Vi i vaš prijatelj brodolomac nasukani ste na pustom otoku
i kockate se za zadnju bananu.
Dogovorili ste ova pravila:
Bacate dvije kocke,
a ako je najveći broj jedan, dva, tri ili četiri,
prvi igrač dobiva
Ako je najveći broj pet ili šest, drugi igrač dobiva.
Pokušajmo još dvaput.
Ovdje, prvi igrač dobiva,
a ovdje drugi igrač.
Pa, koji vi želite biti?
Na prvi pogled, može se činiti da prvi igrač ima prednost,
s obzirom da će on pobijediti ako je bilo koji od četiri broja najveći,
no, zapravo,
drugi igrač ima otprilike 56% šanse da pobijedi u svakoj rundi.
Jedan način da to uvidimo je izlistati sve moguće kombinacije koje se mogu dobiti
bacanjem dviju kocaka,
i onda zbrojiti one u kojima pojedini igrač dobiva.
Ovo su mogućnosti za žutu kocku.
Ovo su mogućnosti za plavu kocku.
Svaka ćelija u tablici prikazuje moguću kombinaciju kada bacite obje kocke.
Ako bacite četiri i zatim pet, označit ćemo
pobjedu drugog igrača u ovoj ćeliji.
Tri i jedan donosi ovdje pobjedu prvom igraču.
Postoji 36 mogućih kombinacija,
svaka s točno jednakom vjerojatnošću pojavljivanja.
Matematičari to nazivaju jednakovjerojatnim događajima.
Sada možemo vidjeti zašto je prvi pogled bio pogrešan.
Iako prvi igrač ima četiri broja koji mu nose pobjedu,
a drugi igrač tek dva,
vjerojatnost za svaki broj da bude najveći nije jednaka.
Šansa je tek 1 naprema 36 da će jedan biti najveći broj.
No, šansa je 11 naprema 36 da će šest biti najveći broj.
Pa, ako su neke od ovih kombinacija dobivene,
prvi igrač će pobijediti.
I ako su neke od ovih kombinacija bačene,
drugi igrač će dobiti.
Od 36 mogućih kombinacija,
16 donosi pobjedu prvom igraču, a 20 drugom.
Možete o tome misliti i na ovaj način.
Jedini način da prvi igrač pobjedi je
da obje kocke pokažu jedan, dva, tri ili četiri.
Pet ili šest bi značilo pobjedu za drugog igrača.
Šansa da jedna kocka pokaže jedan, dva, tri ili četiri je četiri naprema šest.
Rezultat svake kocke je neovisan od druge.
I možete izračunati zajedničku vjerojatnost neovisnih događaja
tako da pomnožite njihove vjerojatnosti.
Tako je vjerojatnost da dobijete jedan, dva, tri ili četiri na obje kocke
jednaka 4/6 puta 4/6, ili 16/36.
Netko mora pobijediti,
pa je šansa da drugi igrač pobijedi 36/36 minus 16/36,
ili 20/36.
To su identične vjerojatnosti koje smo dobili u našoj tablici.
No, to ne znači da će drugi igrač pobijediti,
niti čak da biste, da odigrate 36 igara kao drugi igrač, pobijedili u njih 20.
Zato se događaji poput bacanja kocke nazivaju nasumičnim događajima.
Iako možete izračunati teoretsku vjerojatnost
svakog rezultata,
možda nećete dobiti očekivane rezultate ukoliko proučite tek nekoliko događaja.
No, ako ponovite te nasumične događaje puno, puno, puno puta,
čestina specifičnog rezultata, poput pobjede drugog igrača,
približit će se svojoj teoretskoj vjerojatnosti,
toj vrijednosti koju smo dobili zapisujući sve mogućnosti
i zbrajajući ih za svaki rezultat.
Pa, ako biste zauvijek sjedili na pustom otoku i bacali kocke,
drugi igrač bi naposljetku pobijedio u 56% igara,
a prvi igrač u 44%.
Ali dotad, naravno, banana bi odavno nestala.