Du och din skeppsbrutne kamrat
är strandsatta på en öde ö.
Ni kastar tärning om den sista bananen.
Ni är överens om följande regler:
Ni kommer att kasta 2 tärningar,
och om den högsta siffran är
1, 2, 3 eller 4
vinner spelare nummer 1.
Om den högsta siffran är 5 eller 6
vinner spelare nummer 2.
Vi tittar på det två gånger till.
Här vinner spelare nummer 1
och här - spelare nummer 2.
Så vem vill du vara?
Vid första anblicken kan det verka
som om spelare nummer 1 har övertaget
eftersom hon vinner om en av fyra
olika siffror är den högsta,
men egentligen
har spelare nummer 2 ungefär en
56%-chans att vinna varje match.
Detta kan bevisas genom att lista
alla möjliga kombinationer man får
genom att kasta två tärningar
och sen räkna ihop
de olika spelarnas vinster.
Dessa är den gula tärningens
möjligheter.
Dessa är den blå tärningens
möjligheter.
Diagrammets celler visar kombinationerna
för kastandet av två tärningar
Om du kastar en 4:a och sen en 5:a
markeras spelare 2:s vinst
i den här cellen.
En 3:a och en 1:a ger
spelare nummer 1 en vinst här.
Det finns 36 möjliga kombinationer;
alla har en exakt lika stor
sannolikhet att inträffa.
Matematiker kallar detta för
lika sannolika händelser.
Nu kan vi reda ut varför
det första antagandet var felaktigt.
Även om spelare nummer 1
har fyra vinnande nummer
och spelare nummer 2 bara har två
är sannolikheten för att alla siffror
är den högsta inte lika stor.
Det är bara en 1/36-chans att 1
kommer att vara den högsta siffran.
Men det finns en 11/36-chans
att 6 kommer att vara högst.
Så om någon av de här
kombinationerna kastas
vinner spelare nummer 1.
Och om någon av dessa
kombinationer kastas
vinner spelare nummer 2.
Utav de 36 möjliga kombinationerna
segrar spelare nummer 1 i 16 av fallen
och spelare nummer 2 i 20 av dem.
Du kan också tänka på det
på det här sättet.
Enda sättet för spelare nummer 1 att vinna
är ifall båda tärningarna visar
en 1:a, 2:a, 3:a eller 4:a.
En 5:a eller 6:a skulle betyda
att spelare nummer 2 vinner.
Chansen att en tärning visar
en 1:a, 2:a, 3:a eller 4:a är 4 av 6.
Utfallet för varje tärningskast
är oberoende av det andra.
Och den gemensamma sannolikheten
för dessa händelser kan beräknas
genom att deras sannolikheter
multipliceras.
Så sannolikheten att kasta en 1:a, 2:a,
3:a eller 4:a på båda tärningarna
är 4/6 gånger 4/6 eller 16/36.
Eftersom någon måste vinna
är chansen att spelare nummer 2
vinner 36/36 minus 16/36
eller 20/36.
De här är exakt de sannolikheter
som vi fick genom att göra vår tabell.
Men det här betyder inte
att spelare 2 kommer att vinna
eller att om du spelade 36 omgångar som
spelare 2 skulle du vinna 20 av dem.
Därför kallas händelser
som tärningskastande för slumpmässiga.
Även om du kan beräkna
den teoretiska sannolikheten
för varje utfall
får du kanske inte just det här resultatet
om du bara undersöker några få händelser.
Men om du utför testet
många, många, många gånger
kommer frekvensen för ett visst utfall
– som det att spelare nummer 2 vinner –
att närma sig sin teoretiska sannolikhet;
värdet som vi fick genom att
skriva ner alla möjligheter
och räkna ihop antalet för båda utfall.
Så, om du satt på den där öde ön
och kastade tärning för evigt
skulle spelare nummer 2 tids nog
vinna 56% av omgångarna
och spelare nummer 1 skulle vinna 44%.
Men såklart, vid det laget skulle bananen
vara borta för länge sen.