WEBVTT

00:00:06.412 --> 00:00:10.558
Du och din skeppsbrutne kamrat
är strandsatta på en öde ö.

00:00:10.558 --> 00:00:13.470
Ni kastar tärning om den sista bananen.

00:00:13.470 --> 00:00:15.414
Ni är överens om följande regler:

00:00:15.414 --> 00:00:17.006
Ni kommer att kasta 2 tärningar,

00:00:17.006 --> 00:00:21.069
och om den högsta siffran är
1, 2, 3 eller 4

00:00:21.069 --> 00:00:23.353
vinner spelare nummer 1.

00:00:23.353 --> 00:00:28.106
Om den högsta siffran är 5 eller 6
vinner spelare nummer 2.

00:00:28.106 --> 00:00:30.154
Vi tittar på det två gånger till.

00:00:30.154 --> 00:00:33.247
Här vinner spelare nummer 1

00:00:33.247 --> 00:00:35.721
och här - spelare nummer 2.

00:00:35.721 --> 00:00:37.741
Så vem vill du vara?

00:00:37.741 --> 00:00:42.037
Vid första anblicken kan det verka
som om spelare nummer 1 har övertaget

00:00:42.037 --> 00:00:46.012
eftersom hon vinner om en av fyra
olika siffror är den högsta,

00:00:46.012 --> 00:00:47.236
men egentligen

00:00:47.236 --> 00:00:53.399
har spelare nummer 2 ungefär en
56%-chans att vinna varje match.

00:00:53.399 --> 00:00:57.527
Detta kan bevisas genom att lista
alla möjliga kombinationer man får

00:00:57.527 --> 00:00:59.377
genom att kasta två tärningar

00:00:59.377 --> 00:01:02.674
och sen räkna ihop
de olika spelarnas vinster.

00:01:02.674 --> 00:01:05.148
Dessa är den gula tärningens
möjligheter.

00:01:05.148 --> 00:01:07.584
Dessa är den blå tärningens
möjligheter.

00:01:07.584 --> 00:01:12.994
Diagrammets celler visar kombinationerna
för kastandet av två tärningar

00:01:12.994 --> 00:01:15.269
Om du kastar en 4:a och sen en 5:a

00:01:15.269 --> 00:01:17.655
markeras spelare 2:s vinst
i den här cellen.

00:01:17.655 --> 00:01:22.316
En 3:a och en 1:a ger
spelare nummer 1 en vinst här.

00:01:22.316 --> 00:01:24.817
Det finns 36 möjliga kombinationer;

00:01:24.817 --> 00:01:27.861
alla har en exakt lika stor
sannolikhet att inträffa.

00:01:27.861 --> 00:01:31.236
Matematiker kallar detta för
lika sannolika händelser.

00:01:31.236 --> 00:01:34.651
Nu kan vi reda ut varför
det första antagandet var felaktigt.

00:01:34.651 --> 00:01:37.466
Även om spelare nummer 1
har fyra vinnande nummer

00:01:37.466 --> 00:01:39.560
och spelare nummer 2 bara har två

00:01:39.560 --> 00:01:43.704
är sannolikheten för att alla siffror
är den högsta inte lika stor.

00:01:43.704 --> 00:01:48.681
Det är bara en 1/36-chans att 1
kommer att vara den högsta siffran.

00:01:48.681 --> 00:01:52.857
Men det finns en 11/36-chans
att 6 kommer att vara högst.

00:01:52.857 --> 00:01:55.586
Så om någon av de här
kombinationerna kastas

00:01:55.586 --> 00:01:57.223
vinner spelare nummer 1.

00:01:57.223 --> 00:01:59.518
Och om någon av dessa
kombinationer kastas

00:01:59.518 --> 00:02:01.137
vinner spelare nummer 2.

00:02:01.137 --> 00:02:03.719
Utav de 36 möjliga kombinationerna

00:02:03.719 --> 00:02:09.819
segrar spelare nummer 1 i 16 av fallen
och spelare nummer 2 i 20 av dem.

00:02:09.819 --> 00:02:12.163
Du kan också tänka på det
på det här sättet.

00:02:12.163 --> 00:02:14.359
Enda sättet för spelare nummer 1 att vinna

00:02:14.359 --> 00:02:18.639
är ifall båda tärningarna visar
en 1:a, 2:a, 3:a eller 4:a.

00:02:18.639 --> 00:02:21.596
En 5:a eller 6:a skulle betyda
att spelare nummer 2 vinner.

00:02:21.596 --> 00:02:26.705
Chansen att en tärning visar
en 1:a, 2:a, 3:a eller 4:a är 4 av 6.

00:02:26.705 --> 00:02:30.366
Utfallet för varje tärningskast
är oberoende av det andra.

00:02:30.366 --> 00:02:33.632
Och den gemensamma sannolikheten
för dessa händelser kan beräknas

00:02:33.632 --> 00:02:36.386
genom att deras sannolikheter
multipliceras.

00:02:36.386 --> 00:02:40.822
Så sannolikheten att kasta en 1:a, 2:a,
3:a eller 4:a på båda tärningarna

00:02:40.822 --> 00:02:46.279
är 4/6 gånger 4/6 eller 16/36.

00:02:46.279 --> 00:02:48.467
Eftersom någon måste vinna

00:02:48.467 --> 00:02:54.502
är chansen att spelare nummer 2
vinner 36/36 minus 16/36

00:02:54.502 --> 00:02:57.133
eller 20/36.

00:02:57.133 --> 00:03:01.239
De här är exakt de sannolikheter
som vi fick genom att göra vår tabell.

00:03:01.239 --> 00:03:03.985
Men det här betyder inte
att spelare 2 kommer att vinna

00:03:03.985 --> 00:03:09.413
eller att om du spelade 36 omgångar som
spelare 2 skulle du vinna 20 av dem.

00:03:09.413 --> 00:03:12.624
Därför kallas händelser
som tärningskastande för slumpmässiga.

00:03:12.624 --> 00:03:15.903
Även om du kan beräkna
den teoretiska sannolikheten

00:03:15.903 --> 00:03:17.205
för varje utfall

00:03:17.205 --> 00:03:22.070
får du kanske inte just det här resultatet
om du bara undersöker några få händelser.

00:03:22.070 --> 00:03:26.417
Men om du utför testet
många, många, många gånger

00:03:26.417 --> 00:03:30.357
kommer frekvensen för ett visst utfall
– som det att spelare nummer 2 vinner –

00:03:30.357 --> 00:03:33.418
att närma sig sin teoretiska sannolikhet;

00:03:33.418 --> 00:03:36.372
värdet som vi fick genom att
skriva ner alla möjligheter

00:03:36.372 --> 00:03:39.039
och räkna ihop antalet för båda utfall.

00:03:39.039 --> 00:03:42.994
Så, om du satt på den där öde ön
och kastade tärning för evigt

00:03:42.994 --> 00:03:46.913
skulle spelare nummer 2 tids nog
vinna 56% av omgångarna

00:03:46.913 --> 00:03:49.995
och spelare nummer 1 skulle vinna 44%.

00:03:49.995 --> 00:03:53.564
Men såklart, vid det laget skulle bananen
vara borta för länge sen.