1
00:00:00,000 --> 00:00:00,710


2
00:00:00,710 --> 00:00:04,470
V minulém videu jsem představil myšlenku parciálního derivování

3
00:00:04,470 --> 00:00:05,520
složené funkce.

4
00:00:05,520 --> 00:00:10,080
A řekli jsme, že když máme funkci psi, řecké písmeno,

5
00:00:10,080 --> 00:00:14,020
psi, to je funkce proměnné x a y.

6
00:00:14,020 --> 00:00:16,770
A kdybych chtěl udělat parciální derivaci tohoto podle --

7
00:00:16,770 --> 00:00:19,360
ne já chci udělat derivaci, ne parciální derivaci --

8
00:00:19,360 --> 00:00:23,430
derivaci tohoto podle x, to je rovno

9
00:00:23,430 --> 00:00:29,540
parciální derivaci psi podle x plus parciální derivaci

10
00:00:29,540 --> 00:00:35,400
psi podle y krát dy dx.

11
00:00:35,400 --> 00:00:37,630
A v minulém videu jsem to nedokázal, ale

12
00:00:37,630 --> 00:00:40,260
naštěstí jsem vám dal nějakou představu, takže mi můžete

13
00:00:40,260 --> 00:00:40,740
věřit.

14
00:00:40,740 --> 00:00:43,030
Možná jednou to dokážu více

15
00:00:43,030 --> 00:00:46,120
precizněji, ale můžete najít důkaz na webu, pokud vás

16
00:00:46,120 --> 00:00:49,960
zajímá derivování složené funkce u parciálních derivací.

17
00:00:49,960 --> 00:00:52,760
Takže nechme to teď být a pojďme odhalit další vlastnost

18
00:00:52,760 --> 00:00:55,600
parciální derivace a potom bude schopni pochopit

19
00:00:55,600 --> 00:00:57,080
exaktní rovnice.

20
00:00:57,080 --> 00:00:59,070
Protože zjistíte, že to je velmi přímočaré

21
00:00:59,070 --> 00:01:02,210
řešit exaktní rovnice, ale pochopení je trochu

22
00:01:02,210 --> 00:01:05,140
více -- nechci říct těžší, protože když

23
00:01:05,140 --> 00:01:06,890
to pochopíte, tak už to vlastně máte.

24
00:01:06,890 --> 00:01:11,490
Co kdybych měl, řekněme tuto funkce psi a

25
00:01:11,490 --> 00:01:16,580
udělal bych parciální derivace psi podle x prvně.

26
00:01:16,580 --> 00:01:17,510
Napíšu psi.

27
00:01:17,510 --> 00:01:19,640
Nemusím psát x a y pokaždé.

28
00:01:19,640 --> 00:01:22,890
A potom bych udělal parciální derivaci

29
00:01:22,890 --> 00:01:25,485
podle y.

30
00:01:25,485 --> 00:01:28,920


31
00:01:28,920 --> 00:01:32,730
Jen podle notace, toto můžete psát jako, můžete

32
00:01:32,730 --> 00:01:34,620
se na to trochu dívat jako na násobení operátorů,

33
00:01:34,620 --> 00:01:36,050
můžete to tedy psát takto.

34
00:01:36,050 --> 00:01:42,400
Parciální derivace (del) na druhou krát psi nebo del na druhou psi, dělěno

35
00:01:42,400 --> 00:01:47,540
del y del nebo dx.

36
00:01:47,540 --> 00:01:50,330
A to může být taky napsáno jako -- a to já preferuji,

37
00:01:50,330 --> 00:01:53,040
protože to nemám všechny ty zbytečnosti

38
00:01:53,040 --> 00:01:53,800
okolo.

39
00:01:53,800 --> 00:01:56,350
Můžete prostě říct, parciální derivace, prvně jsme parciálně zderivovali

40
00:01:56,350 --> 00:02:00,050
podle x. To znamená udělali jsme parciální derivaci

41
00:02:00,050 --> 00:02:01,240
psi podle x.

42
00:02:01,240 --> 00:02:04,060
A potom parciální derivaci podle y.

43
00:02:04,060 --> 00:02:05,870
Takže to je jedna situace k zvážení.

44
00:02:05,870 --> 00:02:07,970
Co se stane když děláme parciální derivaci podle x

45
00:02:07,970 --> 00:02:08,650
a potom podle y?

46
00:02:08,650 --> 00:02:13,100
Podle x považujete y za konstantu abyste dostali

47
00:02:13,100 --> 00:02:14,190
parciální derivaci podle x.

48
00:02:14,190 --> 00:02:15,000
Ignorujete y.

49
00:02:15,000 --> 00:02:17,060
A potom x je konstantou a děláte

50
00:02:17,060 --> 00:02:18,670
parciální derivaci podle y.

51
00:02:18,670 --> 00:02:21,480
Jaký je rozdíl mezí tímto a tím kdybychom

52
00:02:21,480 --> 00:02:22,370
zaměnili pořadí?

53
00:02:22,370 --> 00:02:24,970
Co se stane kdybychom -- napíšu to jinou

54
00:02:24,970 --> 00:02:30,400
barvou -- kdybychom měli psi a dělali bychom parciální derivaci prvně

55
00:02:30,400 --> 00:02:34,480
podle y a potom

56
00:02:34,480 --> 00:02:36,510
podle x?

57
00:02:36,510 --> 00:02:40,640
Přesně podle notace, je abyste s tím byli obeznámeni

58
00:02:40,640 --> 00:02:44,660
to by mělo být -- takže parciální derivace x, parciální derivace y.

59
00:02:44,660 --> 00:02:46,360
A toto je operátor.

60
00:02:46,360 --> 00:02:48,750
To může být trochu matoucí tady, mezi

61
00:02:48,750 --> 00:02:51,060
těmito dvěma zápísy, ačkoliv zamenají to stejné,

62
00:02:51,060 --> 00:02:52,740
pořadí je opačné.

63
00:02:52,740 --> 00:02:54,250
To protože to je jiný způsob

64
00:02:54,250 --> 00:02:54,910
přemýšlení o tom.

65
00:02:54,910 --> 00:02:57,990
Toto říká, ok, prvně parciální derivace podle x a potom podle y.

66
00:02:57,990 --> 00:03:00,160
Tohle na to pohlíží více jako operátor, takže udělámě prvně

67
00:03:00,160 --> 00:03:03,000
parciální derivaci podle x, a potom podle y, jako kdybyste

68
00:03:03,000 --> 00:03:04,950
násobili operátory.

69
00:03:04,950 --> 00:03:08,840
Nicméně, toto může být napsáno jako parciální derivace

70
00:03:08,840 --> 00:03:13,070
y podle x -- pardon -- parciální derivace y a potom

71
00:03:13,070 --> 00:03:14,910
uděláme parciální derivaci podle x.

72
00:03:14,910 --> 00:03:17,980
Nyní vám řeknu, že když každá z

73
00:03:17,980 --> 00:03:20,840
prvních parciálních derivací je spojitá -- a většina

74
00:03:20,840 --> 00:03:24,510
funkcí se kterými my normálně pracujeme, dokud

75
00:03:24,510 --> 00:03:26,780
neexistují žádné nespojisti, díry nebo

76
00:03:26,780 --> 00:03:29,070
nějaké zvláštnosti v definici dané funkce,

77
00:03:29,070 --> 00:03:30,290
jsou tyto funkce obvykle spojité.

78
00:03:30,290 --> 00:03:32,990
Zvláště v prvním ročníku analýzy

79
00:03:32,990 --> 00:03:35,810
se pravděpodobně budeme zabývat spojitými

80
00:03:35,810 --> 00:03:37,620
funkcemi.

81
00:03:37,620 --> 00:03:40,480
Jestliže obě z těchto funkcí jsou spojité a jestliže

82
00:03:40,480 --> 00:03:45,410
jejich první parciální derivce jsou spojité potom tyto dva zápísy

83
00:03:45,410 --> 00:03:47,170
jsou si rovny.

84
00:03:47,170 --> 00:03:54,950
takže psi podle xy bude rovno psi podle yx.

85
00:03:54,950 --> 00:04:01,220
Teď můžeme použit tento poznatek, který je pravidle pro

86
00:04:01,220 --> 00:04:04,870
derivování složené funkce používající parciální derivace a

87
00:04:04,870 --> 00:04:09,060
tento poznatek nyní vyřeší určitý typ diferenciálních

88
00:04:09,060 --> 00:04:13,060
rovnic, rovnice prvního řádu nazývané

89
00:04:13,060 --> 00:04:14,270
exaktní rovnice.

90
00:04:14,270 --> 00:04:17,860
A jak exaktní rovnice vypadá?

91
00:04:17,860 --> 00:04:21,990
Exaktní rovnice vapadá takto.

92
00:04:21,990 --> 00:04:23,710
Složitý výběr barvy.

93
00:04:23,710 --> 00:04:26,290
Řekněme, že tohle je moje diferenciální rovnice.

94
00:04:26,290 --> 00:04:29,550
Mám nějakou funkci proměných x a y.

95
00:04:29,550 --> 00:04:31,830
Nevím, to může být x na druhou krát

96
00:04:31,830 --> 00:04:32,920
cosinus y nebo něco.

97
00:04:32,920 --> 00:04:34,650
Může to být jakákoliv funkce x a y.

98
00:04:34,650 --> 00:04:40,350
Plus nějaká funkce x a y, budeme ji říkat N, krát dy,

99
00:04:40,350 --> 00:04:44,900
dx je rovno 0.

100
00:04:44,900 --> 00:04:47,520
To je -- dobře, ještě nevím jestli to je exaktní rovnice,

101
00:04:47,520 --> 00:04:50,880
ale když uvidíte něco takového, první impuls

102
00:04:50,880 --> 00:04:52,990
by měl být -- dobře, vlastně, váš ůplně první

103
00:04:52,990 --> 00:04:54,500
impuls je jestli je to separovatelná rovnice?

104
00:04:54,500 --> 00:04:56,180
A měli byste zkusit použít nějakou algebru

105
00:04:56,180 --> 00:04:57,620
abyste zjistili zda je to separovatelní rovnice, protože to

106
00:04:57,620 --> 00:04:59,210
vždycky nejpříměší způsob.

107
00:04:59,210 --> 00:05:01,770
Jestli to není separovatelná rovnice, ale můžete to převést do této podoby,

108
00:05:01,770 --> 00:05:04,460
řekne, hey, je to exaktní rovnice?

109
00:05:04,460 --> 00:05:06,340
A co je exaktní rovnice?

110
00:05:06,340 --> 00:05:07,270
Dobře, podívejme se na to.

111
00:05:07,270 --> 00:05:11,600
Tento vzorec tady vypadá strašlivě

112
00:05:11,600 --> 00:05:14,000
jako tento vzorec.

113
00:05:14,000 --> 00:05:18,210
Co kdyby M byla parciální derivace psi podle x?

114
00:05:18,210 --> 00:05:24,920
Co když psi podle x je rovno M?

115
00:05:24,920 --> 00:05:26,710
Co když toto je psi podle x?

116
00:05:26,710 --> 00:05:29,570
A co kdyby toto bylo psi podle y?

117
00:05:29,570 --> 00:05:32,500
Takže psi podle y je rovno N.

118
00:05:32,500 --> 00:05:32,950
Co když?

119
00:05:32,950 --> 00:05:34,670
Jen říkám nevíme to jistě, ano?

120
00:05:34,670 --> 00:05:37,500
Jestliže uvidíte náhodou toto někde, nebudete vědět

121
00:05:37,500 --> 00:05:40,200
jistě, zda je to parciální derivace podle x nějaké

122
00:05:40,200 --> 00:05:43,060
funkce a toto je parciální derivace podle y

123
00:05:43,060 --> 00:05:43,830
nějaké funkce.

124
00:05:43,830 --> 00:05:45,810
Ale jen říkáme co když?

125
00:05:45,810 --> 00:05:49,650
Kdyby to byla pravda, mohli bychom to přepsat jako

126
00:05:49,650 --> 00:05:52,870
parciální derivace psi podle x plus parciální derivace psi

127
00:05:52,870 --> 00:05:58,680
podle x krát dy dx se rovna 0.

128
00:05:58,680 --> 00:06:02,050
A toto tady, ta leva strana, to je

129
00:06:02,050 --> 00:06:04,790
stejná věc jako tady, ano?

130
00:06:04,790 --> 00:06:09,040
To je prostě derivace psi podle x používající

131
00:06:09,040 --> 00:06:10,940
pravidlo pro derivování složené funkce pro parciální derivace.

132
00:06:10,940 --> 00:06:12,710
Takže to můžete přepsat.

133
00:06:12,710 --> 00:06:17,130
Můžete to přepsat, toto je derivace psi

134
00:06:17,130 --> 00:06:20,480
podle x, uvnitř funkce funkce proměnných x

135
00:06:20,480 --> 00:06:23,410
y je rovno 0.

136
00:06:23,410 --> 00:06:27,730
Takže když se podíváte, uvidíte diferenciální rovnici a ta má tento

137
00:06:27,730 --> 00:06:31,070
tvar, a řekne, tohle nemůžu rozdělí, ale možná

138
00:06:31,070 --> 00:06:32,030
to je exaktní rovnice.

139
00:06:32,030 --> 00:06:35,940
A upřímně

140
00:06:35,940 --> 00:06:38,800


141
00:06:38,800 --> 00:06:40,940


142
00:06:40,940 --> 00:06:42,070


143
00:06:42,070 --> 00:06:44,580


144
00:06:44,580 --> 00:06:48,350


145
00:06:48,350 --> 00:06:52,550


146
00:06:52,550 --> 00:06:54,840


147
00:06:54,840 --> 00:06:57,720


148
00:06:57,720 --> 00:06:59,655


149
00:06:59,655 --> 00:07:01,370


150
00:07:01,370 --> 00:07:06,890


151
00:07:06,890 --> 00:07:10,070


152
00:07:10,070 --> 00:07:12,770


153
00:07:12,770 --> 00:07:16,470


154
00:07:16,470 --> 00:07:19,550


155
00:07:19,550 --> 00:07:22,020


156
00:07:22,020 --> 00:07:24,590


157
00:07:24,590 --> 00:07:28,290


158
00:07:28,290 --> 00:07:32,380


159
00:07:32,380 --> 00:07:34,690


160
00:07:34,690 --> 00:07:38,150


161
00:07:38,150 --> 00:07:42,100


162
00:07:42,100 --> 00:07:45,760


163
00:07:45,760 --> 00:07:46,980


164
00:07:46,980 --> 00:07:48,930


165
00:07:48,930 --> 00:07:50,180


166
00:07:50,180 --> 00:07:52,610


167
00:07:52,610 --> 00:07:55,920


168
00:07:55,920 --> 00:07:59,880


169
00:07:59,880 --> 00:08:03,250


170
00:08:03,250 --> 00:08:05,330


171
00:08:05,330 --> 00:08:11,600


172
00:08:11,600 --> 00:08:15,560


173
00:08:15,560 --> 00:08:18,490


174
00:08:18,490 --> 00:08:22,450


175
00:08:22,450 --> 00:08:28,090


176
00:08:28,090 --> 00:08:31,976


177
00:08:31,976 --> 00:08:34,760


178
00:08:34,760 --> 00:08:40,964


179
00:08:40,964 --> 00:08:44,400


180
00:08:44,400 --> 00:08:49,320


181
00:08:49,320 --> 00:08:51,990


182
00:08:51,990 --> 00:08:53,930


183
00:08:53,930 --> 00:08:56,300


184
00:08:56,300 --> 00:08:56,690


185
00:08:56,690 --> 00:09:04,870


186
00:09:04,870 --> 00:09:09,580


187
00:09:09,580 --> 00:09:13,110


188
00:09:13,110 --> 00:09:18,280


189
00:09:18,280 --> 00:09:24,030


190
00:09:24,030 --> 00:09:26,410


191
00:09:26,410 --> 00:09:30,930


192
00:09:30,930 --> 00:09:32,410


193
00:09:32,410 --> 00:09:35,510


194
00:09:35,510 --> 00:09:47,140


195
00:09:47,140 --> 00:09:52,200


196
00:09:52,200 --> 00:09:53,050


197
00:09:53,050 --> 00:09:58,480


198
00:09:58,480 --> 00:09:59,740


199
00:09:59,740 --> 00:10:03,760


200
00:10:03,760 --> 00:10:05,340


201
00:10:05,340 --> 00:10:07,550


202
00:10:07,550 --> 00:10:09,810


203
00:10:09,810 --> 00:10:11,640


204
00:10:11,640 --> 00:10:13,720


205
00:10:13,720 --> 00:10:17,620


206
00:10:17,620 --> 00:10:19,590


207
00:10:19,590 --> 00:10:21,080


208
00:10:21,080 --> 00:10:23,410


209
00:10:23,410 --> 00:10:27,030


210
00:10:27,030 --> 00:10:29,500


211
00:10:29,500 --> 00:10:30,730


212
00:10:30,730 --> 00:10:32,570


213
00:10:32,570 --> 00:10:33,920


214
00:10:33,920 --> 00:10:36,300


215
00:10:36,300 --> 00:10:38,360


216
00:10:38,360 --> 00:10:41,390


217
00:10:41,390 --> 00:10:43,470


218
00:10:43,470 --> 00:10:45,950


219
00:10:45,950 --> 00:10:49,400


220
00:10:49,400 --> 00:10:50,500