V minulém videu jsem představil myšlenku parciálního derivování složené funkce. A řekli jsme, že když máme funkci psi, řecké písmeno, psi, to je funkce proměnné x a y. A kdybych chtěl udělat parciální derivaci tohoto podle -- ne já chci udělat derivaci, ne parciální derivaci -- derivaci tohoto podle x, to je rovno parciální derivaci psi podle x plus parciální derivaci psi podle y krát dy dx. A v minulém videu jsem to nedokázal, ale naštěstí jsem vám dal nějakou představu, takže mi můžete věřit. Možná jednou to dokážu více precizněji, ale můžete najít důkaz na webu, pokud vás zajímá derivování složené funkce u parciálních derivací. Takže nechme to teď být a pojďme odhalit další vlastnost parciální derivace a potom bude schopni pochopit exaktní rovnice. Protože zjistíte, že to je velmi přímočaré řešit exaktní rovnice, ale pochopení je trochu více -- nechci říct těžší, protože když to pochopíte, tak už to vlastně máte. Co kdybych měl, řekněme tuto funkce psi a udělal bych parciální derivace psi podle x prvně. Napíšu psi. Nemusím psát x a y pokaždé. A potom bych udělal parciální derivaci podle y. Jen podle notace, toto můžete psát jako, můžete se na to trochu dívat jako na násobení operátorů, můžete to tedy psát takto. Parciální derivace (del) na druhou krát psi nebo del na druhou psi, dělěno del y del nebo dx. A to může být taky napsáno jako -- a to já preferuji, protože to nemám všechny ty zbytečnosti okolo. Můžete prostě říct, parciální derivace, prvně jsme parciálně zderivovali podle x. To znamená udělali jsme parciální derivaci psi podle x. A potom parciální derivaci podle y. Takže to je jedna situace k zvážení. Co se stane když děláme parciální derivaci podle x a potom podle y? Podle x považujete y za konstantu abyste dostali parciální derivaci podle x. Ignorujete y. A potom x je konstantou a děláte parciální derivaci podle y. Jaký je rozdíl mezí tímto a tím kdybychom zaměnili pořadí? Co se stane kdybychom -- napíšu to jinou barvou -- kdybychom měli psi a dělali bychom parciální derivaci prvně podle y a potom podle x? Přesně podle notace, je abyste s tím byli obeznámeni to by mělo být -- takže parciální derivace x, parciální derivace y. A toto je operátor. To může být trochu matoucí tady, mezi těmito dvěma zápísy, ačkoliv zamenají to stejné, pořadí je opačné. To protože to je jiný způsob přemýšlení o tom. Toto říká, ok, prvně parciální derivace podle x a potom podle y. Tohle na to pohlíží více jako operátor, takže udělámě prvně parciální derivaci podle x, a potom podle y, jako kdybyste násobili operátory. Nicméně, toto může být napsáno jako parciální derivace y podle x -- pardon -- parciální derivace y a potom uděláme parciální derivaci podle x. Nyní vám řeknu, že když každá z prvních parciálních derivací je spojitá -- a většina funkcí se kterými my normálně pracujeme, dokud neexistují žádné nespojisti, díry nebo nějaké zvláštnosti v definici dané funkce, jsou tyto funkce obvykle spojité. Zvláště v prvním ročníku analýzy se pravděpodobně budeme zabývat spojitými funkcemi. Jestliže obě z těchto funkcí jsou spojité a jestliže jejich první parciální derivce jsou spojité potom tyto dva zápísy jsou si rovny. takže psi podle xy bude rovno psi podle yx. Teď můžeme použit tento poznatek, který je pravidle pro derivování složené funkce používající parciální derivace a tento poznatek nyní vyřeší určitý typ diferenciálních rovnic, rovnice prvního řádu nazývané exaktní rovnice. A jak exaktní rovnice vypadá? Exaktní rovnice vapadá takto. Složitý výběr barvy. Řekněme, že tohle je moje diferenciální rovnice. Mám nějakou funkci proměných x a y. Nevím, to může být x na druhou krát cosinus y nebo něco. Může to být jakákoliv funkce x a y. Plus nějaká funkce x a y, budeme ji říkat N, krát dy, dx je rovno 0. To je -- dobře, ještě nevím jestli to je exaktní rovnice, ale když uvidíte něco takového, první impuls by měl být -- dobře, vlastně, váš ůplně první impuls je jestli je to separovatelná rovnice? A měli byste zkusit použít nějakou algebru abyste zjistili zda je to separovatelní rovnice, protože to vždycky nejpříměší způsob. Jestli to není separovatelná rovnice, ale můžete to převést do této podoby, řekne, hey, je to exaktní rovnice? A co je exaktní rovnice? Dobře, podívejme se na to. Tento vzorec tady vypadá strašlivě jako tento vzorec. Co kdyby M byla parciální derivace psi podle x? Co když psi podle x je rovno M? Co když toto je psi podle x? A co kdyby toto bylo psi podle y? Takže psi podle y je rovno N. Co když? Jen říkám nevíme to jistě, ano? Jestliže uvidíte náhodou toto někde, nebudete vědět jistě, zda je to parciální derivace podle x nějaké funkce a toto je parciální derivace podle y nějaké funkce. Ale jen říkáme co když? Kdyby to byla pravda, mohli bychom to přepsat jako parciální derivace psi podle x plus parciální derivace psi podle x krát dy dx se rovna 0. A toto tady, ta leva strana, to je stejná věc jako tady, ano? To je prostě derivace psi podle x používající pravidlo pro derivování složené funkce pro parciální derivace. Takže to můžete přepsat. Můžete to přepsat, toto je derivace psi podle x, uvnitř funkce funkce proměnných x y je rovno 0. Takže když se podíváte, uvidíte diferenciální rovnici a ta má tento tvar, a řekne, tohle nemůžu rozdělí, ale možná to je exaktní rovnice. A upřímně