V minulém videu jsem představil myšlenku parciálního derivování
složené funkce.
A řekli jsme, že když máme funkci psi, řecké písmeno,
psi, to je funkce proměnné x a y.
A kdybych chtěl udělat parciální derivaci tohoto podle --
ne já chci udělat derivaci, ne parciální derivaci --
derivaci tohoto podle x, to je rovno
parciální derivaci psi podle x plus parciální derivaci
psi podle y krát dy dx.
A v minulém videu jsem to nedokázal, ale
naštěstí jsem vám dal nějakou představu, takže mi můžete
věřit.
Možná jednou to dokážu více
precizněji, ale můžete najít důkaz na webu, pokud vás
zajímá derivování složené funkce u parciálních derivací.
Takže nechme to teď být a pojďme odhalit další vlastnost
parciální derivace a potom bude schopni pochopit
exaktní rovnice.
Protože zjistíte, že to je velmi přímočaré
řešit exaktní rovnice, ale pochopení je trochu
více -- nechci říct těžší, protože když
to pochopíte, tak už to vlastně máte.
Co kdybych měl, řekněme tuto funkce psi a
udělal bych parciální derivace psi podle x prvně.
Napíšu psi.
Nemusím psát x a y pokaždé.
A potom bych udělal parciální derivaci
podle y.
Jen podle notace, toto můžete psát jako, můžete
se na to trochu dívat jako na násobení operátorů,
můžete to tedy psát takto.
Parciální derivace (del) na druhou krát psi nebo del na druhou psi, dělěno
del y del nebo dx.
A to může být taky napsáno jako -- a to já preferuji,
protože to nemám všechny ty zbytečnosti
okolo.
Můžete prostě říct, parciální derivace, prvně jsme parciálně zderivovali
podle x. To znamená udělali jsme parciální derivaci
psi podle x.
A potom parciální derivaci podle y.
Takže to je jedna situace k zvážení.
Co se stane když děláme parciální derivaci podle x
a potom podle y?
Podle x považujete y za konstantu abyste dostali
parciální derivaci podle x.
Ignorujete y.
A potom x je konstantou a děláte
parciální derivaci podle y.
Jaký je rozdíl mezí tímto a tím kdybychom
zaměnili pořadí?
Co se stane kdybychom -- napíšu to jinou
barvou -- kdybychom měli psi a dělali bychom parciální derivaci prvně
podle y a potom
podle x?
Přesně podle notace, je abyste s tím byli obeznámeni
to by mělo být -- takže parciální derivace x, parciální derivace y.
A toto je operátor.
To může být trochu matoucí tady, mezi
těmito dvěma zápísy, ačkoliv zamenají to stejné,
pořadí je opačné.
To protože to je jiný způsob
přemýšlení o tom.
Toto říká, ok, prvně parciální derivace podle x a potom podle y.
Tohle na to pohlíží více jako operátor, takže udělámě prvně
parciální derivaci podle x, a potom podle y, jako kdybyste
násobili operátory.
Nicméně, toto může být napsáno jako parciální derivace
y podle x -- pardon -- parciální derivace y a potom
uděláme parciální derivaci podle x.
Nyní vám řeknu, že když každá z
prvních parciálních derivací je spojitá -- a většina
funkcí se kterými my normálně pracujeme, dokud
neexistují žádné nespojisti, díry nebo
nějaké zvláštnosti v definici dané funkce,
jsou tyto funkce obvykle spojité.
Zvláště v prvním ročníku analýzy
se pravděpodobně budeme zabývat spojitými
funkcemi.
Jestliže obě z těchto funkcí jsou spojité a jestliže
jejich první parciální derivce jsou spojité potom tyto dva zápísy
jsou si rovny.
takže psi podle xy bude rovno psi podle yx.
Teď můžeme použit tento poznatek, který je pravidle pro
derivování složené funkce používající parciální derivace a
tento poznatek nyní vyřeší určitý typ diferenciálních
rovnic, rovnice prvního řádu nazývané
exaktní rovnice.
A jak exaktní rovnice vypadá?
Exaktní rovnice vapadá takto.
Složitý výběr barvy.
Řekněme, že tohle je moje diferenciální rovnice.
Mám nějakou funkci proměných x a y.
Nevím, to může být x na druhou krát
cosinus y nebo něco.
Může to být jakákoliv funkce x a y.
Plus nějaká funkce x a y, budeme ji říkat N, krát dy,
dx je rovno 0.
To je -- dobře, ještě nevím jestli to je exaktní rovnice,
ale když uvidíte něco takového, první impuls
by měl být -- dobře, vlastně, váš ůplně první
impuls je jestli je to separovatelná rovnice?
A měli byste zkusit použít nějakou algebru
abyste zjistili zda je to separovatelní rovnice, protože to
vždycky nejpříměší způsob.
Jestli to není separovatelná rovnice, ale můžete to převést do této podoby,
řekne, hey, je to exaktní rovnice?
A co je exaktní rovnice?
Dobře, podívejme se na to.
Tento vzorec tady vypadá strašlivě
jako tento vzorec.
Co kdyby M byla parciální derivace psi podle x?
Co když psi podle x je rovno M?
Co když toto je psi podle x?
A co kdyby toto bylo psi podle y?
Takže psi podle y je rovno N.
Co když?
Jen říkám nevíme to jistě, ano?
Jestliže uvidíte náhodou toto někde, nebudete vědět
jistě, zda je to parciální derivace podle x nějaké
funkce a toto je parciální derivace podle y
nějaké funkce.
Ale jen říkáme co když?
Kdyby to byla pravda, mohli bychom to přepsat jako
parciální derivace psi podle x plus parciální derivace psi
podle x krát dy dx se rovna 0.
A toto tady, ta leva strana, to je
stejná věc jako tady, ano?
To je prostě derivace psi podle x používající
pravidlo pro derivování složené funkce pro parciální derivace.
Takže to můžete přepsat.
Můžete to přepsat, toto je derivace psi
podle x, uvnitř funkce funkce proměnných x
y je rovno 0.
Takže když se podíváte, uvidíte diferenciální rovnici a ta má tento
tvar, a řekne, tohle nemůžu rozdělí, ale možná
to je exaktní rovnice.
A upřímně