Máme za úkol odhadnout druhou odmocninu ze 45 s přesností na setiny
a předpokládám, že bez kalkulačky,
protože to by bylo příliš snadné.
Uvidíme, jestli se nám to podaří pouze za pomoci tužky a papíru.
Takže máme zde druhou odmocninu ze 45.
45 není mocnina přirozeného čísla, rozhodně není.
Jaké mocniny přirozených čísel jsou okolo?
Víme, že výsledek bude menší, než nejbližší vyšší druhá mocnina.
To je 49, což je 7 krát 7.
Takže menší než druhá odmocnina ze 49,
a větší, než druhá odmocnina z 36.
Druhá odmocnina ze 36 je 6
a druhá odmocnina ze 49 je 7.
Takže hledaná hodnota leží mezí 6 a 7.
Naše odmocnina je vzdálená pouze 4 od 49
a 9 od 36.
Rozdíl mezi 36 a 49 je 13.
Mezi druhou mocninou 6 a 7 je mezera o velikosti 13.
A zde tedy máme 9 lomeno 13.
Je to pouze aproximace, přiblížení, nebude to fungovat dokonale.
Je to umocňování, takže tam není lineární závislost.
Ale výsledek bude blíž 7 než k 6.
Minimálně mocnina… nebo 45 je přibližně 9 třináctin mezi,
můžeme zkusit asi dvě třetiny vzdálenosti. Řekněme 6,7 hádám.
Je to asi ve dvou třetinách mezi 6 a 7.
A teď můžeme vypočítat toto, pokud chceme. A udělejme to, ze srandy.
9 lomeno 13 jako desetinné číslo dostaneme jak?
Dostáváme 13 je kolikrát v 9? Sem přidáme nějaká desetinná místa.
13 se nevejde do 9, ale do 90 ano.
Vyzkoušejme, jestli se vejde 7krát. Vejde se 6krát.
Takže 6 krát 3 je 18, 6 krát 1 je 6, plus 1 je 7.
Teď to odečteme a dostaneme 12.
Vlezlo se to tam téměř přesně sedmkrát.
Tato hodnota je téměř 0,7.
Když se zeptáme, kolikrát se vleze 13 do 120?
Vypadá to, že devětkrát? Ano, devětkrát.
9 krát 3 je 27.
9 krát 1 je 9, plus 2 je 11.
Máte zbytek 3.
Po přesnějším výpočtu máme 0,69
Takže 6,7 je opravdu dobrý odhad. Je to 0,69 intervalu mezi 36 a 49.
Takže zhruba 0,69 vzdálenosti mezi 6 a 7.
Opět pouze orientačně, nedává nám to přesnou odpověď,
ale můžeme to použít jako dobrý počáteční odhad
a uvidíme, jak to funguje.
Vyzkoušejme tedy 6,7.
A správná cesta je vypočítat druhou mocninu 6,7.
Takže 6,7 krát 6,7.
Víme, že 7 krát 7 je 49.
7 krát 6 je 42 plus 4 je 46.
Sem si dám nulu a posuneme se o jedno místo doleva,
6 krát 7 je 42,
4 jdou dál,
6 krát 6 je 36, plus 4 je 40.
9 plus 0 je 9.
6 plus 2 je 8.
4 plus 0 jsou 4 a zde máme ještě jednu 4.
Máme dvě číslice za desetinnou čárkou
jedna, dvě
dostáváme tímto 44,89.
6,7 je opravdu velmi blízko, ale ještě nemáme správně setiny,
vůbec nemáme setiny.
Zatím jsme se dostali pouze k desetinám,
Chceme zjistit odmocninu ze 45… 6,7 na druhou je menší, než 45.
Nebo můžeme říct, že 6,7 je menší, než druhá odmocnina ze 45.
Zkusme 6,71 a trochu to zvýšit, uvidíme, dostaneme-li se z 44,89 na 45,
protože už jsme opravdu blízko.
Zkusme 6,71.
A ještě jednou budeme počítat z hlavy,
předpokládáme, že podle zadání nepoužíváme kalkulačku.
1 krát 1 je 1,
1 krát 7 je 7,
1 krát 6 je 6.
Dáme sem nulu.
7 krát 1 je 7,
7 krát 7 je 49,
7 krát 6 je 42, plus 4 je 46,
Pak tu máme dvě nuly,
6 krát 1 je 6,
6 krát 7 je 42,
tady si napíšeme novou čtyřku,
6 krát 6 je 36, plus 4 je 40.
Je zajímavé, jak nám to tady narostlo, poté co jsme přidali tuhle setinu.
Protože, tahle část tady… no, uvidíme co se stane.
Máme tu 1,
7 plus 7 je 14,
1 plus 6 plus 9 je 16, plus 6 je 22,
2 plus 6 plus 2 je 10,
a pak 1 plus 4 je 5,
A pak připíšeme 4.
A máme čtyři číslice za desetinnou čárkou.
Takže když umocňujeme 6,71,
dostáváme, že 6,71 na druhou se rovná 45,0241.
6,71 je o něco větší...
Zkusím to objasnit.
Víme, že 6,7 je o něco málo menší, než odmocnina ze 45,
a také víme, že je to menší než 6,71.
Když vypočítáme druhou mocninu 6,71, dostaneme o něco více, než 45.
Klíčové je, že když umocníme toto,
takže 6,7 na druhou nám dá 44,89 a to je o 11 setin menší, než 45.
Když se podíváme na druhou mocninu 6,71, ta je pouze o 2,4 setiny větší, než 45.
Tohle je blíže odmocnině z 45.
Takže s přesností na setiny, je 6,71 přesnější výsledek.