0:00:00.710,0:00:04.470
Eelmises videos rääkisin teile mitme muutuja funktsiooni tuletisest.

0:00:04.470,0:00:05.520
Eelmises videos rääkisin teile mitme muutuja funktsiooni tuletisest.

0:00:05.520,0:00:11.865
Me nägime, et kui meil on fuktsioon psii, kreeka täht psii,

0:00:11.865,0:00:14.805
mis on funktsioon x-ist ja y-ist,

0:00:14.805,0:00:17.385
siis selle osatuletis--

0:00:17.385,0:00:20.083
ei, ma tahan selle tuletist, mitte osatuletist.

0:00:20.083,0:00:23.430
Selle tuletis x-i järgi võrdub

0:00:23.430,0:00:28.432
psii osatuletis x-i järgi

0:00:28.432,0:00:36.000
pluss psii osatuletis y-i järgi korda dy dx.

0:00:36.000,0:00:38.445
Viimases videos ma ei tõestanud seda ära,

0:00:38.445,0:00:40.260
aga loodetavasti saite intuitiivselt aru,

0:00:40.260,0:00:41.832
et see võiks tõepoolest kehtida.

0:00:41.832,0:00:45.153
Kunagi ma võib-olla tõestan selle formaalsemalt ära,

0:00:45.153,0:00:46.120
aga te võite selle tõestusi internetist otsida, kui teid huvitab.

0:00:46.120,0:00:50.837
aga te võite selle tõestusi internetist otsida, kui teid huvitab.

0:00:50.837,0:00:54.345
Vaatame nüüd ühte teist osatuletiste omadust

0:00:54.345,0:00:55.600
ja siis saame täisdiferentsiaalvõrrandite juurde minna.

0:00:55.600,0:00:57.942
ja siis saame täisdiferentsiaalvõrrandite juurde minna.

0:00:57.942,0:01:00.132
Täisdiferentsiaalvõrrandite lahendamine on üsna kerge,

0:01:00.132,0:01:03.395
aga mõista, miks neid niimoodi lahendada saab--

0:01:03.395,0:01:05.525
ma ei taha öelda, et see on keeruline,

0:01:05.525,0:01:07.690
sest kui te ühe korra aru saate, siis on korras.

0:01:07.690,0:01:11.952
Olgu meil siis funktsioon psii

0:01:11.952,0:01:16.580
ja ma võtan selle osatuletise x-i järgi, alustuseks.

0:01:16.580,0:01:18.156
Ma kirjutan lihtsalt psii,

0:01:18.156,0:01:20.440
ma ei pea iga kord x ja y kirjutama.

0:01:20.440,0:01:22.890
Ja siis võtan selle osatuletise y-i järgi.

0:01:22.890,0:01:27.070
Ja siis võtan selle osatuletise y-i järgi.

0:01:28.920,0:01:32.730
Tähistuse mõttes on see täpselt sama, kui--

0:01:32.730,0:01:35.589
mõttes need operaatorid läbi korrutada,

0:01:35.589,0:01:37.351
ja kirjutada selliselt:

0:01:37.351,0:01:42.400
d ruudus korda psii,

0:01:42.400,0:01:47.540
jagatud dy dx.

0:01:47.540,0:01:51.499
Ja mina eelistan seda tähistada hoopis nii,

0:01:51.499,0:01:53.040
sest siis ei ole üleliigset kirjutamist.

0:01:53.040,0:01:54.585
sest siis ei ole üleliigset kirjutamist.

0:01:54.585,0:01:57.488
Me võime lihtsalt kirjutada osatuletis x-i järgi,

0:01:57.488,0:02:00.050
kuna me võtsime alguses x-i järgi. See tähendabki

0:02:00.050,0:02:02.271
psii osatuletist x-i järgi.

0:02:02.271,0:02:04.860
Ja siis võtsime osatuletise y-i järgi

0:02:04.860,0:02:06.516
See on üks võimalus.

0:02:06.516,0:02:08.662
Mis juhtub, kui me võtame osatuletise x-i järgi,

0:02:08.662,0:02:09.912
ja siis y-i järgi?

0:02:09.912,0:02:13.100
x-i järgi võttes loeme y-i konstandiks ja saame

0:02:13.100,0:02:14.513
osatuletise x-i järgi.

0:02:14.513,0:02:15.767
Ignoreerime y-it.

0:02:15.767,0:02:17.629
Ja siis loeme x-i konstandiks

0:02:17.629,0:02:20.316
ja võtame y-i järgi osatuletise.

0:02:20.316,0:02:21.480
Ja mis muutub, kui me seda järjekorda muudame?

0:02:21.480,0:02:23.801
Ja mis muutub, kui me seda järjekorda muudame?

0:02:23.801,0:02:26.693
Ma kirjutan selle teise värviga.

0:02:26.693,0:02:30.400
Kui meil on psii ja me võtame alguses y-i järgi osatuletise,

0:02:30.400,0:02:34.480
Kui meil on psii ja me võtame alguses y-i järgi osatuletise,

0:02:34.480,0:02:37.295
ja siis x-i järgi osatuletise?

0:02:37.295,0:02:41.194
Nii et tähistame seda niimoodi:

0:02:41.194,0:02:44.814
Osatuletis x-i ja siis y-i järgi.

0:02:44.814,0:02:47.545
Ja see on operaator.

0:02:47.545,0:02:49.642
Need tähistused võivad natuke segadust tekitada,

0:02:49.642,0:02:51.614
sest kuigi nad on sama asi,

0:02:51.614,0:02:53.217
siis järjekord on erinev.

0:02:53.217,0:02:54.250
See on lihtsalt teistsugune tähistus.

0:02:54.250,0:02:55.818
See on lihtsalt teistsugune tähistus.

0:02:55.818,0:02:58.783
See ütleb, et esiteks osatuletis x-i, ja siis y-i järgi.

0:02:58.783,0:03:00.883
Siin vaadeldakse seda pigem operaaatorina,

0:03:00.883,0:03:03.600
ehk alguses võtsime x-i osatuletise ja siis y-i,

0:03:03.600,0:03:05.719
ja operaatorid on korrutatud.

0:03:05.719,0:03:10.948
Seda saab siis kirjutada ka kui osatuletis y-i järgi,

0:03:10.948,0:03:13.070
ja siis võtame selle osatuletise x-i järgi.

0:03:13.070,0:03:15.448
ja siis võtame selle osatuletise x-i järgi.

0:03:15.448,0:03:20.118
Ma ütlen teile kohe, et kui mõlemad osatuletised on pidevad--

0:03:20.118,0:03:23.578
ja enamiku funktsioonide puhul, mida me näinud oleme,

0:03:23.578,0:03:26.910
kui neil pole katkevuskohti või auke

0:03:26.910,0:03:28.626
või midagi muud imelikku,

0:03:28.626,0:03:29.126
siis nad on üldiselt pidevad.

0:03:29.126,0:03:31.321
siis nad on üldiselt pidevad.

0:03:31.321,0:03:33.867
Esimese aasta analüüsi ja diferentsiaalvõrrandite

0:03:33.867,0:03:35.810
kursustel me üldiselt tegeleme pidevate funktsioonidega.

0:03:35.810,0:03:38.420
kursustel me üldiselt tegeleme pidevate funktsioonidega.

0:03:38.420,0:03:41.311
Kui mõlemad need funktsioonid on pidevad

0:03:41.311,0:03:45.410
ja kui esimesed osatuletised on pidevad,

0:03:45.410,0:03:47.755
siis need kaks on võrdsed.

0:03:47.755,0:03:55.750
Nii et psii xy-ist võrdub psii yx-ist.

0:03:55.750,0:04:01.220
Nüüd me saame seda teadmist,

0:04:01.220,0:04:03.847
mitme muutuja funktsiooni tuletist,

0:04:03.847,0:04:06.486
ja seda tulemust kasutada, et

0:04:06.486,0:04:10.217
lahendada teatavat tüüpi diferentsiaalvõrrandeid,

0:04:10.217,0:04:13.147
esimest järku diferentsiaalvõrrandeid,

0:04:13.147,0:04:13.647
mida kutsutakse täisdiferentsiaalvõrranditeks.

0:04:13.647,0:04:15.055
mida kutsutakse täisdiferentsiaalvõrranditeks.

0:04:15.055,0:04:17.860
Ja kuidas näeb välja täisdiferentsiaalvõrrand?

0:04:17.860,0:04:21.990
See näeb välja selline.

0:04:21.990,0:04:23.710
Raske on värvi valida.

0:04:23.710,0:04:27.105
Ütleme, et see on minu diferentsiaalvõrrand.

0:04:27.105,0:04:30.335
Mul on mingi funktsioon x-ist ja y-ist.

0:04:30.335,0:04:31.830
Näiteks x ruudus korda koosinus y-ist.

0:04:31.830,0:04:33.551
Näiteks x ruudus korda koosinus y-ist.

0:04:33.551,0:04:35.835
Ükskõik milline funktsioon x-ist ja y-ist.

0:04:35.835,0:04:40.350
Pliss mingi funktsioon x-ist ja y-ist, tähistame selle N,

0:04:40.350,0:04:44.900
korda dy dx võrdub 0.

0:04:44.900,0:04:48.135
Me ei tea veel, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand,

0:04:48.135,0:04:50.880
aga kui te midagi sellist näete, siis--

0:04:50.880,0:04:53.667
esimene reaktsioon võiks olla,

0:04:53.667,0:04:55.362
et kas see on eraldatavate muutujatega võrrand?

0:04:55.362,0:04:57.046
Ja peaks proovima seda natuke teisendada,

0:04:57.046,0:04:58.838
ja püüdma muutujaid eraldada, sest

0:04:58.838,0:05:00.231
see on kõige lihtsam moodus.

0:05:00.231,0:05:03.185
Aga kui muutujaid ei saa eraldada, aga ta on sellisel kujul,

0:05:03.185,0:05:05.414
siis kas ta on täisdiferentsiaalvõrrand?

0:05:05.414,0:05:07.463
Mis on täisdiferentsiaalvõrrand?

0:05:07.463,0:05:08.702
Vaadake seda.

0:05:08.702,0:05:11.938
See muster siin on väga sarnane selle mustriga.

0:05:11.938,0:05:14.000
See muster siin on väga sarnane selle mustriga.

0:05:14.000,0:05:18.472
Äkki M on psii osatuletis x-i järgi?

0:05:18.472,0:05:24.920
Äkki psii osatuletis x-i järgi on võrdne M-iga?

0:05:24.920,0:05:27.125
Mis siis, kui see oleks psii x-i järgi,

0:05:27.125,0:05:30.139
ja see oleks psii y-i järgi?

0:05:30.139,0:05:32.669
Psii y-i järgi võrdub N.

0:05:32.669,0:05:33.785
Mis siis juhtuks?

0:05:33.785,0:05:35.239
Me ju ei tea tegelikult kindlalt.

0:05:35.239,0:05:38.500
Kui sa näed sellist asja, siis sa ei saa kohe kindel olla,

0:05:38.500,0:05:41.877
et see on mingi funktsiooni osatuletis x-i järgi,

0:05:41.877,0:05:43.060
ja see on osatuletis y-i järgi.

0:05:43.060,0:05:44.768
ja see on osatuletis y-i järgi.

0:05:44.768,0:05:45.810
Aga kui see oleks nii?

0:05:45.810,0:05:49.650
Kui see oleks tõsi, siis me saaks selle ümber kirjutada, kui

0:05:49.650,0:05:55.147
psii osatuletis x-i järgi pluss psii osatuletis y-i järgi,

0:05:55.147,0:05:59.188
korda dy dx võrdub 0.

0:05:59.188,0:06:02.050
Ja see vasak pool, on ju täpselt sama mis siin.

0:06:02.050,0:06:04.790
Ja see vasak pool, on ju täpselt sama mis siin.

0:06:04.790,0:06:09.040
See ongi psii tuletis x-i järgi,

0:06:09.040,0:06:11.248
kasutades liitfunktsiooni osatuletise reeglit.

0:06:11.248,0:06:13.833
Nii et me saame selle ümber kirjutada,

0:06:13.833,0:06:20.392
see on lihtsalt psii tuletis x-i järgi,

0:06:20.392,0:06:21.849
ja psii on funktsioon x-ist ja y-ist,

0:06:21.849,0:06:23.410
võrdub null.

0:06:23.410,0:06:27.730
Nii et kui te kohtate sellisel kujul diferentsiaalvõrrandit,

0:06:27.730,0:06:31.070
ja te ei saa muutujaid eraldada,

0:06:31.070,0:06:32.999
siis äkki on see täisdiferentsiaalvõrrand.

0:06:32.999,0:06:35.940
Ja kui seda teemat võeti vahetult enne eksamit,

0:06:35.940,0:06:38.800
siis ilmselt ta seda ka on.

0:06:38.800,0:06:40.940
Aga kui te näete seda kuju,

0:06:40.940,0:06:43.055
siis vaadake, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand.

0:06:43.055,0:06:45.872
Kui on-- ja ma kohe näitan, kuidas seda kontrollida,

0:06:45.872,0:06:49.027
kasutades seda infot siin-- siis võib kirjutada,

0:06:49.027,0:06:52.550
et see on mingi funktsiooni psii tuletis,

0:06:52.550,0:06:54.840
kus see on osatuletis x-i järgi.

0:06:54.840,0:06:57.720
See on psii osatuletis y-i järgi.

0:06:57.720,0:06:59.655
Ja kui te kirjutate selle niimoodi välja,

0:06:59.655,0:07:02.970
ja integreerite mõlemat poolt,

0:07:02.970,0:07:05.228
siis te saate lahendiks

0:07:05.228,0:07:10.070
psii x-ist ja y-ist võrdub c.

0:07:10.070,0:07:13.293
On kaks asja, mis meid peaks huvitama.

0:07:13.293,0:07:17.039
Te võite öelda, et Sal, sa oled rääkinud igasugustest

0:07:17.039,0:07:19.550
psiidest ja osatuletistest,

0:07:19.550,0:07:22.774
Aga kuidas ma tean, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand?

0:07:22.774,0:07:24.590
Ja kui see on, siis kuidas ma leian selle psii?

0:07:24.590,0:07:28.290
Ja kui see on, siis kuidas ma leian selle psii?

0:07:28.290,0:07:32.380
Et kindlaks teha, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand,

0:07:32.380,0:07:34.690
tuleb seda võrdust kasutada.

0:07:34.690,0:07:38.150
Me teame, et kui psii ja tema tuletised on pidevad

0:07:38.150,0:07:43.946
mingis piirkonnas, siis selle osatuletis x-ist ja seejärel y-ist,

0:07:43.946,0:07:45.760
on sama, kui siis, kui sa võtaksid neid teistpidi.

0:07:45.760,0:07:47.688
on sama, kui siis, kui sa võtaksid neid teistpidi.

0:07:47.688,0:07:48.930
Me ütlesime, et see on osatuletis x-i järgi.

0:07:48.930,0:07:53.180
Me ütlesime, et see on osatuletis x-i järgi.

0:07:53.180,0:07:55.920
Ja see on osatuletis y-i järgi.

0:07:55.920,0:07:59.880
Kui see on täisdiferentsiaalvõrrand,

0:07:59.880,0:08:03.250
siis kui me võtame selle osatuletise y-i järgi -

0:08:03.250,0:08:05.330
siis kui me võtame selle osatuletise y-i järgi -

0:08:05.330,0:08:11.600
kui me võtame M-i osatuletise y-i järgi,

0:08:11.600,0:08:15.560
ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M,

0:08:15.560,0:08:21.475
Kui võtta nende osatuletis y-i järgi,

0:08:21.475,0:08:24.158
siis see peaks võrduma

0:08:24.158,0:08:28.967
N-i osatuletisega x-i järgi.

0:08:28.967,0:08:32.576
Psii osatuletis y-i järgi võrdub N.

0:08:32.576,0:08:37.883
Nii et kui me võtame nendest osatuletise x-i järgi,

0:08:37.883,0:08:42.610
siis me teame, et need peavad omavahel võrdsed olema,

0:08:42.610,0:08:45.585
kui psii ja tema osatuletised on pidevad selles piirkonnas.

0:08:45.585,0:08:50.289
Järelikult on ka need võrdsed.

0:08:50.289,0:08:52.452
Niimoodi saabki kontrollida, kas tegemist on

0:08:52.452,0:08:54.607
täisdiferentsiaalvõrrandiga.

0:08:54.607,0:08:56.205
Ma kirjutan selle kõik nüüd uuesti välja ja kordan üle.

0:08:56.205,0:08:57.767
Ma kirjutan selle kõik nüüd uuesti välja ja kordan üle.

0:08:57.767,0:09:03.593
Kui te näete võrrandit kujul M x-ist, y-ist

0:09:03.593,0:09:10.672
pluss N x-ist, y-ist korda dy dx võrdub 0,

0:09:10.672,0:09:15.679
ja võtate M-i osatuletise y-i järgi,

0:09:15.679,0:09:19.988
ning N-i osatuletise x-i järgi,

0:09:19.988,0:09:24.030
ja kui nad on omavahel võrdsed, siis--

0:09:24.030,0:09:27.395
tegelikult siis ja ainult siis, see läheb mõlemat pidi--

0:09:27.395,0:09:30.930
siis on see täisdiferentsiaalvõrrand.

0:09:32.410,0:09:35.510
Ja kui see on täisdiferentsiaalvõrrand,

0:09:35.510,0:09:49.140
siis leidub selline psii, et psii tuletis võrdub 0

0:09:49.278,0:09:54.277
või psii tuletis võrdub c, on selle võrrandi lahend.

0:09:54.277,0:09:58.480
Ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M,

0:09:58.480,0:10:00.878
Ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M,

0:10:00.878,0:10:03.760
ja psii osatuletis y-i järgi võrdub N.

0:10:03.760,0:10:05.832
ja psii osatuletis y-i järgi võrdub N.

0:10:05.832,0:10:08.642
Järgmises videos ma näitan täpsemalt,

0:10:08.642,0:10:10.533
kuidas seda psiid leida.

0:10:10.533,0:10:12.394
Ma tahan paari asja rõhutada.

0:10:12.394,0:10:14.966
See on psii osatuletis x-i järgi,

0:10:14.966,0:10:18.066
aga kui me teeme täisdiferentsiaalvõrrandi kontrolli,

0:10:18.066,0:10:20.252
siis me võtame tema osatuletise y-i järgi,

0:10:20.252,0:10:21.772
sest me tahame saada segatuletist.

0:10:21.772,0:10:25.672
Ja samamoodi, see on psii osatuletis y-i järgi,

0:10:25.672,0:10:29.476
aga kontrollimiseks võtame sellest osatuletise x-i järgi,

0:10:29.476,0:10:29.976
et saada segatuletist.

0:10:29.976,0:10:30.730
et saada segatuletist.

0:10:30.730,0:10:32.570
See on y-i järgi ja siis x-i järgi, ja siis saame selle.

0:10:32.570,0:10:34.720
See on y-i järgi ja siis x-i järgi, ja siis saame selle

0:10:34.720,0:10:36.992
Seda kõike võis olla natuke raske jälgida,

0:10:36.992,0:10:39.668
aga kui te kõigest aru saite,

0:10:39.668,0:10:41.390
siis te mõistate ka

0:10:41.390,0:10:44.547
miks neid võrrandeid niimoodi lahendada saab.

0:10:44.547,0:10:47.058
Näeme järgmises videos, kus lahendame mõne

0:10:47.058,0:10:49.400
täisdiferentsiaalvõrrandi.

0:10:49.400,0:10:50.500
Näeme varsti.