45.810 --> 00:05:49.650 Kui see oleks tõsi, siis me saaks selle ümber kirjutada, kui 00:05:49.650 --> 00:05:55.147 psii osatuletis x-i järgi pluss psii osatuletis y-i järgi, 00:05:55.147 --> 00:05:59.188 korda dy dx võrdub 0. 00:05:59.188 --> 00:06:02.050 Ja see vasak pool, on ju täpselt sama mis siin. 00:06:02.050 --> 00:06:04.790 Ja see vasak pool, on ju täpselt sama mis siin. 00:06:04.790 --> 00:06:09.040 See ongi psii tuletis x-i järgi, 00:06:09.040 --> 00:06:11.248 kasutades liitfunktsiooni osatuletise reeglit. 00:06:11.248 --> 00:06:13.833 Nii et me saame selle ümber kirjutada, 00:06:13.833 --> 00:06:20.392 see on lihtsalt psii tuletis x-i järgi, 00:06:20.392 --> 00:06:21.849 ja psii on funktsioon x-ist ja y-ist, 00:06:21.849 --> 00:06:23.410 võrdub null. 00:06:23.410 --> 00:06:27.730 Nii et kui te kohtate sellisel kujul diferentsiaalvõrrandit, 00:06:27.730 --> 00:06:31.070 ja te ei saa muutujaid eraldada, 00:06:31.070 --> 00:06:32.999 siis äkki on see täisdiferentsiaalvõrrand. 00:06:32.999 --> 00:06:35.940 Ja kui seda teemat võeti vahetult enne eksamit, 00:06:35.940 --> 00:06:38.800 siis ilmselt ta seda ka on. 00:06:38.800 --> 00:06:40.940 Aga kui te näete seda kuju, 00:06:40.940 --> 00:06:43.055 siis vaadake, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand. 00:06:43.055 --> 00:06:45.872 Kui on-- ja ma kohe näitan, kuidas seda kontrollida, 00:06:45.872 --> 00:06:49.027 kasutades seda infot siin-- siis võib kirjutada, 00:06:49.027 --> 00:06:52.550 et see on mingi funktsiooni psii tuletis, 00:06:52.550 --> 00:06:54.840 kus see on osatuletis x-i järgi. 00:06:54.840 --> 00:06:57.720 See on psii osatuletis y-i järgi. 00:06:57.720 --> 00:06:59.655 Ja kui te kirjutate selle niimoodi välja, 00:06:59.655 --> 00:07:02.970 ja integreerite mõlemat poolt, 00:07:02.970 --> 00:07:05.228 siis te saate lahendiks 00:07:05.228 --> 00:07:10.070 psii x-ist ja y-ist võrdub c. 00:07:10.070 --> 00:07:13.293 On kaks asja, mis meid peaks huvitama. 00:07:13.293 --> 00:07:17.039 Te võite öelda, et Sal, sa oled rääkinud igasugustest 00:07:17.039 --> 00:07:19.550 psiidest ja osatuletistest, 00:07:19.550 --> 00:07:22.774 Aga kuidas ma tean, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand? 00:07:22.774 --> 00:07:24.590 Ja kui see on, siis kuidas ma leian selle psii? 00:07:24.590 --> 00:07:28.290 Ja kui see on, siis kuidas ma leian selle psii? 00:07:28.290 --> 00:07:32.380 Et kindlaks teha, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand, 00:07:32.380 --> 00:07:34.690 tuleb seda võrdust kasutada. 00:07:34.690 --> 00:07:38.150 Me teame, et kui psii ja tema tuletised on pidevad 00:07:38.150 --> 00:07:43.946 mingis piirkonnas, siis selle osatuletis x-ist ja seejärel y-ist, 00:07:43.946 --> 00:07:45.760 on sama, kui siis, kui sa võtaksid neid teistpidi. 00:07:45.760 --> 00:07:47.688 on sama, kui siis, kui sa võtaksid neid teistpidi. 00:07:47.688 --> 00:07:48.930 Me ütlesime, et see on osatuletis x-i järgi. 00:07:48.930 --> 00:07:53.180 Me ütlesime, et see on osatuletis x-i järgi. 00:07:53.180 --> 00:07:55.920 Ja see on osatuletis y-i järgi. 00:07:55.920 --> 00:07:59.880 Kui see on täisdiferentsiaalvõrrand, 00:07:59.880 --> 00:08:03.250 siis kui me võtame selle osatuletise y-i järgi - 00:08:03.250 --> 00:08:05.330 siis kui me võtame selle osatuletise y-i järgi - 00:08:05.330 --> 00:08:11.600 kui me võtame M-i osatuletise y-i järgi, 00:08:11.600 --> 00:08:15.560 ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M, 00:08:15.560 --> 00:08:21.475 Kui võtta nende osatuletis y-i järgi, 00:08:21.475 --> 00:08:24.158 siis see peaks võrduma 00:08:24.158 --> 00:08:28.967 N-i osatuletisega x-i järgi. 00:08:28.967 --> 00:08:32.576 Psii osatuletis y-i järgi võrdub N. 00:08:32.576 --> 00:08:37.883 Nii et kui me võtame nendest osatuletise x-i järgi, 00:08:37.883 --> 00:08:42.610 siis me teame, et need peavad omavahel võrdsed olema, 00:08:42.610 --> 00:08:45.585 kui psii ja tema osatuletised on pidevad selles piirkonnas. 00:08:45.585 --> 00:08:50.289 Järelikult on ka need võrdsed. 00:08:50.289 --> 00:08:52.452 Niimoodi saabki kontrollida, kas tegemist on 00:08:52.452 --> 00:08:54.607 täisdiferentsiaalvõrrandiga. 00:08:54.607 --> 00:08:56.205 Ma kirjutan selle kõik nüüd uuesti välja ja kordan üle. 00:08:56.205 --> 00:08:57.767 Ma kirjutan selle kõik nüüd uuesti välja ja kordan üle. 00:08:57.767 --> 00:09:03.593 Kui te näete võrrandit kujul M x-ist, y-ist 00:09:03.593 --> 00:09:10.672 pluss N x-ist, y-ist korda dy dx võrdub 0, 00:09:10.672 --> 00:09:15.679 ja võtate M-i osatuletise y-i järgi, 00:09:15.679 --> 00:09:19.988 ning N-i osatuletise x-i järgi, 00:09:19.988 --> 00:09:24.030 ja kui nad on omavahel võrdsed, siis-- 00:09:24.030 --> 00:09:27.395 tegelikult siis ja ainult siis, see läheb mõlemat pidi-- 00:09:27.395 --> 00:09:30.930 siis on see täisdiferentsiaalvõrrand. 00:09:32.410 --> 00:09:35.510 Ja kui see on täisdiferentsiaalvõrrand, 00:09:35.510 --> 00:09:49.140 siis leidub selline psii, et psii tuletis võrdub 0 00:09:49.278 --> 00:09:54.277 või psii tuletis võrdub c, on selle võrrandi lahend. 00:09:54.277 --> 00:09:58.480 Ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M, 00:09:58.480 --> 00:10:00.878 Ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M, 00:10:00.878 --> 00:10:03.760 ja psii osatuletis y-i järgi võrdub N. 00:10:03.760 --> 00:10:05.832 ja psii osatuletis y-i järgi võrdub N. 00:10:05.832 --> 00:10:08.642 Järgmises videos ma näitan täpsemalt, 00:10:08.642 --> 00:10:10.533 kuidas seda psiid leida. 00:10:10.533 --> 00:10:12.394 Ma tahan paari asja rõhutada. 00:10:12.394 --> 00:10:14.966 See on psii osatuletis x-i järgi, 00:10:14.966 --> 00:10:18.066 aga kui me teeme täisdiferentsiaalvõrrandi kontrolli, 00:10:18.066 --> 00:10:20.252 siis me võtame tema osatuletise y-i järgi, 00:10:20.252 --> 00:10:21.772 sest me tahame saada segatuletist. 00:10:21.772 --> 00:10:25.672 Ja samamoodi, see on psii osatuletis y-i järgi, 00:10:25.672 --> 00:10:29.476 aga kontrollimiseks võtame sellest osatuletise x-i järgi, 00:10:29.476 --> 00:10:29.976 et saada segatuletist. 00:10:29.976 --> 00:10:30.730 et saada segatuletist. 00:10:30.730 --> 00:10:32.570 See on y-i järgi ja siis x-i järgi, ja siis saame selle. 00:10:32.570 --> 00:10:34.720 See on y-i järgi ja siis x-i järgi, ja siis saame selle 00:10:34.720 --> 00:10:36.992 Seda kõike võis olla natuke raske jälgida, 00:10:36.992 --> 00:10:39.668 aga kui te kõigest aru saite, 00:10:39.668 --> 00:10:41.390 siis te mõistate ka 00:10:41.390 --> 00:10:44.547 miks neid võrrandeid niimoodi lahendada saab. 00:10:44.547 --> 00:10:47.058 Näeme järgmises videos, kus lahendame mõne 00:10:47.058 --> 00:10:49.400 täisdiferentsiaalvõrrandi. 00:10:49.400 --> 00:10:50.500 Näeme varsti.