0:00:00.000,0:00:00.710
لقد قدمت لكم

0:00:00.710,0:00:04.470
فكرة حول

0:00:04.470,0:00:05.520
"قانون تراتبية المشتقات الجزئية"

0:00:05.520,0:00:10.080
وقلنا: حسنا؛ إذا كان لدي الدالة بسي (psi: ψ): حرف يوناني

0:00:10.080,0:00:14.020
فهي دالة على وظيفة الدالة x و y

0:00:14.020,0:00:16.770
وإذا أردتُ أن أتناول المشتق الجزئي من "بسي" بالنظر إلى الدالة x

0:00:16.770,0:00:19.360
عفواً، إذا أردت أن آخذ المشتق الكامل وليس المشتق الجزئي

0:00:19.360,0:00:23.430
من "بسي" مع الرمز x، فإن ذلك يتطابق مع

0:00:23.430,0:00:29.540
الدالة الجزئية: بسي (psi: ψ) بالإشارة إلى x وأيضاً

0:00:29.540,0:00:35.400
بالإشارة إلى الرمز y، مع المتغيرات المتكررة dy و dx.

0:00:35.400,0:00:37.630
لم يتسن لي إثبات ذلك في نهاية هذا التسجيل

0:00:37.630,0:00:40.260
لكني أتمنى أن أكون قد قدمت فكرة أولية تدفعك إلى

0:00:40.260,0:00:40.740
تصديق ما ذكرت

0:00:40.740,0:00:43.030
ولعله من الممكن أن أثبت لك ما ذكرت بشكل

0:00:43.030,0:00:46.120
أبلغ، ولعله أيضاً من الممكن أن تجد ما يثبت ذلك بالبحث عنه في الإنترنت إذا كنت

0:00:46.120,0:00:49.960
مهتماً بمسألة قواعد تراتبية المشتقات الجزئية الرياضية

0:00:49.960,0:00:52.760
دعونا هنا نضع هذه المسألة جانباً، وننظر إلى خاصية أخرى

0:00:52.760,0:00:55.600
من المشتقات الجزئية، وبعدها نكون على استعداد للحصول

0:00:55.600,0:00:57.080
على ما هو بديهي بالمنطق الرياضي وراء معادلات محددة

0:00:57.080,0:00:59.070
بما أنك سوف تكتشف ذلك بنفسك لاحقاً، أرى أنه من البديهي

0:00:59.070,0:01:02.210
حل معادلات محددة، لكن الحدس الرياضي أو المنطقي لربما كان

0:01:02.210,0:01:05.140
أكثر صعوبة. حسناً لا أريد أن أصفه بهذا الوصف، لأن

0:01:05.140,0:01:06.890
الحدس المنطقي ملكة يمكن أن تمتلكها

0:01:06.890,0:01:11.490
لذا ماذا لو كانت لدي الدالة بسي (psi: ψ)، وأردت أن أستخرج

0:01:11.490,0:01:16.580
المشتق الجزئي منها بواسطة الإشارة إلى الرمز x. أولاً:

0:01:16.580,0:01:17.510
سوف أكتب هذه الدالة كما هي: الدالة الجزئية "بسي" psi

0:01:17.510,0:01:19.640
لست مضطراً هنا إلى كتابة الرمز y أو x في كل مرة

0:01:19.640,0:01:22.890
يكفي هنا أن أشير إلى المشتق المتحيز مع

0:01:22.890,0:01:25.485
الإشارة إلى الرمز y

0:01:25.485,0:01:28.920
يمكن أن تكتب المعادلة

0:01:28.920,0:01:32.730
باستخدام تنويتة (قائمة علامات) الرموز الرياضية،

0:01:32.730,0:01:34.620
أو كما لو كنت تريد أن تزيد من القيم العددية بشكل تلقائي

0:01:34.620,0:01:36.050
ولذا فإنه من الممكن كتابتها على هذه الطريقة على النحو التالي:

0:01:36.050,0:01:42.400
الدالة الجزئية (دلتا) أُسّ 2 ضرب "بسي"، أو الدالة أس "بسي"

0:01:42.400,0:01:47.540
على دلتا y ودلتا x المعقوص

0:01:47.540,0:01:50.330
ويمكن كتابتها بطريقة مختلفة؛ إلا أن هذه الطريقة هي الطريقة التي أفضلها

0:01:50.330,0:01:53.040
نظراً لأن هذه المعادلة لا تحتمل الدوال الإضافية التي يمكن الاستغناء عنها

0:01:53.040,0:01:53.800
في أي معادلة

0:01:53.800,0:01:56.350
وعليه نكتب الدالة الجزئية

0:01:56.350,0:02:00.050
بالإشارة إلى x أولاً

0:02:00.050,0:02:01.240
وهذا يشير إلى الدالة "بسي" مع الرمز x

0:02:01.240,0:02:04.060
وبعدئذ نشير هنا إلى الدالة الجزئية وذلك بوصلها مع الرمز y

0:02:04.060,0:02:05.870
هذه مسألة واحدة جديرة بالاهتمام

0:02:05.870,0:02:07.970
ما المعطى الذي يمكن الحصول عليه لو أخذنا الدالة الجزئية المشار إليها بواسطة x

0:02:07.970,0:02:08.650
ثم بعد ذلك y؟

0:02:08.650,0:02:13.100
بإحالة الدالة الجزئية إلى x عليك أن تبقي الرمز y ثابتاً لأجل الحصول

0:02:13.100,0:02:14.190
على الدالة الجزئية

0:02:14.190,0:02:15.000
لا تعر الرمز y هنا أي اهتمام

0:02:15.000,0:02:17.060
بعد ذلك تُبقي الرمز x ثابتاً ثم تأخذ

0:02:17.060,0:02:18.670
الدالة الجزئية المشار إليها بواسطة y

0:02:18.670,0:02:21.480
هنا ما وجه الاختلاف بين ما قلناه آنفا، وماذا لو قمنا بتغير

0:02:21.480,0:02:22.370
تراتبية المعادلة؟

0:02:22.370,0:02:24.970
ماذا لو... دعوني هنا أكتب المعادلة

0:02:24.970,0:02:30.400
بلون مختلف. ماذا لو كتبنا هنا (بسي) وأردنا أن نكتب الدالة الجزئية

0:02:30.400,0:02:34.480
بالإشارة إلى الرمز y، وبعدئذ أردنا أن نكتب الدالة الجزئية

0:02:34.480,0:02:36.510
بالإشارة إلى الرمز x؟

0:02:36.510,0:02:40.640
فقط مع تنويتة الرموز الرياضية التي تطمئن في استعمالها

0:02:40.640,0:02:44.660
والتي لربما كانت - الدالة الجزئية x، والدالة الجزئية y

0:02:44.660,0:02:46.360
وهذه هي المعطى التلقائي لها

0:02:46.360,0:02:48.750
ولربما كانت التراتبية هنا غامضة بعض الشي هنا

0:02:48.750,0:02:51.060
وبخاصة بين هذين الرمزين

0:02:51.060,0:02:52.740
حتى وإن كانتا الشيء نفسه

0:02:52.740,0:02:54.250
وذلك بسبب أن هذه المعادلة تختلف تراتبيتها من حيث

0:02:54.250,0:02:54.910
طريقة التفكير الرياضي بها

0:02:54.910,0:02:57.990
ما ذكرناه يحيلنا إلى القول إن الدالة الجزئية تكون مع الرمز x، ثم بعده الرمز y

0:02:57.990,0:03:00.160
هذه الرؤية المنطقية في عرض هذه المعادلة تعتبر منطقية من حيث المعطيات التلقائية، وعليه نأخذ

0:03:00.160,0:03:03.000
الدالة الجزئية x أولاً

0:03:03.000,0:03:04.950
ثم بعدها y

0:03:04.950,0:03:08.840
لكن على أية حال، يمكن تمثيل هذه المعادلة عن طريق الدالة الجزئية y

0:03:08.840,0:03:13.070
مع الإشارة إلى الرمز x، عفواً أقصد مع الإشارة إلى y، ثم بعد ذلك

0:03:13.070,0:03:14.910
نكتب الدالة الجزئية y مع الإشارة إلى الرمز x

0:03:14.910,0:03:17.980
الآن، سوف أخبركم بأن الرمز الأول من كل دالة جزئية

0:03:17.980,0:03:20.840
تعتبر مستمرة في التراتبية المنطقية وفي معظم وظائفها

0:03:20.840,0:03:24.510
التي نتعامل معها في النطاق المألوف ما دام ليس هناك

0:03:24.510,0:03:26.780
أية فجوات تراتبية في العرض المنطقي

0:03:26.780,0:03:29.070
أو غرابة في التحليل التعريفي الوظيفي لتلك التراتبية

0:03:29.070,0:03:30.290
هي عادة تكون متسلسلة منطقياً وبصورة مستمرة

0:03:30.290,0:03:32.990
وبخاصة في دورات السنة الأولى من مادة حساب التفاضل والتكامل

0:03:32.990,0:03:35.810
والتي من المحتمل أن نتصدى من خلالها مع الوظائف غير المنقطعة في تلك المادة

0:03:35.810,0:03:37.620
وفي نطاق المشتقات الجزئية على وجه التحديد

0:03:37.620,0:03:40.480
إذا كانت كلا الوظيفتين مستمرتين

0:03:40.480,0:03:45.410
أو إحدى الجزئيات الأولى مستمرة، فإن كلاهما سوف تكونان

0:03:45.410,0:03:47.170
متساويتين إزاء بعضهما البعض

0:03:47.170,0:03:54.950
ولذا، فإن الدالة (بسي) مع الرمزين xy ستكون متساوية مع الدالة (بسي) مع الرمزين yx

0:03:54.950,0:04:01.220
الآن، نستطيع أن نوظف هذا المعلومة المختصة بقاعدة التراتبية المنطقية بواسطة المشتقات الجزئية

0:04:01.220,0:04:04.870
لأجل معالجة معادلات محددة

0:04:04.870,0:04:09.060
تتعلق بحساب التفاضل

0:04:09.060,0:04:13.060
والذي لا يعرف إلا بواسطة معادلات رياضية

0:04:13.060,0:04:14.270
مستغرقة في التخصيص

0:04:14.270,0:04:17.860
وهنا نسأل، كيف تبدو هذه المعادلة المحددة والمستغرقة في التخصيص؟

0:04:17.860,0:04:21.990
هي تبدو على النحو التالي

0:04:21.990,0:04:23.710
لطالما واجهت صعوبة في اختيار الألوان، على أية حال

0:04:23.710,0:04:26.290
لنقل هذه هي معادلة حساب التفاضل

0:04:26.290,0:04:29.550
لدي هنا بعض وظائف الرمز x و y

0:04:29.550,0:04:31.830
ولذا، لا أعرف حقيقة، فلربما كان الرمز x بالأس المضاعف

0:04:31.830,0:04:32.920
قريناً مع الرمز y أحيانًا

0:04:32.920,0:04:34.650
كما إنه من الممكن أن يشير x و y إلى أية وظيفة

0:04:34.650,0:04:40.350
هذا بالإضافة إلى وظائف أخرى لـ x و y والتي من الممكن أن نصطلح عليها بالرمز n

0:04:40.350,0:04:44.900
والرمز dx هنا يساوي القيمة صفر

0:04:44.900,0:04:47.520
لست متأكداً ما إذا كانت هذه المعادلة دقيقة

0:04:47.520,0:04:50.880
لكن لو رأيت معادلة بهذه التراتبية، فإن الباعث الأول من خلال رؤيتك لها

0:04:50.880,0:04:52.990
سيكون قائماً على تساؤلك فيما لو كانت

0:04:52.990,0:04:54.500
قابلة للانفصال

0:04:54.500,0:04:56.180
لزاماً أن تجري عملية حسابية

0:04:56.180,0:04:57.620
بعض الشيء لترى ما إذا كان من الممكن فصلها

0:04:57.620,0:04:59.210
لأن ما قدمته يعتبر الأسهل والأسرع في تمثيل هذه المعادلة

0:04:59.210,0:05:01.770
لو كانت غير قابلة للانفصال، وأحسست بأنه من الممكن تمثيلها على هذه الصيغة

0:05:01.770,0:05:04.460
فحري بك أن تسأل نفسك: هل تعتبر معادلة تفاضلية ثابتة؟

0:05:04.460,0:05:06.340
ثم عليك أن تسأل أيضاً: ما المعادلة التفاضلية الثابتة؟

0:05:06.340,0:05:07.270
حسنا، انظر بشكل سريع

0:05:07.270,0:05:11.600
هذه الصغية تبدو غير جيدة من حيث تمثيلها

0:05:11.600,0:05:14.000
هناك صيغ كثيرة على منوال هذه الصيغة

0:05:14.000,0:05:18.210
ماذا لو كان M الدالة الجزئية لـ "تسي"

0:05:18.210,0:05:24.920
ماذا لو كان الدال "بسي" والرمز x متساويين مع الرمز M

0:05:24.920,0:05:26.710
ماذا لو أن الرمز M كان الدال "بسي" والرمز x

0:05:26.710,0:05:29.570
ماذا لو أن الرمز M كان الدال (بسي) والرمز y

0:05:29.570,0:05:32.500
وبالتالي فإن الدالة "بسي" والرمز y يعادلان الرمز N

0:05:32.500,0:05:32.950
ماذا لو؟

0:05:32.950,0:05:34.670
وأقولها هنا: لو؛ لأننا لسنا متأكدين. أليس كذلك؟

0:05:34.670,0:05:37.500
لو ترى هذه التراتبية في غير هذا السياق وبشكل عشوائي، فإنك لن تعرف

0:05:37.500,0:05:40.200
بأنها الدالة الجزئية التي يشار معها الرمز x ذو الدلالات الوظيفية المحددة

0:05:40.200,0:05:43.060
وبأنها الدالة الجزئية التي يشار معها الرمز y

0:05:43.060,0:05:43.830
ذو الدلالات الوظيفية المحددة

0:05:43.830,0:05:45.810
لكننا في سياق الحديث عن هذه المعادلة، نطرح سؤالا فيما لو

0:05:45.810,0:05:49.650
كان الترابط بين الدالة والرموز صحيحاً، حينها نستطيع إعادة تمثيل المعادلة

0:05:49.650,0:05:52.870
على النحو التالي: الدالة الجزئية "بسي" مع الرمز x مضافة إلى الدالة الجزئية "بسي"

0:05:52.870,0:05:58.680
مع الرمز y، ومضروبة على الرمز dy و dx، والتي تساوي القيمة صفر

0:05:58.680,0:06:02.050
وما يمكن رؤيته هنا في الجانب الأيسر يعتبر

0:06:02.050,0:06:04.790
متطابقًا مع المعادلة المتمثلة في الجانب الأيسر هنا، أليس كذلك؟

0:06:04.790,0:06:09.040
وبالتالي نحصل على قيمة المشتق الأولي "بسي" مع الرمز x

0:06:09.040,0:06:10.940
والتي نستنتجها بهذه الطريقة التي تعرف بـ "قانون تراتبية المشتقات الجزئية"

0:06:10.940,0:06:12.710
يمكنك إعادة تمثيل هذا القانون

0:06:12.710,0:06:17.130
يمكنك أن تعيد قراءة القانون بكتابة دالة "بسي" المشتقة والمضافة إلى الرمز x

0:06:17.130,0:06:20.480
والتي تعكس دالة x الوظيفية

0:06:20.480,0:06:23.410
و y والتي تساوي القيمة صفر

0:06:23.410,0:06:27.730
لذا، لو رأيت معادلة تفاضل، وقد تضمنت هذه الصيغة القانونية

0:06:27.730,0:06:31.070
ثم قلت لنفسك: حسنا، إني لا أستطيع فصلها، لكن، مهلاً لربما

0:06:31.070,0:06:32.030
كانت معادلة تفاضلية ثابتة

0:06:32.030,0:06:35.940
بكل صراحة، لو كان ما قد قلنا هو ما قد تم تغطيته مؤخراً قبل حلول

0:06:35.940,0:06:38.800
الاختبار الجاري، فإنه من المحتمل أن تكون المعادلة كذلك كما هي.

0:06:38.800,0:06:40.940
لكن، لو نظرت إلى هذه الصيغة، لربما قلت

0:06:40.940,0:06:42.070
هي معادلة تفاضلية منضبطة من حيث التراتبية

0:06:42.070,0:06:44.580
ولو كانت كذلك - وسوف أريك كيفية اختبارها

0:06:44.580,0:06:48.350
في ثوان معدودة بواسطة هذه المعلومة - عندئذ

0:06:48.350,0:06:52.550
فإنه من الممكن تمثيلها كدالة مشتقة من وظيفة الدالة "بسي"

0:06:52.550,0:06:54.840
حيث الدالة الجزئية "بسي" مع الرمز x

0:06:54.840,0:06:57.720
والدالة الجزئية "بسي" مع الرمز y

0:06:57.720,0:06:59.655
وحينها يكون باستطاعتك تمثيل القانون عن طريق أخذ الدالة المشتقة من المعادلتين

0:06:59.655,0:07:01.370
عفواً: أقصد أخذها من الدوال المشتقة المتضادة من المعادلتين

0:07:01.370,0:07:06.890
لتصل بهذه الحيثيات إلى دالة "بسي" مع الرمزين x و y

0:07:06.890,0:07:10.070
والتي تساوي الرمز المعطى c كعنصر فعال لفرض حل استنتاجي

0:07:10.070,0:07:12.770
إذن، هناك أمران يجب الانتباه لهما

0:07:12.770,0:07:16.470
وعندها لربما قلت: حسنا سال، أظنك بدأت تستوعب مسألة

0:07:16.470,0:07:19.550
دوال "بسي"، وكل الدوال الجزئية وكل الرموز التي ذكرناها

0:07:19.550,0:07:22.020
أولاً: كيف لي أن أعرف بأنها معادلة التفاضل الثابتة؟

0:07:22.020,0:07:24.590
ولو كانت فعلاً كذلك، ما المعطى الذي يخبرنا بأن هناك بعضًا من دوال "بسي"

0:07:24.590,0:07:28.290
وكيف يمكن لي أن أحلها لأجل استنتاج قيمة الدال "بسي"؟

0:07:28.290,0:07:32.380
حل هذه المسألة يعتمد على استعمال المعطيات

0:07:32.380,0:07:34.690
التي سأقدمها الآن

0:07:34.690,0:07:38.150
نعرف بأنه لو كان الدال "بسي" وقيمه المشتقة غير منقطعة

0:07:38.150,0:07:42.100
في حقل حسابات التفاضل، وبخاصة عندما تأخد الدالة الجزئية

0:07:42.100,0:07:45.760
مع الرمزين x و y

0:07:45.760,0:07:46.980
فإن هذه التراتبية تُتّبع في حال تمثيلها بشكل طردي

0:07:46.980,0:07:48.930
ولذا، قلنا: هذه التراتبية (الدال الجزئي مع الرمز x)

0:07:48.930,0:07:50.180
أليس كذلك؟

0:07:50.180,0:07:52.610
وهذه التراتبية

0:07:52.610,0:07:55.920
(الدال الجزئي مع الرمز y)

0:07:55.920,0:07:59.880
ولذا، لو كانت هذه معادلة تفاضلية ثابتة، ولو كانت بالفعل كذلك

0:07:59.880,0:08:03.250
ولو أخذنا الدال الجزئي منها

0:08:03.250,0:08:05.330
مع الرمز y

0:08:05.330,0:08:11.600
ولو أخذنا الدالة الجزئية من M مع الرمز y

0:08:11.600,0:08:15.560
فإن الدالة الجزئية لـ "بسي" مع الرمز x يساوي M

0:08:15.560,0:08:18.490
ولو أخذنا الدال الجزئي من تلك الرموز مع y

0:08:18.490,0:08:22.450
نستطيع حينها إعادة تمثيل القانون على نحو

0:08:22.450,0:08:28.090
تلازمي يجعلها متساوية مع الدال N والرمز x، أليس كذلك؟

0:08:28.090,0:08:31.976
الدال الجزئي "بسي" مع الرمز y يساوي N

0:08:31.976,0:08:34.760
وعليه، لو أخذنا الدوال الجزئية مع الرمز x

0:08:34.760,0:08:40.964
فإننا نعرف بأنها ستكون متعادلة، لو كان الدال "بسي"

0:08:40.964,0:08:44.400
ودواله الجزئية غير منقطعة على نفس منوال تلك التراتبية

0:08:44.400,0:08:49.320
وحينها، تكون متساوية أيضًا

0:08:49.320,0:08:51.990
هذا كله طريقة فحص المعطيات

0:08:51.990,0:08:53.930
فيما لو كانت المعادلة هي معادلة التفاضل الثابتة

0:08:53.930,0:08:56.300
أود هنا إعادة تمثيل القانون مرة أخرى

0:08:56.300,0:08:56.690
وبصورة مختصرة

0:08:56.690,0:09:04.870
لو رأيت صيغة ما على نحو: M من x، وy مع N من x

0:09:04.870,0:09:09.580
و y مضاعفة مع الرمزين dy و dx وتساوي القيمة صفر

0:09:09.580,0:09:13.110
حينها تأخذ المشتق الجزئي من M مع الرمز

0:09:13.110,0:09:18.280
y ثم تأخد المشتق الجزئي من N مع

0:09:18.280,0:09:24.030
الرمز x لتصل إلى نتيجة تجعل المعادلتين متساوية

0:09:24.030,0:09:26.410
شريطة أن تقبل تراتبيتها الاعتيادية التراتبية الطردية

0:09:26.410,0:09:30.930
هذه هي معادلة التفاضل الثابتة

0:09:30.930,0:09:32.410
هي معادلة التفاضل الثابتة

0:09:32.410,0:09:35.510
ولو كانت بالفعل كذلك، فإن ذلك يخبرنا بأن

0:09:35.510,0:09:47.140
الدال "بسي" والمشتق، على سبيل المثال، من "بسي" مع الرمزين x و y

0:09:47.140,0:09:52.200
يساوي القيمة صفر، أو الدال "بسي" مع الرمزين x و y الذي يساوي القيمة c كمعطى لحل

0:09:52.200,0:09:53.050
المعادلة

0:09:53.050,0:09:58.480
والمشتق الجزئي من "بسي" مع الرمز x يساوي

0:09:58.480,0:09:59.740
الرمز M

0:09:59.740,0:10:03.760
والمشتق الجزئي "بسي" مع الرمز y يكون

0:10:03.760,0:10:05.340
متساوياً مع N

0:10:05.340,0:10:07.550
سأعرض لكم في الفيديو التعليمي القادم كيفية استعمال

0:10:07.550,0:10:09.810
هذه المعطيات لاستنتاج قيمة الدال "بسي"

0:10:09.810,0:10:11.640
هنا بعض الأمور التي أود أن أشير إليها

0:10:11.640,0:10:13.720
والتي سوف تكون متعلقة بالمشتق الجزئي "بسي"

0:10:13.720,0:10:17.620
مع الرمز x، لكن عندما نتناول نوع تراتبية هذا القانون

0:10:17.620,0:10:19.590
فإننا نتناوله من جهة الإشارة إلى الرمز y لأننا نود أن نحصل

0:10:19.590,0:10:21.080
على دال مشتق مركب

0:10:21.080,0:10:23.410
وبصورة متشابه مع المشتق "بسي" ستكون النتيجة متشابهة في حين التصدي للدال الجزئي "بسي"

0:10:23.410,0:10:27.030
مع الرمز y، ولكن، عندما نقوم بذلك، فإننا نأخذ

0:10:27.030,0:10:29.500
دال "بسي" الجزئي مع الرمز x من أجل الحصول على

0:10:29.500,0:10:30.730
دال "بسي" المشتق.

0:10:30.730,0:10:32.570
وهنا، هذه التراتبية بين الدال المشتق والدال الجزئي تكون مع الرمز y

0:10:32.570,0:10:33.920
ومن ثمة مع الرمز x، وعليه فلزاماً أن تستدرك ذلك

0:10:33.920,0:10:36.300
على أية حال، أعرف أنه لربما كان بعضه متضمناً، لكنك

0:10:36.300,0:10:38.360
عرفت جيداً ما وددت أن أصبو إليه. وأعتقد بأن لديك

0:10:38.360,0:10:41.390
الحدس الرياضي حول منطقية ومنهجية

0:10:41.390,0:10:43.470
معادلات رياضية معينة، وكيفية تراتبية حيثياتها

0:10:43.470,0:10:45.950
أراكم في الفيديو التعليمي القادم، والذي فيه سنعالج

0:10:45.950,0:10:49.400
معادلات رياضية محددة

0:10:49.400,0:10:50.500
حول حساب التفاضل الثابت