WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.710


00:00:00.710 --> 00:00:04.470
V minulém videu jsem představil myšlenku parciálního derivování

00:00:04.470 --> 00:00:05.520
složené funkce.

00:00:05.520 --> 00:00:10.080
A řekli jsme, že když máme funkci psi, řecké písmeno,

00:00:10.080 --> 00:00:14.020
psi, to je funkce proměnné x a y.

00:00:14.020 --> 00:00:16.770
A kdybych chtěl udělat parciální derivaci tohoto podle --

00:00:16.770 --> 00:00:19.360
ne já chci udělat derivaci, ne parciální derivaci --

00:00:19.360 --> 00:00:23.430
derivaci tohoto podle x, to je rovno

00:00:23.430 --> 00:00:29.540
parciální derivaci psi podle x plus parciální derivaci

00:00:29.540 --> 00:00:35.400
psi podle y krát dy dx.

00:00:35.400 --> 00:00:37.630
A v minulém videu jsem to nedokázal, ale

00:00:37.630 --> 00:00:40.260
naštěstí jsem vám dal nějakou představu, takže mi můžete

00:00:40.260 --> 00:00:40.740
věřit.

00:00:40.740 --> 00:00:43.030
Možná jednou to dokážu více

00:00:43.030 --> 00:00:46.120
precizněji, ale můžete najít důkaz na webu, pokud vás

00:00:46.120 --> 00:00:49.960
zajímá derivování složené funkce u parciálních derivací.

00:00:49.960 --> 00:00:52.760
Takže nechme to teď být a pojďme odhalit další vlastnost

00:00:52.760 --> 00:00:55.600
parciální derivace a potom bude schopni pochopit

00:00:55.600 --> 00:00:57.080
exaktní rovnice.

00:00:57.080 --> 00:00:59.070
Protože zjistíte, že to je velmi přímočaré

00:00:59.070 --> 00:01:02.210
řešit exaktní rovnice, ale pochopení je trochu

00:01:02.210 --> 00:01:05.140
více -- nechci říct těžší, protože když

00:01:05.140 --> 00:01:06.890
to pochopíte, tak už to vlastně máte.

00:01:06.890 --> 00:01:11.490
Co kdybych měl, řekněme tuto funkce psi a

00:01:11.490 --> 00:01:16.580
udělal bych parciální derivace psi podle x prvně.

00:01:16.580 --> 00:01:17.510
Napíšu psi.

00:01:17.510 --> 00:01:19.640
Nemusím psát x a y pokaždé.

00:01:19.640 --> 00:01:22.890
A potom bych udělal parciální derivaci

00:01:22.890 --> 00:01:25.485
podle y.

00:01:25.485 --> 00:01:28.920


00:01:28.920 --> 00:01:32.730
Jen podle notace, toto můžete psát jako, můžete

00:01:32.730 --> 00:01:34.620
se na to trochu dívat jako na násobení operátorů,

00:01:34.620 --> 00:01:36.050
můžete to tedy psát takto.

00:01:36.050 --> 00:01:42.400
Parciální derivace (del) na druhou krát psi nebo del na druhou psi, dělěno

00:01:42.400 --> 00:01:47.540
del y del nebo dx.

00:01:47.540 --> 00:01:50.330
A to může být taky napsáno jako -- a to já preferuji,

00:01:50.330 --> 00:01:53.040
protože to nemám všechny ty zbytečnosti

00:01:53.040 --> 00:01:53.800
okolo.

00:01:53.800 --> 00:01:56.350
Můžete prostě říct, parciální derivace, prvně jsme parciálně zderivovali

00:01:56.350 --> 00:02:00.050
podle x. To znamená udělali jsme parciální derivaci

00:02:00.050 --> 00:02:01.240
psi podle x.

00:02:01.240 --> 00:02:04.060
A potom parciální derivaci podle y.

00:02:04.060 --> 00:02:05.870
Takže to je jedna situace k zvážení.

00:02:05.870 --> 00:02:07.970
Co se stane když děláme parciální derivaci podle x

00:02:07.970 --> 00:02:08.650
a potom podle y?

00:02:08.650 --> 00:02:13.100
Podle x považujete y za konstantu abyste dostali

00:02:13.100 --> 00:02:14.190
parciální derivaci podle x.

00:02:14.190 --> 00:02:15.000
Ignorujete y.

00:02:15.000 --> 00:02:17.060
A potom x je konstantou a děláte

00:02:17.060 --> 00:02:18.670
parciální derivaci podle y.

00:02:18.670 --> 00:02:21.480
Jaký je rozdíl mezí tímto a tím kdybychom

00:02:21.480 --> 00:02:22.370
zaměnili pořadí?

00:02:22.370 --> 00:02:24.970
Co se stane kdybychom -- napíšu to jinou

00:02:24.970 --> 00:02:30.400
barvou -- kdybychom měli psi a dělali bychom parciální derivaci prvně

00:02:30.400 --> 00:02:34.480
podle y a potom

00:02:34.480 --> 00:02:36.510
podle x?

00:02:36.510 --> 00:02:40.640
Přesně podle notace, je abyste s tím byli obeznámeni

00:02:40.640 --> 00:02:44.660
to by mělo být -- takže parciální derivace x, parciální derivace y.

00:02:44.660 --> 00:02:46.360
A toto je operátor.

00:02:46.360 --> 00:02:48.750
To může být trochu matoucí tady, mezi

00:02:48.750 --> 00:02:51.060
těmito dvěma zápísy, ačkoliv zamenají to stejné,

00:02:51.060 --> 00:02:52.740
pořadí je opačné.

00:02:52.740 --> 00:02:54.250
To protože to je jiný způsob

00:02:54.250 --> 00:02:54.910
přemýšlení o tom.

00:02:54.910 --> 00:02:57.990
Toto říká, ok, prvně parciální derivace podle x a potom podle y.

00:02:57.990 --> 00:03:00.160
Tohle na to pohlíží více jako operátor, takže udělámě prvně

00:03:00.160 --> 00:03:03.000
parciální derivaci podle x, a potom podle y, jako kdybyste

00:03:03.000 --> 00:03:04.950
násobili operátory.

00:03:04.950 --> 00:03:08.840
Nicméně, toto může být napsáno jako parciální derivace

00:03:08.840 --> 00:03:13.070
y podle x -- pardon -- parciální derivace y a potom

00:03:13.070 --> 00:03:14.910
uděláme parciální derivaci podle x.

00:03:14.910 --> 00:03:17.980
Nyní vám řeknu, že když každá z

00:03:17.980 --> 00:03:20.840
prvních parciálních derivací je spojitá -- a většina

00:03:20.840 --> 00:03:24.510
funkcí se kterými my normálně pracujeme, dokud

00:03:24.510 --> 00:03:26.780
neexistují žádné nespojisti, díry nebo

00:03:26.780 --> 00:03:29.070
nějaké zvláštnosti v definici dané funkce,

00:03:29.070 --> 00:03:30.290
jsou tyto funkce obvykle spojité.

00:03:30.290 --> 00:03:32.990
Zvláště v prvním ročníku analýzy

00:03:32.990 --> 00:03:35.810
se pravděpodobně budeme zabývat spojitými

00:03:35.810 --> 00:03:37.620
funkcemi.

00:03:37.620 --> 00:03:40.480
Jestliže obě z těchto funkcí jsou spojité a jestliže

00:03:40.480 --> 00:03:45.410
jejich první parciální derivce jsou spojité potom tyto dva zápísy

00:03:45.410 --> 00:03:47.170
jsou si rovny.

00:03:47.170 --> 00:03:54.950
takže psi podle xy bude rovno psi podle yx.

00:03:54.950 --> 00:04:01.220
Teď můžeme použit tento poznatek, který je pravidle pro

00:04:01.220 --> 00:04:04.870
derivování složené funkce používající parciální derivace a

00:04:04.870 --> 00:04:09.060
tento poznatek nyní vyřeší určitý typ diferenciálních

00:04:09.060 --> 00:04:13.060
rovnic, rovnice prvního řádu nazývané

00:04:13.060 --> 00:04:14.270
exaktní rovnice.

00:04:14.270 --> 00:04:17.860
A jak exaktní rovnice vypadá?

00:04:17.860 --> 00:04:21.990
Exaktní rovnice vapadá takto.

00:04:21.990 --> 00:04:23.710
Složitý výběr barvy.

00:04:23.710 --> 00:04:26.290
Řekněme, že tohle je moje diferenciální rovnice.

00:04:26.290 --> 00:04:29.550
Mám nějakou funkci proměných x a y.

00:04:29.550 --> 00:04:31.830
Nevím, to může být x na druhou krát

00:04:31.830 --> 00:04:32.920
cosinus y nebo něco.

00:04:32.920 --> 00:04:34.650
Může to být jakákoliv funkce x a y.

00:04:34.650 --> 00:04:40.350
Plus nějaká funkce x a y, budeme ji říkat N, krát dy,

00:04:40.350 --> 00:04:44.900
dx je rovno 0.

00:04:44.900 --> 00:04:47.520
To je -- dobře, ještě nevím jestli to je exaktní rovnice,

00:04:47.520 --> 00:04:50.880
ale když uvidíte něco takového, první impuls

00:04:50.880 --> 00:04:52.990
by měl být -- dobře, vlastně, váš ůplně první

00:04:52.990 --> 00:04:54.500
impuls je jestli je to separovatelná rovnice?

00:04:54.500 --> 00:04:56.180
A měli byste zkusit použít nějakou algebru

00:04:56.180 --> 00:04:57.620
abyste zjistili zda je to separovatelní rovnice, protože to

00:04:57.620 --> 00:04:59.210
vždycky nejpříměší způsob.

00:04:59.210 --> 00:05:01.770
Jestli to není separovatelná rovnice, ale můžete to převést do této podoby,

00:05:01.770 --> 00:05:04.460
řekne, hey, je to exaktní rovnice?

00:05:04.460 --> 00:05:06.340
A co je exaktní rovnice?

00:05:06.340 --> 00:05:07.270
Dobře, podívejme se na to.

00:05:07.270 --> 00:05:11.600
Tento vzorec tady vypadá strašlivě

00:05:11.600 --> 00:05:14.000
jako tento vzorec.

00:05:14.000 --> 00:05:18.210
Co kdyby M byla parciální derivace psi podle x?

00:05:18.210 --> 00:05:24.920
Co když psi podle x je rovno M?

00:05:24.920 --> 00:05:26.710
Co když toto je psi podle x?

00:05:26.710 --> 00:05:29.570
A co kdyby toto bylo psi podle y?

00:05:29.570 --> 00:05:32.500
Takže psi podle y je rovno N.

00:05:32.500 --> 00:05:32.950
Co když?

00:05:32.950 --> 00:05:34.670
Jen říkám nevíme to jistě, ano?

00:05:34.670 --> 00:05:37.500
Jestliže uvidíte náhodou toto někde, nebudete vědět

00:05:37.500 --> 00:05:40.200
jistě, zda je to parciální derivace podle x nějaké

00:05:40.200 --> 00:05:43.060
funkce a toto je parciální derivace podle y

00:05:43.060 --> 00:05:43.830
nějaké funkce.

00:05:43.830 --> 00:05:45.810
Ale jen říkáme co když?

00:05:45.810 --> 00:05:49.650
Kdyby to byla pravda, mohli bychom to přepsat jako

00:05:49.650 --> 00:05:52.870
parciální derivace psi podle x plus parciální derivace psi

00:05:52.870 --> 00:05:58.680
podle x krát dy dx se rovna 0.

00:05:58.680 --> 00:06:02.050
A toto tady, ta leva strana, to je

00:06:02.050 --> 00:06:04.790
stejná věc jako tady, ano?

00:06:04.790 --> 00:06:09.040
To je prostě derivace psi podle x používající

00:06:09.040 --> 00:06:10.940
pravidlo pro derivování složené funkce pro parciální derivace.

00:06:10.940 --> 00:06:12.710
Takže to můžete přepsat.

00:06:12.710 --> 00:06:17.130
Můžete to přepsat, toto je derivace psi

00:06:17.130 --> 00:06:20.480
podle x, uvnitř funkce funkce proměnných x

00:06:20.480 --> 00:06:23.410
y je rovno 0.

00:06:23.410 --> 00:06:27.730
Takže když se podíváte, uvidíte diferenciální rovnici a ta má tento

00:06:27.730 --> 00:06:31.070
tvar, a řekne, tohle nemůžu rozdělí, ale možná

00:06:31.070 --> 00:06:32.030
to je exaktní rovnice.

00:06:32.030 --> 00:06:35.940
A upřímně

00:06:35.940 --> 00:06:38.800


00:06:38.800 --> 00:06:40.940


00:06:40.940 --> 00:06:42.070


00:06:42.070 --> 00:06:44.580


00:06:44.580 --> 00:06:48.350


00:06:48.350 --> 00:06:52.550


00:06:52.550 --> 00:06:54.840


00:06:54.840 --> 00:06:57.720


00:06:57.720 --> 00:06:59.655


00:06:59.655 --> 00:07:01.370


00:07:01.370 --> 00:07:06.890


00:07:06.890 --> 00:07:10.070


00:07:10.070 --> 00:07:12.770


00:07:12.770 --> 00:07:16.470


00:07:16.470 --> 00:07:19.550


00:07:19.550 --> 00:07:22.020


00:07:22.020 --> 00:07:24.590


00:07:24.590 --> 00:07:28.290


00:07:28.290 --> 00:07:32.380


00:07:32.380 --> 00:07:34.690


00:07:34.690 --> 00:07:38.150


00:07:38.150 --> 00:07:42.100


00:07:42.100 --> 00:07:45.760


00:07:45.760 --> 00:07:46.980


00:07:46.980 --> 00:07:48.930


00:07:48.930 --> 00:07:50.180


00:07:50.180 --> 00:07:52.610


00:07:52.610 --> 00:07:55.920


00:07:55.920 --> 00:07:59.880


00:07:59.880 --> 00:08:03.250


00:08:03.250 --> 00:08:05.330


00:08:05.330 --> 00:08:11.600


00:08:11.600 --> 00:08:15.560


00:08:15.560 --> 00:08:18.490


00:08:18.490 --> 00:08:22.450


00:08:22.450 --> 00:08:28.090


00:08:28.090 --> 00:08:31.976


00:08:31.976 --> 00:08:34.760


00:08:34.760 --> 00:08:40.964


00:08:40.964 --> 00:08:44.400


00:08:44.400 --> 00:08:49.320


00:08:49.320 --> 00:08:51.990


00:08:51.990 --> 00:08:53.930


00:08:53.930 --> 00:08:56.300


00:08:56.300 --> 00:08:56.690


00:08:56.690 --> 00:09:04.870


00:09:04.870 --> 00:09:09.580


00:09:09.580 --> 00:09:13.110


00:09:13.110 --> 00:09:18.280


00:09:18.280 --> 00:09:24.030


00:09:24.030 --> 00:09:26.410


00:09:26.410 --> 00:09:30.930


00:09:30.930 --> 00:09:32.410


00:09:32.410 --> 00:09:35.510


00:09:35.510 --> 00:09:47.140


00:09:47.140 --> 00:09:52.200


00:09:52.200 --> 00:09:53.050


00:09:53.050 --> 00:09:58.480


00:09:58.480 --> 00:09:59.740


00:09:59.740 --> 00:10:03.760


00:10:03.760 --> 00:10:05.340


00:10:05.340 --> 00:10:07.550


00:10:07.550 --> 00:10:09.810


00:10:09.810 --> 00:10:11.640


00:10:11.640 --> 00:10:13.720


00:10:13.720 --> 00:10:17.620


00:10:17.620 --> 00:10:19.590


00:10:19.590 --> 00:10:21.080


00:10:21.080 --> 00:10:23.410


00:10:23.410 --> 00:10:27.030


00:10:27.030 --> 00:10:29.500


00:10:29.500 --> 00:10:30.730


00:10:30.730 --> 00:10:32.570


00:10:32.570 --> 00:10:33.920


00:10:33.920 --> 00:10:36.300


00:10:36.300 --> 00:10:38.360


00:10:38.360 --> 00:10:41.390


00:10:41.390 --> 00:10:43.470


00:10:43.470 --> 00:10:45.950


00:10:45.950 --> 00:10:49.400


00:10:49.400 --> 00:10:50.500