Εσείς και η παρέα σας βρίσκεστε σε ένα έρημο νησί
και ρίχνετε ζάρια για την τελευταία μπανάνα.
Συμφωνείτε στους εξής κανόνες:
Θα ρίξετε δύο ζάρια
και αν ο μεγαλύτερος αριθμός είναι ένα, δύο, τρία ή τέσσερα,
ο πρώτος παίκτης κερδίζει.
Αν ο μεγαλύτερος αριθμός είναι πέντε ή έξι κερδίζει ο δεύτερος παίκτης.
Ας το ξαναδούμε.
Εδώ κερδίζει ο πρώτος παίκτης
και εδώ ο δεύτερος.
Ποιος θέλετε να είστε;
Με την πρώτη ματιά, ίσως φαίνεται ότι ο πρώτος παίκτης έχει το πλεονέκτημα
αφού είναι τέσσερις οι αριθμοί που εάν έρθουν θα κερδίσει
αλλά η αλήθεια είναι
ότι ο δεύτερος παίκτης έχει περίπου 56% πιθανότητα να κερδίσει κάθε παρτίδα.
Για να το κατανοήσετε, μπορείτε να δείτε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς
που μπορούν να φέρουν δύο ζάρια
και να μετρήσετε με πόσους κερδίζει ο κάθε ένας.
Αυτές είναι οι πιθανότητες για το κίτρινο ζάρι.
Αυτές είναι οι πιθανότητες για το μπλε ζάρι.
Κάθε κουτάκι στον πίνακα δείχνει έναν πιθανό συνδυασμό ζαριών.
Αν φέρετε τέσσερα και μετά πέντε
θα σημειώσουμε τον δεύτερο παίκτη ως νικητή στο κουτάκι.
Με τρία και ένα κερδίζει ο πρώτος παίκτης.
Υπάρχουν 36 πιθανοί συνδυασμοί
και κάθε ένας έχει την ίδια πιθανότητα να συμβεί.
Οι μαθηματικοί τους αποκαλούν ισοπιθανά ενδεχόμενα.
Τώρα μπορούμε να δούμε γιατί η πρώτη άποψη ήταν λανθασμένη.
Παρότι ο πρώτος παίκτης έχει τέσσερις νικητήριους αριθμούς
ενώ ο δεύτερος παίκτης μόλις δύο,
η πιθανότητα κάθε αριθμός να είναι μεγαλύτερος δεν είναι ίδια.
Υπάρχει μόλις 1 πιθανότητα στις 36 να είναι το ένα ο μεγαλύτερος.
Αλλά υπάρχουν 11 πιθανότητες στις 36 να είναι το έξι ο μεγαλύτερος.
Οπότε, αν έρθει οποιοσδήποτε απ' αυτούς τους συνδυασμούς
θα κερδίσει ο πρώτος παίκτης.
Και αν έρθουν αυτοί οι συνδυασμοί
θα κερδίσει ο δεύτερος παίκτης.
Από τους 36 πιθανούς συνδυασμούς
οι 16 δίνουν τη νίκη στον πρώτο παίκτη και οι 20 στον δεύτερο παίκτη.
Μπορείτε να το σκεφτείτε και ως εξής:
Ο μόνος τρόπος να κερδίσει ο πρώτος παίκτης
είναι να φέρει και στα δύο ζάρια ένα, δύο, τρία ή τέσσερα.
Το πέντε και το έξι θα δώσουν τη νίκη στον δεύτερο παίκτη.
Η πιθανότητα να έρθει ζάρι με ένα, δύο, τρία ή τέσσερα είναι τέσσερις στις έξι.
Το αποτέλεσμα που θα φέρει κάθε ζάρι δεν έχει σχέση με το άλλο ζάρι.
Μπορείτε να υπολογίσετε την κοινή πιθανότητα ανεξάρτητων ενδεχομένων
πολλαπλασιάζοντας τις πιθανότητες.
Συνεπώς, η πιθανότητα να έρθει ένα, δύο, τρία ή τέσσερα και στα δύο ζάρια
είναι 4/6 επί 4/6 ή 16/36.
Επειδή κάποιος πρέπει να κερδίσει,
η πιθανότητα να κερδίσει ο δεύτερος είναι 36/36 μείον 16/36
ή 20/36.
Είναι ακριβώς οι ίδιες πιθανότητες που είχαμε και στον πίνακα.
Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι θα κερδίσει ο δεύτερος παίκτης
ή ακόμη ότι αν παίζατε 36 γύρους ως δεύτερος παίκτης, θα κερδίζατε τους 20.
Γι' αυτό τα ζάρια είναι θέμα τύχης.
Παρότι μπορείτε να μετρήσετε τη θεωρητική πιθανότητα
κάθε αποτελέσματος,
μπορεί να μην λάβετε τα αποτελέσματα που θέλετε αν εξετάσετε λίγες περιπτώσεις.
Όμως, αν επαναλάβετε πολλές τυχαίες περιπτώσεις πολλές φορές,
η συχνότητα ενός αποτελέσματος, όπως το να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης
θα προσεγγίσει τη θεωρητική πιθανότητα,
την τιμή που πήραμε γράφοντας όλες τις πιθανότητες
και μετρώντας με πόσες νικάει ο κάθε παίχτης.
Οπότε αν βρεθείτε σε ένα ερημωμένο νησί και παίζετε συνεχώς ζάρια,
ο δεύτερος παίκτης τελικά θα κερδίσει το 56% των παιχνιδιών
και ο πρώτος παίκτης το 44%.
Όμως, μέχρι τότε δεν θα υπάρχει πια μπανάνα.