En el último video le presenté la idea de la cadena
regla con derivadas parciales.
Y dijimos, bueno, si tengo una función, psi, letra griega,
PSI, es una función de x e y.
Y si quería tomar el parcial, con respeto
— no, quiero tomar la derivada, no el parcial--
la derivada de esto, con respecto a x, esto es igual a
el parcial de psi, con respecto a x, más el parcial
de psi, con respecto a y, a veces dy, dx.
Y en el último video no demostrar a usted, pero
Esperemos que le dio un poco de intuición que puede
Créeme.
Pero tal vez algún día voy probarlo un poco más
rigurosamente, pero usted puede encontrar pruebas en la web si estás
interesado, para la regla de la cadena con derivadas parciales.
Así que vamos a poner eso a un lado y vamos a explorar otra propiedad
de derivadas parciales, y entonces estamos listos para obtener el
intuición detrás de ecuaciones exactas.
Porque vas a encontrar, es bastante sencillo
resolver ecuaciones exactas, pero la intuición es un poco
más--bueno, no quiero decir que es difícil, porque si
tienes la intuición, la tienes.
Así que qué pasa si tuve, decir, esta función, psi y fueron a
tomar la derivada parcial de psi, con respecto a x, primero.
Sólo voy a escribir psi.
No tengo que escribir x e y de cada vez.
Y entonces iban a tomar la derivada parcial con
respecto a y.
Así como una notación, esto se puede escribir como, usted podría
tipo de verlo como está multiplicando a los operadores, por lo que
se podría escribir como este.
El parcial del cuadrado veces psi o del cuadrado psi, más
del y del, o rizado x d.
Y que también puede escribirse como--y esto es mi preferido
notación, porque no tiene toda esta basura extra
en todas partes.
Sólo se puede decir, bueno, el parcial, tomamos el parcial,
con respecto a x, primero. Lo que simplemente significa el parcial de
PSI, con respecto a x.
Y luego tomamos el parcial, con respecto a y.
Así es una situación a considerar.
¿Qué sucede cuando tomamos el parcial, con respecto a x,
¿y, a continuación, y?
Así que con respecto a x, se mantiene y constante para obtener sólo el
parcial, con respecto a x.
Ignorar el y allí.
Y luego se mantiene la constante x, y tomar la
parcial, con respecto a y.
¿Cuál es la diferencia entre eso y si tuviéramos que
¿cambiar el orden?
Así que ¿qué pasa si tuviéramos que--lo haré de una forma diferente
color--si teníamos psi, y fuimos a tomar el parcial, con
respecto a y, en primer lugar, y luego fuimos a tomar el parcial,
¿con respecto a x?
Tan sólo la notación, por lo que estás cómodo con él,
que sería--x tan parcial, y parcial.
Y éste es el operador.
Y podría ser un poco confuso aquí, entre
Estas dos notaciones, aunque son la misma cosa,
se mezcla el orden.
Eso es sólo porque es sólo un modo distinto de
pensando en ello.
Esto dice, OK, parcial en primer lugar, con respecto a x, y, a continuación.
Esto ve más como el operador, por lo que tomamos la
parcial de x primero y luego tomó y, como si estuvieras
multiplicando a los operadores.
Pero de todos modos, así que esto también se puede escribir como el parcial de
y, con respecto a x--lo siento, el parcial de y y luego nos
se llevó el parcial de con respecto a x.
Ahora, voy a decir que ahora, que si cada uno de los
primeros parciales son continuas--y la mayoría de los
las funciones que hemos tratado en un dominio normal, tan largo como
no hay ningún discontinuidades o agujeros, o
algo raro en la definición de función,
generalmente son continuos.
Y especialmente en un cálculo de primer año o diferencial
curso, probablemente vamos a estar tratando con continua
funciones en breve. nuestro dominio.
Si ambas funciones son continuas, si ambos de la
primeros parciales son continuas y, a continuación, estos dos van a ser
iguales entre sí.
Tan psi de xy va a ser igual a psi de yx.
Ahora, podemos utilizar este conocimiento, que es la cadena
regla con derivadas parciales y esto
conocimiento ahora resolver una cierta clase de diferencial
ecuaciones, ecuaciones diferenciales de primeras orden, denominada
ecuaciones exactas.
Y ¿como un aspecto de la ecuación exacta?
Una ecuación exacta tiene el siguiente aspecto.
La selección de color s la parte dura.
Así que vamos a decir que esto es mi ecuación diferencial.
Tengo alguna función de x e y.
Así que no sé, podría ser x squared veces
coseno de y o algo.
No sé, podría ser cualquier función de x e y.
Además de alguna función de x y y, que llamaremos que n, tiempos dy,
DX es igual a 0.
Esto es--bueno, no sé si es una ecuación exacta todavía,
pero si has visto algo de esta forma, su primer impulso
debe ser,--bueno, en realidad, su primera
¿es el impulso, esto es separable?
Y debe tratar de jugar con el álgebra de un
un poco a ver si es separable, porque esa es la
siempre de la manera más sencilla.
Si no es separable, pero todavía puede ponerlo en esta forma,
¿dices, hey, es una ecuación exacta?
Y ¿qué es una ecuación exacta?
Pues mira inmediatamente.
Este patrón aquí parece un horrible
mucho como este patrón.
¿Qué pasa si m fue el parcial de psi, con respecto a x?
¿Qué sucede si el psi, con respecto a x, es igual a M?
¿Qué pasa si esto fue psi, con respecto a x?
Y ¿qué pasa si esto fue psi, respecto y?
Psi, con respecto a y, es igual a N.
¿Y si?
¿Sólo estoy diciendo, no sabemos con certeza, a la derecha?
Si sólo ves esto un lugar al azar, no vas a saber para
seguro que esto es el parcial, con respecto a x de algunos
función y esto es el parcial, con respecto a y de
alguna función.
Pero nosotros estamos simplemente diciendo, ¿qué pasa si?
Si esto fuera cierto, entonces nosotros podríamos reescribir esto como el
parcial de psi, con respecto a x, más el parcial de psi,
con respecto a y, a veces dy, dx, igual a 0.
Y esto justo aquí, allí, el lado izquierdo que la
¿lo mismo que este derecho?
Esto es sólo el derivado de psi, con respecto a x, utilizando
la regla de cadena derivada parcial.
Así podría escribirlo.
Se podría reescribir, esto es sólo el derivado de psi,
con respecto a x, dentro de la función de x,
y, es igual a 0.
Así que si ves una ecuación diferencial, y esto tiene
formulario y le dice, chico, que no puedo separarla, pero quizá
es una ecuación exacta.
Y francamente, si eso fue lo que recientemente fue cubierto antes
el examen actual, probablemente es una ecuación exacta.
Pero si ves esto forman, dices, chico, tal vez
es una ecuación exacta.
Si es una ecuación exacta--y te mostraré cómo probar
en un segundo utilizando que esta información, entonces esto puede ser
escrito como la derivada de alguna función, psi, donde esta
es el parcial de psi, con respecto a x.
Este es el parcial de psi, con respecto a y.
Y entonces si se puede escribir como esta, y tomar la
derivado de ambos lados--perdón, tomar la
primitiva de ambos lados--y usted obtendría psi de x, y
es igual a c como una solución.
Así que hay dos cosas que nosotros le debemos ser preocuparse por.
A continuación, usted podría estar diciendo, OK, Sal, que ha caminado a través de
PSI y parciales y todo esto.
Uno, ¿Cómo sé que es una ecuación exacta?
Y entonces, si es una ecuación exacta, que nos dice que
hay algunos psi, entonces ¿cómo resolver el PSI?
Así que la forma de averiguar es una ecuación exacta, es utilizar
Esta información aquí.
Sabemos que si psi y sus derivados son continuos
sobre algún dominio, que cuando usted toma el parcial, con
respecto a x y luego y, que es lo mismo que hacerlo
que en el otro orden.
Por lo que hemos dicho, este es el parcial, con
¿respecto a x, a la derecha?
Y este es el parcial, con respecto a y.
Así que si esto es una ecuación exacta, si esta es la exacta
ecuación, si nos tomamos el parcial, con respeto
¿a y derecha?
Si tuviéramos que lo tomar el parcial de M, respecto y--
el parcial de psi, con respecto a x, es igual a M.
Si tuviéramos que tomar el parcial de aquellos, respecto y--
por lo que sólo podríamos reescribir como--, entonces, debería ser
¿igual que el parcial de N, con respecto a x, a la derecha?
El parcial de psi, con respecto a y, es igual a N.
Así que si tomamos el parcial, con respecto a x, de ambos
Estos, sabemos de esto que estas deben ser iguales, si psi
y sus parciales son continuas sobre ese dominio.
Entonces esto será igual.
Por lo es realmente el caso de prueba a
Esta es una ecuación exacta.
Entonces, permítanme reescribir todo eso nuevamente y resumirlo un
poco.
Así que si ves algo de la forma, M de x, y más n de x,
y, a veces dy dx es igual a 0.
Y luego tomar la derivada parcial de M, con respeto
a y, y luego tomar la derivada parcial de N, con
respecto a x, y son iguales entre sí, entonces--
y es verdad si y sólo si, so it goes ambas maneras--
Esta es una ecuación exacta, una ecuación diferencial exacta.
Esta es una ecuación exacta.
Y si es una ecuación exacta, nos dice hay
existe un psi, tal que la derivada de la psi de x, y es
igual a 0, o psi de x, y es igual a c, es una solución de
Esta ecuación.
Y la derivada parcial de psi, con respecto a x, es
igual a M.
Y es la derivada parcial de psi, con respecto a y,
igual a N.
Y te voy a mostrar en el siguiente vídeo Cómo utilizar efectivamente este
información para resolver psi.
Aquí hay algunas cosas que quiero señalar.
Esto va a ser la derivada parcial de psi,
con respecto a x, pero cuando tomamos el tipo de prueba exacta,
lo tomamos con respecto a y, porque queremos
derivado de la mezcla.
Asimismo, esto va a ser la derivada parcial de psi,
con respecto a y, pero cuando lo hagamos la prueba, tomamos el
parcial de la misma con respecto a x, por lo que conseguimos que mezclan
derivado.
Esto es con respecto a y y luego con respecto a
x, para obtener esto.
De todos modos, sé podría estar involucrado un poco, pero si
has entendido todo lo que hice, creo que tendrás la
intuición detrás de por qué la metodología de
obras de ecuaciones exactas.
Nos vemos en el siguiente vídeo, donde podremos realmente
resolver algunas ecuaciones exactas ver