Du und ein anderer Schiffbrüchiger sind auf einer einsamen Insel gestrandet.
Ihr würfelt um die letzte Banane.
Du hast folgenden Regeln zugestimmt:
Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt,
und wenn die höchste Zahl Eins, Zwei, Drei oder Vier ist,
gewinnt Spieler 1.
Ist die höchste Zahl Fünf oder Sechs, gewinnt Spieler 2.
Würfeln wir noch zweimal.
Hier gewinnt Spieler 1,
und hier Spieler 2.
Also wer willst du sein?
Auf den ersten Blick scheint es, als hätte Spieler 1 einen Vorteil.
Denn sie wird gewinnen, wenn eine von vier Zahlen die höchste ist.
Aber eigentlich
gewinnt Spieler 2 ungefähr zu 56 % jedes Spiel.
Zum Verständnis werden alle möglichen Kombinationen aufgelistet,
die man bekommen kann,
wenn man mit zwei Würfeln würfelt,
und dann zusammenzählt, was jeder Spieler gewürfelt hat.
Das hier sind die Möglichkeiten für die gelben Würfel.
Das hier sind die Möglichkeiten für die blauen Würfel.
Jede Zelle in der Tabelle zeigt eine mögliche Kombination,
wenn man mit beiden Würfeln würfelt.
Wenn man eine Vier und dann eine Fünf würfelt,
bekommt Spieler 2 in dieser Zelle einen Sieg eingetragen.
Eine Drei und eine Eins, führt hier zum Sieg von Spieler 1.
Es gibt 36 mögliche Kombinationen,
jede mit exakt der gleichen Eintrittswahrscheinlichkeit.
Mathematiker nennen das "gleichwahrscheinliche Ereignisse".
Nun sehen wir, warum der erste Blick falsch war.
Obwohl Spieler 1 vier gewinnende Zahlen hat,
und Spieler 2 nur zwei,
ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl die höchste zu sein,
nicht die gleiche.
Die Wahrscheinlichkeit liegt nur bei 1 zu 36, dass Eins die höchste Zahl ist.
Aber die Wahrscheinlichkeit liegt bei 11 zu 36, dass Sechs die höchste ist.
Wenn also eine dieser Kombinationen gewürfelt wird,
gewinnt Spieler 1.
Und wenn eine dieser Kombinationen gewürfelt wird,
gewinnt Spieler 2.
Von den 36 möglichen Kombinationen
führen 16 zum Sieg für Spieler 1, und 20 zum Sieg für Spieler 2.
Man kann es auch so betrachten.
Spieler 1 gewinnt nur dann,
wenn beide Würfel eine Eins, Zwei, Drei oder Vier zeigen.
Fünf oder Sechs würden bedeuten, dass Spieler 2 gewinnt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel eine Eins, Zwei, Drei oder Vier zeigt,
liegt bei 4 zu 6.
Das Ergebnis jedes Wurfs ist unabhängig vom anderen.
Man kann die Verbundwahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse berechnen,
indem man ihre Wahrscheinlichkeit vervielfacht.
Die Wahrscheinlichkeit einer Eins, Zwei, Drei oder Vier bei beiden Würfeln
liegt bei 4/6 mal 4/6 oder 16/36.
Da jemand gewinnen muss,
liegt die Wahrscheinlichkeit für Spieler 2 zu gewinnen bei 36/36 minus 16/36
oder bei 20/36.
Das sind genau die gleichen Wahrscheinlichkeiten wie in der Tabelle.
Aber das bedeutet nicht, dass Spieler 2 gewinnt,
oder dass man, wenn man 36 Spiele spielt, wie Spieler 2, 20 davon gewinnt.
Deswegen bezeichnet man Ereignisse wie Würfeln als zufällig.
Auch wenn man die theoretische Wahrscheinlichkeit
von jedem Ereignis berechnen kann,
bekommt man möglicherweise nicht die erwarteten Ergebnisse
nach ein paar Würfen.
Aber wenn man diese zufälligen Würfe viele, viele, viele Male wiederholt,
wird die Häufigkeit eines bestimmten Ergebnisses,
wie die, dass Spieler 2 gewinnt,
sich ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit,
dem Wert, den wir durchs Aufschreiben aller Möglichkeiten
und durch das Zusammenzählen für jedes Ergebnis bekommen, annähern.
Wenn man also auf dieser einsamen Insel säße und ewig würfeln würde,
würde Spieler 2 schließlich 56 % aller Spiele gewinnen
und Spieler 1 würde 44 % gewinnen.
Natürlich wäre die Banane bis dahin längst weg.