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Exact Equations Intuition 2 (proofy)

  • 0:01 - 0:04
    上節課
  • 0:04 - 0:05
    我給大家介紹了
  • 0:05 - 0:06
    偏導下的連鎖律
  • 0:06 - 0:10
    我們說 如果有一個函數Ψ
  • 0:10 - 0:14
    這是希臘字母Ψ 它是x、y的函數
  • 0:14 - 0:17
    如果我要求它的偏導數
  • 0:17 - 0:19
    關於。。。 不對 我要求導數
  • 0:19 - 0:23
    不是偏導 求它關於x的導數
  • 0:23 - 0:30
    那就是?Ψ
  • 0:30 - 0:33
    除以?x 加上?Ψ
  • 0:33 - 0:35
    除以?y 乘以dy/dx
  • 0:35 - 0:38
    上一個影片中 我沒有證明
  • 0:38 - 0:40
    但我給了大家一種直觀
  • 0:40 - 0:41
    所以相信我吧
  • 0:41 - 0:41
    但可能某天
  • 0:41 - 0:43
    我會嚴格地證明它
  • 0:43 - 0:45
    不過如果有興趣的話
  • 0:45 - 0:46
    也能在網絡上找到
  • 0:46 - 0:50
    偏導下的連鎖律的證明
  • 0:50 - 0:53
    放一邊吧
  • 0:53 - 0:54
    下面來看看偏導的另一個性質
  • 0:56 - 0:56
    這之後 我們就能直觀地感受
  • 0:56 - 0:57
    恰當方程了
  • 0:57 - 0:59
    因爲你會發現
  • 0:59 - 1:02
    這些足夠讓我們去解恰當方程了
  • 1:02 - 1:05
    但直覺這東西吧
  • 1:05 - 1:06
    好吧 我不想說它有點難
  • 1:06 - 1:07
    因爲直覺有了就是有了
  • 1:07 - 1:11
    所以 如果有一個函數Ψ
  • 1:11 - 1:15
    我要求Ψ的偏導數
  • 1:15 - 1:17
    首先是關於x的偏導
  • 1:17 - 1:18
    寫下Ψ
  • 1:18 - 1:20
    我不用每次都寫上x、y
  • 1:20 - 1:23
    然後我求關於y的
  • 1:23 - 1:25
    偏導數
  • 1:29 - 1:33
    正如記號 可以寫成。。。
  • 1:33 - 1:33
    多多少少可以看做
  • 1:33 - 1:35
    把操作符（求導符號）相乘
  • 1:35 - 1:36
    可以寫成這樣
  • 1:36 - 1:42
    上面是?2Ψ
  • 1:42 - 1:48
    下面是?y 或者?x
  • 1:48 - 1:50
    也可以寫成。。。
  • 1:50 - 1:53
    這是我最喜歡的符號
  • 1:53 - 1:54
    因爲它沒有多余的符號
  • 1:54 - 1:55
    你可以說
  • 1:55 - 1:56
    求偏導 先是x
  • 2:00 - 2:01
    這意味著 對Ψ求關於x的偏導
  • 2:01 - 2:04
    然後求關於y的偏導
  • 2:04 - 2:06
    這是其中一種情況
  • 2:06 - 2:08
    先求關於x 再求關於y的偏導
  • 2:08 - 2:09
    是怎樣做的呢？
  • 2:09 - 2:13
    先是關於x
  • 2:13 - 2:14
    把y固定 求關於x的偏導
  • 2:14 - 2:15
    關於x的 把y忽略
  • 2:15 - 2:17
    然後把x固定
  • 2:17 - 2:19
    求關於y的偏導
  • 2:19 - 2:21
    那交換x和y的順序
  • 2:21 - 2:22
    會發生什麽呢？
  • 2:22 - 2:25
    會發生的是。。。
  • 2:25 - 2:30
    用另一種顏色 寫下Ψ
  • 2:30 - 2:33
    然後求偏導
  • 2:33 - 2:34
    先是關於y
  • 2:34 - 2:36
    然後是關於x 這是什麽呢？
  • 2:37 - 2:38
    這只是記號罷了
  • 2:38 - 2:41
    大家應該適應了吧
  • 2:41 - 2:45
    這是?x和?y
  • 2:45 - 2:46
    這是算符
  • 2:46 - 2:49
    這裡可能會引起誤會
  • 2:49 - 2:50
    這兩個記號
  • 2:50 - 2:51
    盡管是一樣的
  • 2:51 - 2:53
    但順序變了
  • 2:53 - 2:54
    這不過是因爲
  • 2:54 - 2:55
    看待事物的方法不一樣
  • 2:55 - 2:58
    這是說 先求關於x的偏導 再y
  • 2:58 - 3:00
    這看上更像算符
  • 3:00 - 3:03
    先求關於x的偏導 然後求關於y的
  • 3:03 - 3:05
    就像是算符乘積那樣
  • 3:05 - 3:09
    無論怎樣 這也可以寫成
  • 3:09 - 3:11
    先是y 然後才是x
  • 3:11 - 3:13
    不好意思 關於y
  • 3:13 - 3:15
    然後才是關於x的偏導
  • 3:15 - 3:18
    現在 我要告訴大家
  • 3:18 - 3:21
    如果求偏之後函數都是連續的
  • 3:21 - 3:22
    我們處理的
  • 3:22 - 3:25
    大部分函數的定義域都是平凡的
  • 3:25 - 3:27
    也就是 是連續的 沒有洞的
  • 3:27 - 3:29
    函數的定義中也沒有詭異的地方
  • 3:29 - 3:30
    它們通常都是連續的
  • 3:30 - 3:33
    特別地 在第一年的微積分或微分課程中
  • 3:34 - 3:35
    我們處理的
  • 3:35 - 3:36
    大部分是連續函數
  • 3:36 - 3:38
    定義域是好的
  • 3:38 - 3:40
    如果這兩個函數是連續的
  • 3:40 - 3:45
    求偏之後還都是連續的
  • 3:45 - 3:47
    那它們就是相等的
  • 3:47 - 3:55
    Ψxy等於Ψyx
  • 3:55 - 4:01
    現在 我們要應用它了
  • 4:01 - 4:05
    求偏下的連鎖律
  • 4:05 - 4:07
    應用它去解
  • 4:07 - 4:09
    一種類型的微分方程
  • 4:09 - 4:13
    一階的微分方程
  • 4:13 - 4:14
    叫做“恰當方程”
  • 4:14 - 4:18
    恰當方程是怎樣的呢？
  • 4:18 - 4:22
    它們是這樣的
  • 4:22 - 4:24
    選擇顏色真不容易啊
  • 4:24 - 4:26
    這是我的微分方程
  • 4:26 - 4:30
    關於x和y的函數
  • 4:30 - 4:32
    不確定是什麽
  • 4:32 - 4:33
    它可能是x2cosy 或者其他
  • 4:33 - 4:35
    不確定是什麽 可以是任意x、y的函數
  • 4:35 - 4:40
    加上另一個x、y的函數
  • 4:40 - 4:45
    稱之爲N 乘以dy/dx之後等於0
  • 4:45 - 4:46
    這是。。。
  • 4:46 - 4:48
    我不確定是否爲恰當方程
  • 4:48 - 4:51
    不過你看到這樣的形式
  • 4:51 - 4:53
    首先要做的是。。。
  • 4:53 - 4:54
    首先考慮它是否可隔離變量
  • 4:54 - 4:56
    你們應該做一些代數練習
  • 4:56 - 4:58
    看看變量是否可隔離
  • 4:58 - 4:59
    因爲那可以直接解出來
  • 4:59 - 5:00
    如果不可隔離
  • 5:00 - 5:02
    但還是這樣的形式
  • 5:02 - 5:04
    你就會問“喔 這是恰當方程麽？”
  • 5:04 - 5:06
    什麽是恰當方程？
  • 5:06 - 5:07
    好吧 首先要看
  • 5:07 - 5:12
    這裡的形式
  • 5:12 - 5:14
    看上去和這裡很相似
  • 5:14 - 5:18
    如果M是?Ψ/?x呢？
  • 5:18 - 5:25
    Ψx是否就是M呢？
  • 5:25 - 5:27
    這是Ψx嗎？
  • 5:27 - 5:30
    又如果這是Ψy呢？
  • 5:30 - 5:32
    也就是Ψy=N
  • 5:32 - 5:33
    如果。。。
  • 5:33 - 5:35
    我只是想說 我們並不確定
  • 5:35 - 5:38
    如果你偶然在某處看到這個式子
  • 5:38 - 5:40
    你不會知道這是否
  • 5:40 - 5:42
    是某函數關於x的偏導數
  • 5:42 - 5:43
    或者這也是一個偏導數
  • 5:43 - 5:44
    某函數關於y的偏導數
  • 5:44 - 5:46
    但我們說 如果是呢？
  • 5:46 - 5:47
    如果確實是
  • 5:47 - 5:50
    我們就可以重新寫成 Ψ
  • 5:50 - 5:53
    關於x的偏導 加上Ψ
  • 5:53 - 5:59
    關於y的偏導 乘以dy/dx 等於0
  • 5:59 - 6:02
    這裡左邊的式子
  • 6:02 - 6:05
    和這裡是一樣的 對吧？
  • 6:05 - 6:09
    這是Ψ關於x的導數
  • 6:09 - 6:11
    用到了偏導下的連鎖律
  • 6:11 - 6:13
    所以可以重寫了
  • 6:13 - 6:17
    重寫成 這是Ψ關於x的
  • 6:17 - 6:20
    導數
  • 6:20 - 6:23
    Ψ是關於x、y的函數 等於0
  • 6:23 - 6:28
    看這個微分方程
  • 6:28 - 6:29
    寫出這樣的形式
  • 6:29 - 6:31
    你會說 哎 還是不能隔離變量吧
  • 6:31 - 6:32
    但這是一個恰當方程
  • 6:32 - 6:36
    顯然
  • 6:36 - 6:37
    如果它出現在
  • 6:37 - 6:38
    最近的考試中
  • 6:38 - 6:39
    那它很可能是一個恰當方程
  • 6:39 - 6:41
    但看到這個形式 你會說
  • 6:41 - 6:42
    它可能是一個恰當方程
  • 6:42 - 6:45
    如果它是一個恰當方程。。。
  • 6:45 - 6:45
    告訴大家
  • 6:45 - 6:48
    怎樣最快地作出判斷
  • 6:48 - 6:50
    然後就可以寫成
  • 6:50 - 6:53
    某函數Ψ的導數了
  • 6:53 - 6:55
    這是Ψ關於x的偏導
  • 6:55 - 6:58
    這是Ψ關於y的偏導
  • 6:58 - 7:00
    如果可以寫成這樣
  • 7:00 - 7:01
    就可以對兩邊求導。。。
  • 7:01 - 7:07
    不對 應該是兩邊取不定積分
  • 7:07 - 7:08
    就能得到Ψ(x,y)=C
  • 7:08 - 7:10
    是方程的一個解
  • 7:10 - 7:11
    有兩件事
  • 7:11 - 7:13
    是我們應該關心的
  • 7:13 - 7:16
    之後你可能會說 好的 Sal
  • 7:16 - 7:20
    考慮過了Ψ 、偏導數 所有的這些
  • 7:20 - 7:22
    首先 怎樣知道這是否是一個恰當方程？
  • 7:22 - 7:25
    然後 如果是恰當方程
  • 7:25 - 7:27
    也就是存在那樣的一個Ψ
  • 7:27 - 7:28
    然後怎樣解出Ψ呢？
  • 7:28 - 7:32
    所以 判斷是否恰當方程的辦法
  • 7:32 - 7:35
    就是利用這個信息
  • 7:35 - 7:38
    我們知道 Ψ和它的偏導們
  • 7:38 - 7:40
    在定義域上都是連續的
  • 7:40 - 7:42
    然後關於x和y
  • 7:42 - 7:46
    求偏導數
  • 7:46 - 7:47
    在兩種求偏順序下 它們還是一樣的
  • 7:47 - 7:49
    所以我們說 這是偏導
  • 7:49 - 7:50
    關於x的 對吧？
  • 7:53 - 7:56
    這是關於y的偏導
  • 7:56 - 8:00
    如果這是恰當方程
  • 8:00 - 8:01
    如果它是恰當的
  • 8:01 - 8:03
    對它關於y的
  • 8:03 - 8:05
    偏導數 對吧？
  • 8:05 - 8:12
    對M求關於y的偏導。。。
  • 8:12 - 8:14
    也就是Ψx
  • 8:14 - 8:16
    等於M
  • 8:16 - 8:17
    如果我們對它求關於y的
  • 8:17 - 8:18
    偏導數
  • 8:18 - 8:22
    可以重寫成這樣
  • 8:22 - 8:26
    它是等於
  • 8:26 - 8:28
    Nx 對吧？
  • 8:28 - 8:32
    Ψ關於y的偏導 是N
  • 8:32 - 8:35
    如果我們對兩邊
  • 8:35 - 8:36
    求關於x的偏導
  • 8:36 - 8:41
    我們知道它們應該是相等的
  • 8:41 - 8:44
    如果Ψ和它的偏導都是連續的話
  • 8:44 - 8:49
    所以這是相等的
  • 8:49 - 8:52
    因此 這其實是判斷
  • 8:52 - 8:54
    恰當與否的辦法
  • 8:54 - 8:56
    我來重新寫一下
  • 8:56 - 8:57
    總結一番
  • 8:57 - 9:05
    如果你看到這樣的形式M(x,y)
  • 9:05 - 9:10
    加上N（x,y)dy/dx 等於0
  • 9:10 - 9:13
    然後就應該 對M求關於y的
  • 9:13 - 9:14
    偏導數
  • 9:14 - 9:18
    然後對N求關於x的偏導
  • 9:18 - 9:24
    它們會是相等的
  • 9:24 - 9:26
    這。。。是若且唯若的
  • 9:26 - 9:29
    如果滿足的話 它就是恰當方程
  • 9:29 - 9:31
    正合微分方程
  • 9:31 - 9:32
    這是恰當的
  • 9:32 - 9:34
    如果它是恰當方程
  • 9:34 - 9:36
    也就告訴了我們 存在一個Ψ
  • 9:36 - 9:47
    它的導數等於0
  • 9:47 - 9:52
    或者Ψ(x,y)=C
  • 9:52 - 9:53
    這是方程的解
  • 9:53 - 9:58
    Ψ關於x的偏導
  • 9:58 - 10:00
    等於M
  • 10:00 - 10:04
    Ψ關於y的偏導
  • 10:04 - 10:05
    等於N
  • 10:05 - 10:08
    在下一個影片中
  • 10:08 - 10:10
    我會告訴大家 怎麽利用這個信息解方程
  • 10:10 - 10:12
    這裡我還是要指出某些東西
  • 10:12 - 10:14
    這是Ψ關於x的
  • 10:14 - 10:15
    偏導數
  • 10:15 - 10:18
    當我們要做判斷時
  • 10:18 - 10:20
    要關於y求偏
  • 10:20 - 10:21
    因爲我們想得到混合導數
  • 10:21 - 10:21
    同樣地
  • 10:21 - 10:23
    這是Ψ關於y的
  • 10:23 - 10:27
    偏導數 但我們要判斷的話
  • 10:27 - 10:30
    就要取其關於x的偏導
  • 10:30 - 10:31
    又得到了混合導數
  • 10:31 - 10:33
    這是關於y的
  • 10:33 - 10:34
    這是關於x的 得到這個
  • 10:34 - 10:36
    無論如何 有點複雜
  • 10:36 - 10:38
    但希望大家能明白我所做的一切
  • 10:38 - 10:41
    我想 大家應該有了
  • 10:41 - 10:43
    一種關於恰當方程的直覺
  • 10:43 - 10:46
    下節課 我教大家
  • 10:46 - 10:49
    解一些恰當方程 下次見啦~
Title:
Exact Equations Intuition 2 (proofy)
Description:

More intuitive building blocks for exact equations.
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Video Language:
English
Duration:
10:51
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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