Du und ein anderer Schiffbrüchiger
sind auf einer einsamen Insel gestrandet.
Ihr würfelt um die letzte Banane.
Du hast folgenden Regeln zugestimmt:
Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt,
und wenn die höchste Zahl
Eins, Zwei, Drei oder Vier ist,
gewinnt Spieler 1.
Ist die höchste Zahl Fünf oder Sechs,
gewinnt Spieler 2.
Würfeln wir noch zweimal.
Hier gewinnt Spieler 1,
und hier Spieler 2.
Also wer willst du sein?
Auf den ersten Blick scheint es,
als hätte Spieler 1 einen Vorteil.
Denn sie wird gewinnen, wenn eine
von vier Zahlen die höchste ist.
Aber eigentlich
gewinnt Spieler 2 ungefähr
zu 56 % jedes Spiel.
Zum Verständnis werden alle
möglichen Kombinationen aufgelistet,
die man bekommen kann,
wenn man mit zwei Würfeln würfelt,
und dann zusammenzählt,
was jeder Spieler gewürfelt hat.
Das hier sind die Möglichkeiten
für die gelben Würfel.
Das hier sind die Möglichkeiten
für die blauen Würfel.
Jede Zelle in der Tabelle zeigt
eine mögliche Kombination,
wenn man mit beiden Würfeln würfelt.
Wenn man eine Vier und
dann eine Fünf würfelt,
bekommt Spieler 2 in dieser Zelle
einen Sieg eingetragen.
Eine Drei und eine Eins,
führt hier zum Sieg von Spieler 1.
Es gibt 36 mögliche Kombinationen,
jede mit exakt der gleichen
Eintrittswahrscheinlichkeit.
Mathematiker nennen das
"gleichwahrscheinliche Ereignisse".
Nun sehen wir, warum
der erste Blick falsch war.
Obwohl Spieler 1
vier gewinnende Zahlen hat,
und Spieler 2 nur zwei,
ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl
die höchste zu sein,
nicht die gleiche.
Die Wahrscheinlichkeit liegt nur bei
1 zu 36, dass Eins die höchste Zahl ist.
Aber die Wahrscheinlichkeit liegt bei
11 zu 36, dass Sechs die höchste ist.
Wenn also eine dieser Kombinationen
gewürfelt wird,
gewinnt Spieler 1.
Und wenn eine dieser Kombinationen
gewürfelt wird,
gewinnt Spieler 2.
Von den 36 möglichen Kombinationen
führen 16 zum Sieg für Spieler 1,
und 20 zum Sieg für Spieler 2.
Man kann es auch so betrachten.
Spieler 1 gewinnt nur dann,
wenn beide Würfel eine Eins,
Zwei, Drei oder Vier zeigen.
Fünf oder Sechs würden bedeuten,
dass Spieler 2 gewinnt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel
eine Eins, Zwei, Drei oder Vier zeigt,
liegt bei 4 zu 6.
Das Ergebnis jedes Wurfs
ist unabhängig vom anderen.
Man kann die Verbundwahrscheinlichkeit
unabhängiger Ereignisse berechnen,
indem man ihre
Wahrscheinlichkeit vervielfacht.
Die Wahrscheinlichkeit einer Eins,
Zwei, Drei oder Vier bei beiden Würfeln
liegt bei 4/6 mal 4/6 oder 16/36.
Da jemand gewinnen muss,
liegt die Wahrscheinlichkeit für Spieler 2
zu gewinnen bei 36/36 minus 16/36
oder bei 20/36.
Das sind genau die gleichen
Wahrscheinlichkeiten wie in der Tabelle.
Aber das bedeutet nicht,
dass Spieler 2 gewinnt,
oder dass man, wenn man 36 Spiele spielt,
wie Spieler 2, 20 davon gewinnt.
Deswegen bezeichnet man Ereignisse
wie Würfeln als zufällig.
Auch wenn man die theoretische
Wahrscheinlichkeit
von jedem Ereignis berechnen kann,
bekommt man möglicherweise
nicht die erwarteten Ergebnisse
nach ein paar Würfen.
Aber wenn man diese zufälligen Würfe
viele, viele, viele Male wiederholt,
wird die Häufigkeit
eines bestimmten Ergebnisses,
wie die, dass Spieler 2 gewinnt,
sich ihrer theoretischen
Wahrscheinlichkeit,
dem Wert, den wir durchs Aufschreiben
aller Möglichkeiten
und durch das Zusammenzählen für jedes
Ergebnis bekommen, annähern.
Wenn man also auf dieser einsamen Insel
säße und ewig würfeln würde,
würde Spieler 2 schließlich
56 % aller Spiele gewinnen
und Spieler 1 würde 44 % gewinnen.
Natürlich wäre die Banane
bis dahin längst weg.