1
00:00:00,710 --> 00:00:04,470
En el último video le presenté la idea de la cadena

2
00:00:04,470 --> 00:00:05,520
regla con derivadas parciales.

3
00:00:05,520 --> 00:00:10,080
Y dijimos, bueno, si tengo una función, psi, letra griega,

4
00:00:10,080 --> 00:00:14,020
PSI, es una función de x e y.

5
00:00:14,020 --> 00:00:16,770
Y si quería tomar el parcial, con respeto

6
00:00:16,770 --> 00:00:19,360
— no, quiero tomar la derivada, no el parcial--

7
00:00:19,360 --> 00:00:23,430
la derivada de esto, con respecto a x, esto es igual a

8
00:00:23,430 --> 00:00:29,540
el parcial de psi, con respecto a x, más el parcial

9
00:00:29,540 --> 00:00:35,400
de psi, con respecto a y, a veces dy, dx.

10
00:00:35,400 --> 00:00:37,630
Y en el último video no demostrar a usted, pero

11
00:00:37,630 --> 00:00:40,260
Esperemos que le dio un poco de intuición que puede

12
00:00:40,260 --> 00:00:40,740
Créeme.

13
00:00:40,740 --> 00:00:43,030
Pero tal vez algún día voy probarlo un poco más

14
00:00:43,030 --> 00:00:46,120
rigurosamente, pero usted puede encontrar pruebas en la web si estás

15
00:00:46,120 --> 00:00:49,960
interesado, para la regla de la cadena con derivadas parciales.

16
00:00:49,960 --> 00:00:52,760
Así que vamos a poner eso a un lado y vamos a explorar otra propiedad

17
00:00:52,760 --> 00:00:55,600
de derivadas parciales, y entonces estamos listos para obtener el

18
00:00:55,600 --> 00:00:57,080
intuición detrás de ecuaciones exactas.

19
00:00:57,080 --> 00:00:59,070
Porque vas a encontrar, es bastante sencillo

20
00:00:59,070 --> 00:01:02,210
resolver ecuaciones exactas, pero la intuición es un poco

21
00:01:02,210 --> 00:01:05,140
más--bueno, no quiero decir que es difícil, porque si

22
00:01:05,140 --> 00:01:06,890
tienes la intuición, la tienes.

23
00:01:06,890 --> 00:01:11,490
Así que qué pasa si tuve, decir, esta función, psi y fueron a

24
00:01:11,490 --> 00:01:16,580
tomar la derivada parcial de psi, con respecto a x, primero.

25
00:01:16,580 --> 00:01:17,510
Sólo voy a escribir psi.

26
00:01:17,510 --> 00:01:19,640
No tengo que escribir x e y de cada vez.

27
00:01:19,640 --> 00:01:22,890
Y entonces iban a tomar la derivada parcial con

28
00:01:22,890 --> 00:01:25,485
respecto a y.

29
00:01:28,920 --> 00:01:32,730
Así como una notación, esto se puede escribir como, usted podría

30
00:01:32,730 --> 00:01:34,620
tipo de verlo como está multiplicando a los operadores, por lo que

31
00:01:34,620 --> 00:01:36,050
se podría escribir como este.

32
00:01:36,050 --> 00:01:42,400
El parcial del cuadrado veces psi o del cuadrado psi, más

33
00:01:42,400 --> 00:01:47,540
del y del, o rizado x d.

34
00:01:47,540 --> 00:01:50,330
Y que también puede escribirse como--y esto es mi preferido

35
00:01:50,330 --> 00:01:53,040
notación, porque no tiene toda esta basura extra

36
00:01:53,040 --> 00:01:53,800
en todas partes.

37
00:01:53,800 --> 00:01:56,350
Sólo se puede decir, bueno, el parcial, tomamos el parcial,

38
00:01:56,350 --> 00:02:00,050
con respecto a x, primero. Lo que simplemente significa el parcial de

39
00:02:00,050 --> 00:02:01,240
PSI, con respecto a x.

40
00:02:01,240 --> 00:02:04,060
Y luego tomamos el parcial, con respecto a y.

41
00:02:04,060 --> 00:02:05,870
Así es una situación a considerar.

42
00:02:05,870 --> 00:02:07,970
¿Qué sucede cuando tomamos el parcial, con respecto a x,

43
00:02:07,970 --> 00:02:08,650
¿y, a continuación, y?

44
00:02:08,650 --> 00:02:13,100
Así que con respecto a x, se mantiene y constante para obtener sólo el

45
00:02:13,100 --> 00:02:14,190
parcial, con respecto a x.

46
00:02:14,190 --> 00:02:15,000
Ignorar el y allí.

47
00:02:15,000 --> 00:02:17,060
Y luego se mantiene la constante x, y tomar la

48
00:02:17,060 --> 00:02:18,670
parcial, con respecto a y.

49
00:02:18,670 --> 00:02:21,480
¿Cuál es la diferencia entre eso y si tuviéramos que

50
00:02:21,480 --> 00:02:22,370
¿cambiar el orden?

51
00:02:22,370 --> 00:02:24,970
Así que ¿qué pasa si tuviéramos que--lo haré de una forma diferente

52
00:02:24,970 --> 00:02:30,400
color--si teníamos psi, y fuimos a tomar el parcial, con

53
00:02:30,400 --> 00:02:34,480
respecto a y, en primer lugar, y luego fuimos a tomar el parcial,

54
00:02:34,480 --> 00:02:36,510
¿con respecto a x?

55
00:02:36,510 --> 00:02:40,640
Tan sólo la notación, por lo que estás cómodo con él,

56
00:02:40,640 --> 00:02:44,660
que sería--x tan parcial, y parcial.

57
00:02:44,660 --> 00:02:46,360
Y éste es el operador.

58
00:02:46,360 --> 00:02:48,750
Y podría ser un poco confuso aquí, entre

59
00:02:48,750 --> 00:02:51,060
Estas dos notaciones, aunque son la misma cosa,

60
00:02:51,060 --> 00:02:52,740
se mezcla el orden.

61
00:02:52,740 --> 00:02:54,250
Eso es sólo porque es sólo un modo distinto de

62
00:02:54,250 --> 00:02:54,910
pensando en ello.

63
00:02:54,910 --> 00:02:57,990
Esto dice, OK, parcial en primer lugar, con respecto a x, y, a continuación.

64
00:02:57,990 --> 00:03:00,160
Esto ve más como el operador, por lo que tomamos la

65
00:03:00,160 --> 00:03:03,000
parcial de x primero y luego tomó y, como si estuvieras

66
00:03:03,000 --> 00:03:04,950
multiplicando a los operadores.

67
00:03:04,950 --> 00:03:08,840
Pero de todos modos, así que esto también se puede escribir como el parcial de

68
00:03:08,840 --> 00:03:13,070
y, con respecto a x--lo siento, el parcial de y y luego nos

69
00:03:13,070 --> 00:03:14,910
se llevó el parcial de con respecto a x.

70
00:03:14,910 --> 00:03:17,980
Ahora, voy a decir que ahora, que si cada uno de los

71
00:03:17,980 --> 00:03:20,840
primeros parciales son continuas--y la mayoría de los

72
00:03:20,840 --> 00:03:24,510
las funciones que hemos tratado en un dominio normal, tan largo como

73
00:03:24,510 --> 00:03:26,780
no hay ningún discontinuidades o agujeros, o

74
00:03:26,780 --> 00:03:29,070
algo raro en la definición de función,

75
00:03:29,070 --> 00:03:30,290
generalmente son continuos.

76
00:03:30,290 --> 00:03:32,990
Y especialmente en un cálculo de primer año o diferencial

77
00:03:32,990 --> 00:03:35,810
curso, probablemente vamos a estar tratando con continua

78
00:03:35,810 --> 00:03:37,620
funciones en breve. nuestro dominio.

79
00:03:37,620 --> 00:03:40,480
Si ambas funciones son continuas, si ambos de la

80
00:03:40,480 --> 00:03:45,410
primeros parciales son continuas y, a continuación, estos dos van a ser

81
00:03:45,410 --> 00:03:47,170
iguales entre sí.

82
00:03:47,170 --> 00:03:54,950
Tan psi de xy va a ser igual a psi de yx.

83
00:03:54,950 --> 00:04:01,220
Ahora, podemos utilizar este conocimiento, que es la cadena

84
00:04:01,220 --> 00:04:04,870
regla con derivadas parciales y esto

85
00:04:04,870 --> 00:04:09,060
conocimiento ahora resolver una cierta clase de diferencial

86
00:04:09,060 --> 00:04:13,060
ecuaciones, ecuaciones diferenciales de primeras orden, denominada

87
00:04:13,060 --> 00:04:14,270
ecuaciones exactas.

88
00:04:14,270 --> 00:04:17,860
Y ¿como un aspecto de la ecuación exacta?

89
00:04:17,860 --> 00:04:21,990
Una ecuación exacta tiene el siguiente aspecto.

90
00:04:21,990 --> 00:04:23,710
La selección de color s la parte dura.

91
00:04:23,710 --> 00:04:26,290
Así que vamos a decir que esto es mi ecuación diferencial.

92
00:04:26,290 --> 00:04:29,550
Tengo alguna función de x e y.

93
00:04:29,550 --> 00:04:31,830
Así que no sé, podría ser x squared veces

94
00:04:31,830 --> 00:04:32,920
coseno de y o algo.

95
00:04:32,920 --> 00:04:34,650
No sé, podría ser cualquier función de x e y.

96
00:04:34,650 --> 00:04:40,350
Además de alguna función de x y y, que llamaremos que n, tiempos dy,

97
00:04:40,350 --> 00:04:44,900
DX es igual a 0.

98
00:04:44,900 --> 00:04:47,520
Esto es--bueno, no sé si es una ecuación exacta todavía,

99
00:04:47,520 --> 00:04:50,880
pero si has visto algo de esta forma, su primer impulso

100
00:04:50,880 --> 00:04:52,990
debe ser,--bueno, en realidad, su primera

101
00:04:52,990 --> 00:04:54,500
¿es el impulso, esto es separable?

102
00:04:54,500 --> 00:04:56,180
Y debe tratar de jugar con el álgebra de un

103
00:04:56,180 --> 00:04:57,620
un poco a ver si es separable, porque esa es la

104
00:04:57,620 --> 00:04:59,210
siempre de la manera más sencilla.

105
00:04:59,210 --> 00:05:01,770
Si no es separable, pero todavía puede ponerlo en esta forma,

106
00:05:01,770 --> 00:05:04,460
¿dices, hey, es una ecuación exacta?

107
00:05:04,460 --> 00:05:06,340
Y ¿qué es una ecuación exacta?

108
00:05:06,340 --> 00:05:07,270
Pues mira inmediatamente.

109
00:05:07,270 --> 00:05:11,600
Este patrón aquí parece un horrible

110
00:05:11,600 --> 00:05:14,000
mucho como este patrón.

111
00:05:14,000 --> 00:05:18,210
¿Qué pasa si m fue el parcial de psi, con respecto a x?

112
00:05:18,210 --> 00:05:24,920
¿Qué sucede si el psi, con respecto a x, es igual a M?

113
00:05:24,920 --> 00:05:26,710
¿Qué pasa si esto fue psi, con respecto a x?

114
00:05:26,710 --> 00:05:29,570
Y ¿qué pasa si esto fue psi, respecto y?

115
00:05:29,570 --> 00:05:32,500
Psi, con respecto a y, es igual a N.

116
00:05:32,500 --> 00:05:32,950
¿Y si?

117
00:05:32,950 --> 00:05:34,670
¿Sólo estoy diciendo, no sabemos con certeza, a la derecha?

118
00:05:34,670 --> 00:05:37,500
Si sólo ves esto un lugar al azar, no vas a saber para

119
00:05:37,500 --> 00:05:40,200
seguro que esto es el parcial, con respecto a x de algunos

120
00:05:40,200 --> 00:05:43,060
función y esto es el parcial, con respecto a y de

121
00:05:43,060 --> 00:05:43,830
alguna función.

122
00:05:43,830 --> 00:05:45,810
Pero nosotros estamos simplemente diciendo, ¿qué pasa si?

123
00:05:45,810 --> 00:05:49,650
Si esto fuera cierto, entonces nosotros podríamos reescribir esto como el

124
00:05:49,650 --> 00:05:52,870
parcial de psi, con respecto a x, más el parcial de psi,

125
00:05:52,870 --> 00:05:58,680
con respecto a y, a veces dy, dx, igual a 0.

126
00:05:58,680 --> 00:06:02,050
Y esto justo aquí, allí, el lado izquierdo que la

127
00:06:02,050 --> 00:06:04,790
¿lo mismo que este derecho?

128
00:06:04,790 --> 00:06:09,040
Esto es sólo el derivado de psi, con respecto a x, utilizando

129
00:06:09,040 --> 00:06:10,940
la regla de cadena derivada parcial.

130
00:06:10,940 --> 00:06:12,710
Así podría escribirlo.

131
00:06:12,710 --> 00:06:17,130
Se podría reescribir, esto es sólo el derivado de psi,

132
00:06:17,130 --> 00:06:20,480
con respecto a x, dentro de la función de x,

133
00:06:20,480 --> 00:06:23,410
y, es igual a 0.

134
00:06:23,410 --> 00:06:27,730
Así que si ves una ecuación diferencial, y esto tiene

135
00:06:27,730 --> 00:06:31,070
formulario y le dice, chico, que no puedo separarla, pero quizá

136
00:06:31,070 --> 00:06:32,030
es una ecuación exacta.

137
00:06:32,030 --> 00:06:35,940
Y francamente, si eso fue lo que recientemente fue cubierto antes

138
00:06:35,940 --> 00:06:38,800
el examen actual, probablemente es una ecuación exacta.

139
00:06:38,800 --> 00:06:40,940
Pero si ves esto forman, dices, chico, tal vez

140
00:06:40,940 --> 00:06:42,070
es una ecuación exacta.

141
00:06:42,070 --> 00:06:44,580
Si es una ecuación exacta--y te mostraré cómo probar

142
00:06:44,580 --> 00:06:48,350
en un segundo utilizando que esta información, entonces esto puede ser

143
00:06:48,350 --> 00:06:52,550
escrito como la derivada de alguna función, psi, donde esta

144
00:06:52,550 --> 00:06:54,840
es el parcial de psi, con respecto a x.

145
00:06:54,840 --> 00:06:57,720
Este es el parcial de psi, con respecto a y.

146
00:06:57,720 --> 00:06:59,655
Y entonces si se puede escribir como esta, y tomar la

147
00:06:59,655 --> 00:07:01,370
derivado de ambos lados--perdón, tomar la

148
00:07:01,370 --> 00:07:06,890
primitiva de ambos lados--y usted obtendría psi de x, y

149
00:07:06,890 --> 00:07:10,070
es igual a c como una solución.

150
00:07:10,070 --> 00:07:12,770
Así que hay dos cosas que nosotros le debemos ser preocuparse por.

151
00:07:12,770 --> 00:07:16,470
A continuación, usted podría estar diciendo, OK, Sal, que ha caminado a través de

152
00:07:16,470 --> 00:07:19,550
PSI y parciales y todo esto.

153
00:07:19,550 --> 00:07:22,020
Uno, ¿Cómo sé que es una ecuación exacta?

154
00:07:22,020 --> 00:07:24,590
Y entonces, si es una ecuación exacta, que nos dice que

155
00:07:24,590 --> 00:07:28,290
hay algunos psi, entonces ¿cómo resolver el PSI?

156
00:07:28,290 --> 00:07:32,380
Así que la forma de averiguar es una ecuación exacta, es utilizar

157
00:07:32,380 --> 00:07:34,690
Esta información aquí.

158
00:07:34,690 --> 00:07:38,150
Sabemos que si psi y sus derivados son continuos

159
00:07:38,150 --> 00:07:42,100
sobre algún dominio, que cuando usted toma el parcial, con

160
00:07:42,100 --> 00:07:45,760
respecto a x y luego y, que es lo mismo que hacerlo

161
00:07:45,760 --> 00:07:46,980
que en el otro orden.

162
00:07:46,980 --> 00:07:48,930
Por lo que hemos dicho, este es el parcial, con

163
00:07:48,930 --> 00:07:50,180
¿respecto a x, a la derecha?

164
00:07:52,610 --> 00:07:55,920
Y este es el parcial, con respecto a y.

165
00:07:55,920 --> 00:07:59,880
Así que si esto es una ecuación exacta, si esta es la exacta

166
00:07:59,880 --> 00:08:03,250
ecuación, si nos tomamos el parcial, con respeto

167
00:08:03,250 --> 00:08:05,330
¿a y derecha?

168
00:08:05,330 --> 00:08:11,600
Si tuviéramos que lo tomar el parcial de M, respecto y--

169
00:08:11,600 --> 00:08:15,560
el parcial de psi, con respecto a x, es igual a M.

170
00:08:15,560 --> 00:08:18,490
Si tuviéramos que tomar el parcial de aquellos, respecto y--

171
00:08:18,490 --> 00:08:22,450
por lo que sólo podríamos reescribir como--, entonces, debería ser

172
00:08:22,450 --> 00:08:28,090
¿igual que el parcial de N, con respecto a x, a la derecha?

173
00:08:28,090 --> 00:08:31,976
El parcial de psi, con respecto a y, es igual a N.

174
00:08:31,976 --> 00:08:34,760
Así que si tomamos el parcial, con respecto a x, de ambos

175
00:08:34,760 --> 00:08:40,964
Estos, sabemos de esto que estas deben ser iguales, si psi

176
00:08:40,964 --> 00:08:44,400
y sus parciales son continuas sobre ese dominio.

177
00:08:44,400 --> 00:08:49,320
Entonces esto será igual.

178
00:08:49,320 --> 00:08:51,990
Por lo es realmente el caso de prueba a

179
00:08:51,990 --> 00:08:53,930
Esta es una ecuación exacta.

180
00:08:53,930 --> 00:08:56,300
Entonces, permítanme reescribir todo eso nuevamente y resumirlo un

181
00:08:56,300 --> 00:08:56,690
poco.

182
00:08:56,690 --> 00:09:04,870
Así que si ves algo de la forma, M de x, y más n de x,

183
00:09:04,870 --> 00:09:09,580
y, a veces dy dx es igual a 0.

184
00:09:09,580 --> 00:09:13,110
Y luego tomar la derivada parcial de M, con respeto

185
00:09:13,110 --> 00:09:18,280
a y, y luego tomar la derivada parcial de N, con

186
00:09:18,280 --> 00:09:24,030
respecto a x, y son iguales entre sí, entonces--

187
00:09:24,030 --> 00:09:26,410
y es verdad si y sólo si, so it goes ambas maneras--

188
00:09:26,410 --> 00:09:30,930
Esta es una ecuación exacta, una ecuación diferencial exacta.

189
00:09:30,930 --> 00:09:32,410
Esta es una ecuación exacta.

190
00:09:32,410 --> 00:09:35,510
Y si es una ecuación exacta, nos dice hay

191
00:09:35,510 --> 00:09:47,140
existe un psi, tal que la derivada de la psi de x, y es

192
00:09:47,140 --> 00:09:52,200
igual a 0, o psi de x, y es igual a c, es una solución de

193
00:09:52,200 --> 00:09:53,050
Esta ecuación.

194
00:09:53,050 --> 00:09:58,480
Y la derivada parcial de psi, con respecto a x, es

195
00:09:58,480 --> 00:09:59,740
igual a M.

196
00:09:59,740 --> 00:10:03,760
Y es la derivada parcial de psi, con respecto a y,

197
00:10:03,760 --> 00:10:05,340
igual a N.

198
00:10:05,340 --> 00:10:07,550
Y te voy a mostrar en el siguiente vídeo Cómo utilizar efectivamente este

199
00:10:07,550 --> 00:10:09,810
información para resolver psi.

200
00:10:09,810 --> 00:10:11,640
Aquí hay algunas cosas que quiero señalar.

201
00:10:11,640 --> 00:10:13,720
Esto va a ser la derivada parcial de psi,

202
00:10:13,720 --> 00:10:17,620
con respecto a x, pero cuando tomamos el tipo de prueba exacta,

203
00:10:17,620 --> 00:10:19,590
lo tomamos con respecto a y, porque queremos

204
00:10:19,590 --> 00:10:21,080
derivado de la mezcla.

205
00:10:21,080 --> 00:10:23,410
Asimismo, esto va a ser la derivada parcial de psi,

206
00:10:23,410 --> 00:10:27,030
con respecto a y, pero cuando lo hagamos la prueba, tomamos el

207
00:10:27,030 --> 00:10:29,500
parcial de la misma con respecto a x, por lo que conseguimos que mezclan

208
00:10:29,500 --> 00:10:30,730
derivado.

209
00:10:30,730 --> 00:10:32,570
Esto es con respecto a y y luego con respecto a

210
00:10:32,570 --> 00:10:33,920
x, para obtener esto.

211
00:10:33,920 --> 00:10:36,300
De todos modos, sé podría estar involucrado un poco, pero si

212
00:10:36,300 --> 00:10:38,360
has entendido todo lo que hice, creo que tendrás la

213
00:10:38,360 --> 00:10:41,390
intuición detrás de por qué la metodología de

214
00:10:41,390 --> 00:10:43,470
obras de ecuaciones exactas.

215
00:10:43,470 --> 00:10:45,950
Nos vemos en el siguiente vídeo, donde podremos realmente

216
00:10:45,950 --> 00:10:49,400
resolver algunas ecuaciones exactas ver